高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课后作业题

5.4.3　正切函数的性质与图象

选题明细表

基础巩固

1.(多选题)y=tan满足下列哪些条件(　AB　)

A.在(0,)上单调递增

B.为奇函数

C.以π为最小正周期

D.定义域为{x|x≠+,k∈Z}

解析:当x∈(0,)时,y=tan 在(0,)上单调递增,tan(-)=-tan ,故y=tan 为奇函数,因此A,B正确;T==2π,所以C不正确;由≠+kπ,k∈Z,得{x|x≠π+2kπ,k∈Z},所以D不正确.故选AB.

2.已知函数y=-2tan(π+),则(　C　)

A.单调递增区间为(6k-5,6k+1),k∈Z

B.单调递增区间为(6k-1,6k+5),k∈Z

C.单调递减区间为(6k-5,6k+1),k∈Z

D.单调递减区间为(6k-1,6k+5),k∈Z

解析:由于函数y=-2tan(x+)在一个周期内单调递减,

令-+kπ<x+<kπ+(k∈Z),

解得6k-5<x<6k+1(k∈Z),

故函数y=-2tan(x+)的单调递减区间为(6k-5,6k+1)(k∈Z).故选C.

3.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);

④y=tan |x|在x∈(-,)内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是(　D　)

A.①②③④ B.①③④②

C.③②④① D.①②④③

解析:因为y=tan(-x)=-tan x在(-,)上是减函数,故选D.

4.下列各式正确的是(　C　)

A.tan >tan

B.tan(-)<tan(-)

C.tan 4>tan 3

D.tan 281°>tan 665°

解析:函数y=tan x在(-,)上单调递增.

tan=tan(-),所以tan <tan ,故A错误;

tan(-)=tan(-),tan(-)=tan(-),则tan(-)>tan(-),故B错误;

tan 4=tan(4-π),tan 3=tan(3-π),则tan(4-π)>tan(3-π),

即tan 4>tan 3,故C正确;

tan 281°=tan(-79°),tan 665°=tan(-55°),

则tan 281°<tan 665°,故D错误.故选C.

5.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象与直线y=2相交,相邻的两个交点距离为,则f()的值是(　D　)

A.-   B.  C.1  D.

解析:因为函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象与直线y=2相交,相邻的两个交点距离为,

所以该函数的最小正周期T==,所以ω=2,f(x)=tan 2x,则f()=

tan =.故选D.

6.函数y=tan x在[,)∪(,]上的值域为　　　　　　　　. 

解析:x∈[,)时,tan x∈[,+∞);

x∈(,]时,tan x∈(-∞,- ].

答案:(-∞,-]∪[,+∞)

能力提升

7.已知函数y=tan ωx在(-,)内是增函数,则(　A　)

A.0<ω≤2 B.-2≤ω<0

C.ω≥2   D.ω≤-2

解析:根据函数y=tan ωx在(-,)内是增函数,可得ω>0,且ω≤,解得0<ω≤2.故选A.

8.当x∈[0,2π]时,不等式tan x<sin x的解集是(　D　)

A.(,π)         B.(,)

C.(,π)∪(,2π) D.(,π)∪(,2π)

解析:作出函数y=tan x,y=sin x在x∈[0,2π]内的图象,如图.

由图可知,当x∈[0,2π]时,

不等式tan x<sin x的解集是(,π)∪(,2π).故选D.

9.已知函数f(x)=Atan(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为(,0)和(,0),且过点(0,-3),则f(x)=　 　　,

f(x)≥的x的取值范围为　　　　　　 　　. 

解析:由题意可得f(x)的周期为T=-==,所以ω=,

得f(x)=Atan(x+),它的图象过点(,0),

所以tan(×+)=0,即tan(+)=0,

所以+=kπ(k∈Z),得=kπ-,k∈Z,

又||<,所以=-,

于是f(x)=Atan(x-),

它的图象过点(0,-3),

所以Atan(-)=-3,得A=3.

所以f(x)=3tan(x-).

由3tan(x-)≥,得tan(x-)≥.

所以kπ+≤x-<kπ+,k∈Z,

解得+≤x<+,k∈Z.

答案:3tan(x-)　[+,+)(k∈Z)

10.(1)求函数y=3tan(-)的定义域;

(2)求函数y=tan2 x-2tan x(|x|≤)的值域.

解:(1)令-≠kπ+,k∈Z,

得x≠-4kπ-,k∈Z,

所以函数的定义域为{x|x≠-4kπ-,k∈Z}.

(2)由|x|≤,可得tan x∈[-, ],

y=tan2x-2tan x=(tan x-1)2-1,

当tan x=1时,函数取得最小值-1;

当tan x=-时,函数取得最大值3+2,

故函数的值域为[-1,3+2 ].

11.设函数f(x)=tan(-).

(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心;

(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.

解:(1)由-≠kπ+(k∈Z),

得到函数的定义域为{x|x≠+2kπ,k∈Z};

最小正周期为T=2π;单调递增区间为(-+2kπ,+2kπ)(k∈Z),无单调递减区间;对称中心为(+kπ,0)(k∈Z).

(2)由题意,kπ-≤-≤kπ+,可得不等式-1≤f(x)≤的解集为{x|+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}.

应用创新

12.已知函数y=f(x),其中f(x)=tan(ωx+),ω>0.

(1)若ω=2,求函数y=f(x)的最小正周期以及函数图象的对称中心;

(2)若函数y=f(x)在[0,π]上严格递增,求ω的取值范围;

(3)若函数y=f(x)在[a,b](a,b∈R,且a<b)满足:方程f(x)=在[a,b]上至少存在2 021个根,且在所有满足上述条件的[a,b]中,b-a的最小值不小于2 021,求ω的取值范围.

解:(1)当ω=2时,f(x)=tan(2x+)的最小正周期为T=.

令2x+=,k∈Z,解得x=-,k∈Z,

故f(x)的图象的对称中心为(-,0),k∈Z.

(2)若函数y=f(x)在[0,π]上严格递增,

则ω·π+<,解得ω<,

即ω的取值范围为(0,).

(3)方程f(x)=在[a,b]上至少存在2 021个根,

故当x∈[a,b]时,tan(ωx+)=至少有2 021个根,

即ωx+=kπ+,k∈Z,至少有2 021个根,

即当x∈[a,b]时,x=至少有2 021个根,

且在所有满足上述条件的[a,b]中,b-a的最小值不小于2 021,

故b-a至少包含2 020个周期,

即b-a≥2 020·≥2 021,

所以ω∈(0,].