数学湘教版（2019）1.2 常用逻辑用语学案设计

第2课时　含量词命题的否定

教材要点

要点　含量词命题的否定

状元随笔　特称命题的否定，一般是在存在量词前加“不”或者把存在量词改为全称量词的同时对判断词进行否定，特称命题的否定是全称命题；全称命题的否定，一般是在全称量词前加上“并非”，或把全称量词改为存在量词的同时对判断词进行否定，全称命题的否定是特称命题．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的．(　　)

(2)命题¬p的否定是p.(　　)

(3)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．(　　)

(4)对全称命题或特称命题进行否定时，量词不需要变，只否定结论即可．(　　)

2．命题：∃n∈N，n2＞3n＋5，则该命题的否定为(　　)

A．∀n∈N，n2＞3n＋5    B．∀n∈N，n2≤3n＋5

C．∃n∈N，n2≤3n＋5    D．∃n∈N，n2＜3n＋5

3．已知命题p：∀x∈R，x2－x＋1＞0，则¬p(　　)

A．∃x∈R，x2－x＋1≤0    B．∀x∈R，x2－x＋1≤0

C．∃x∈R，x2－x＋1＞0    D．∀x∈R，x2－x＋1≥0

4．命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是________________________．

题型1　全称命题的否定

例1　(1)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(　　)

A．对任意x∈R，都有x2＜0

B．不存在x∈R，使得x2＜0

C．存在x∈R，使得x2≥0

D．存在x∈R，使得x2＜0

(2)写出下列全称命题的否定：

①任何一个平行四边形的对边都平行．

②∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根．

③∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解．

④可以被5整除的整数，末位是0.

方法归纳

全称命题的否定的两个关注点

(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．

(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．

跟踪训练1　(1)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则(　　)

A．¬p：∃x∈A，2x∈B　　　　B．¬p：∃x∉A，2x∈B

C．¬p：∃x∈A，2x∉B         D．¬p：∀x∉A，2x∉B

(2)命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　)

A．∃x＞0，≤0    B．∃x＞0，0≤x≤1

C．∀x＞0，≤0    D．∀x＜0，0≤x≤1

题型2　特称命题的否定

例2　(1)命题p：∃x＞0，x＋＝2，则¬p为(　　)

A．∀x＞0，x＋＝2    B．∀x＞0，x＋≠2

C．∀x≤0，x＋＝2    D．∀x≤0，x＋≠2

 (2)写出下列特称命题的否定，并判断其真假．

①p：存在x∈R，2x＋1≥0.

②q：存在x∈R，x2－x＋＜0.

③r：有些分数不是有理数．

方法归纳

特称命题否定的方法及关注点

(1)方法：与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定．

(2)关注点：注意对不同的存在量词的否定的写法，例如，“存在”的否定是“任意的”，“有一个”的否定是“所有的”或“任意一个”等．

跟踪训练2　(1)命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是(　　)

A．∃x∈∁RQ，x3∉Q

B．∃x∉∁RQ，x3∈Q

C．∀x∉∁RQ，x3∉Q

D．∀x∈∁RQ，x3∉Q

(2)写出下列特称命题的否定，并判断真假：

①∃x，y∈Z，3x－4y＝20.

②在实数范围内，有些一元二次方程无解．

题型3　根据全称命题、特称命题的否定求参数

例3　已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0.

(1)若¬p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若¬q为真命题，求实数a的取值范围．

变式探究　本例条件不变，若¬p与¬q同时为真命题，求实数a的取值范围．

方法归纳

根据命题真假求参数的范围的两个关注点

(1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化．

(2)求参数范围问题，通常根据有关全称命题和特称命题的意义列不等式求范围．

跟踪训练3　已知命题p：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且¬p是假命题，求实数a的取值范围．

易错辨析　对含量词的命题否定不准确致误

例4　命题“∃x＜1，＜1”的否定是________．

解析：特称命题的否定是全称命题，否定时，既改量词，又否结论，∴原命题的否定是∀x＜1，0≤x≤1.

答案：∀x＜1，0≤x≤1

易错警示

课堂十分钟

1．命题：“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是(　　)

A．∀x＜0，x3＋x＜0    B．∀x＜0，x3＋x≥0

C．∃x≥0，x3＋x＜0    D．∃x≥0，x3＋x≥0

2．命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是(　　)

A．有些三角形不是等腰三角形

B．所有三角形是等边三角形

C．所有三角形不是等腰三角形

D．所有三角形是等腰三角形

3．下列四个命题中，真命题是(　　)

A．∀x∈R，x＋≥2

B．∃x∈R，x2－x＞5

C．∃x∈R，|x＋1|＜0

D．∀x∈R，|x＋1|＞0

4．命题p：∃x∈R，x2＋3x＋2＜0，则命题p的否定为________．

5．已知命题“∃x∈R，2x2＋3x＋a≤0”是假命题，求实数a的取值范围．

生活中的命题及逻辑推理问题

例1　除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉．“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的(　　)

A．充分条件

B．必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由题意可得，“获取胜利”是“收兵”的必要条件．

答案：B

例2　设S是由任意n(n≥5)个人组成的集合，如果S中任意4个人当中都至少有1个人认识其余3个人(本题中的认识是相互的，即不存在甲认识乙而乙不认识甲的情况)，那么下面的判断中正确的是(　　)

A．S中没有人认识S中所有的人

B．S中至少有1人认识S中所有的人

C．S中至多有2人认识不全S中所有的人

D．S中至多有2人认识S中所有的人

解析：如果S中所有人都相互认识，显然这样的S符合题目条件，从而A，D都是错误的；又设a，b，c是S中的三个人，a，b，c三人间相互不认识，而除a，b，c之外其他(n－3)个人认识所有的人，显然这样的集合符合要求，故C是错误的．若集合S中任何两个人不都互相认识，则不妨设甲、乙互相不认识．任取另外两个人，设为丙、丁．依题意知，甲、乙、丙、丁这四个人必有一个人认识其余3个人，显然，这个人不可能是甲，也不可能是乙，不妨设为丙，则丙认识丁(当然也认识甲和乙)．再在剩下的人中另取一个人戊，并考虑甲、乙、丙、戊，依题意知丙与戊也必相互认识，从而可知丙认识S中所有的人，故B是正确的．

答案：B

例3　运动会上，甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌，其中1人得金牌、1人得银牌、1人得铜牌．王老师曾猜测“甲得金牌、乙不得金牌、丙不得铜牌”，结果王老师只猜对了一人，那么甲、乙、丙分别获得______、______、______牌．

解析：先设王老师猜对的是“甲得金牌”，则“乙不得金牌”是错的，故乙也得金牌，产生矛盾．再设“乙不得金牌”是对的，则“甲得金牌”是错的，故甲也不得金牌，只有丙得金牌，而“丙不得铜牌”是错的，故丙得铜牌，产生矛盾．故猜对的是“丙不得铜牌”，此时甲、乙、丙分别得铜、金、银牌．

答案：铜　金　银

例4　住同一房间的四名女生A，B，C，D，在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲，每个人都做着不一样的事情，有以下五个命题：

(1)A不在修剪指甲，也不在看书；

(2)B不在听音乐，也不在修剪指甲；

(3)若C在修剪指甲，则A在听音乐；

(4)D不在看书，也不在修剪指甲；

(5)C不在看书，也不在听音乐．

若上面的命题都是真命题，问：她们各自在干什么？

解析：由以上五个命题都是真命题，我们可以列表如下：

由表格看出，C在修剪指甲，B在看书，又由命题(3)可知A在听音乐，最后推出D在梳头发．

答案：见解析

例5　主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了，”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了．主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．

解析：张三走的原因是：“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．

答案：见解析

第2课时　含量词命题的否定

新知初探·课前预习

要点

∃x∈I，¬p(x)　∀x∈I，¬p(x)

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．解析：否定为：∀n∈N，n2≤3n＋5.故选B.

答案：B

3．解析：¬p：∃x∈R，x2－x＋1≤0.故选A.

答案：A

4．解析：特称命题的否定为全称命题，故命题的否定为：“所有三角形的三条中线都不相等．”

答案：所有三角形的三条中线都不相等

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)全称命题的否定是特称命题．“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x∈R，使得x2<0”．故选D.

(2)①存在一个平行四边形，它的对边不都平行．

②∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．

③∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．

④存在被5整除的整数，末位不是0.

答案：(1)D　(2)见解析

跟踪训练1　解析：(1)全称命题的否定是特称命题，将“∀”改为“∃”，“2x∈B”否定为“2x∉B”，即¬p：∃x∈A，2x∉B.故选C.

(2)∵>0，∴x<0或x>1，∴命题“∀x>0，>0”的否定是“∃x>0，0≤x≤1”．故选B.

答案：(1)C　(2)B

例2　解析：(1)特称命题的否定是全称命题，“∃x＞0，x＋＝2”的否定为“∀x＞0，x＋≠2”．故选B.

(2)①任意x∈R，2x＋1<0，为假命题．②任意x∈R，x2－x＋≥0，因为x2－x＋＝≥0，所以是真命题．③一切分数都是有理数，是真命题．

答案：(1)B　(2)见解析

跟踪训练2　解析：(1)“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．故选D.

(2)①该命题的否定：∀x，y∈Z，3x－4y≠20，当x＝4，y＝－2时，3x－4y＝20.因此这是一个假命题．②该命题的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解，这是一个假命题．

答案：(1)D　(2)见解析

例3　解析：(1)因为命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，所以¬p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0.

因为¬p为真命题，

所以a＝0，或

解得a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1，

即实数a的取值范围为{a|a≤1}．

(2)因为命题q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0.

所以¬q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0.

因为¬q为真命题，

所以a＝0，或

解得a＝0，或0<a<4，所以0≤a<4，

即实数a的取值范围为{a|0≤a<4}．

变式探究　解析：由本例解题过程可知{a|a≤1}≤a<4}＝{a|0≤a≤1}，即实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}．

跟踪训练3　解析：¬p是假命题即p是真命题．

即∀x∈{x|－3≤x≤2}，x∈{x|a－4≤x≤a＋5}成立，

所以解得－3≤a≤1，

所以实数a的取值范围为－3≤a≤1.

[课堂十分钟]

1．解析：命题“∀x≥0，x3＋x≥0”为全称命题，该命题的否定为“∃x≥0，x3＋x<0”．故选C.

答案：C

2．解析：在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故否定为“所有三角形不是等腰三角形”．故选C.

答案：C

3．解析：选项A，当x<0时，x＋≥2不成立，所以A错；选项C，绝对值恒大于等于0，故C错；选项D，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以D错．故选B.

答案：B

4．解析：命题p是特称命题，根据特称命题的否定是改量词，否结论，则是∀x∈R，x2＋3x＋2≥0.

答案：∀x∈R，x2＋3x＋2≥0

5．解析：因为命题“∃x∈R，2x2＋3x＋a≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，2x2＋3x＋a>0”是真命题，等价于方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>.故实数a的取值范围是a>.