高考平面向量中最值问题归纳

平面向量最值问题总结

题型一数量积的最值问题

例题1：        平面向量满足，则最小值是______

分析：本题条件中有，而可利用向量数量积的投影定义得到在上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以的起点为原点，所在直线为轴建立坐标系，则起点在原点，终点分别在的直线上，从而可坐标化，再求出的最值即可

【解析】如图建系可得：

由可得：

而，由轮换对称式不妨设，则

，

例题2：        已知点为等边三角形的中心，，直线过点交边于点，交边于点， 

则的最大值为              .

【分析】本题由于为过的任一直线，所以的值不确定，从而不容易利用三边向量将进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线方程，与方程联立解出坐标，从而可解出最大值

【解析】以为轴建立直角坐标系，

设直线，由可得：

得：；得：

例题3：        已知圆的方程，是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为，   

，则的取值范围为（   ）

A．      B． C．    D．

【解析】，设

，

设，的取值范围为，故选C

例题4：        已知△中，，，（）的最小值为，若为 

边上任意一点，则的最小值是        

【解析】令＝＝＋＋＝，

当时，＝，

因为，所以，则建立直角坐标系，，，

设，则，，

所以＝＝；

当时，＝＋≥，

解得，所以，则建立直角坐标系，，，

设，则，，

所以＝＝．

综上所述，当时，取得最小值

题型二向量模长的最值问题

例题5：        已知为单位向量，且，向量满足，则范围为       

【解析】如图，，又

例题6：        向量满足 与的夹角为，，则的最大

值为（   ）

【分析】根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点（向量），确定变量满足的等式和目标函数的解析式，结合平面几何知识求最值或范围．

【解析】设；以OA所在直线为x，O为坐标原点建立直角坐标系

∵ 与的夹角为，则A（4，0），B（2，2），设C（x，y）

∵，∴x2+y2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，表示点A，C的距离即圆上的点与点A（4，0）的距离．

∵圆心到B的距离为，∴的最大值为

题型三向量夹角的最值问题

例题7：        已知非零向量满足，若函数 在R 上存在极值，则

       和夹角的取值范围为      

【解析】，设和夹角为，因为有极值，所以，即，即，所以

例题8：        已知向量满足，且关于的函数在实数集上单  

调递增，则向量的夹角的取值范围是（   ）

A．    B．    C．    D．

题型四平面向量系数的最值问题

例题9：        已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是     

【分析】与的夹角为锐角等价于，且与不共线同向，所以由，得，再除去与共线同向的情形．

【解析】由于与的夹角为锐角，，且与不共线同向，由，解得，当向量与共线时，得，得，因此的取值范围是且．

例题10：     已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，

，，则的最小值是     

【解析】

如图 三点共线，

∵是的重心，

解得， 结合图象可知

令 故

故，当且仅当等号成立

例题11：     如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，

且，则的最小值为    

【解析】因为三点共线，所以，

因为是重心，，  

所以，化简得，解得题目所给图像可知．

由基本不等式得

即．当且仅当，

即时，等号成立，故最小值为．

例题12：     直角梯形中，，，是边长为的正三角形，是平面上的

动点，，设（，），则的最大值为________

【解析】以为原点，为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，

∴可设， 因为，

所以

， ，

即的最大值为故答案为．

题型五平面向量与三角函数相结合的最值问题

例题13：     已知向量，，．

（1）若，求的值；

（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

【解析】（1）因为，，，所以．

若，则，与矛盾，故．

于是．又，所以．

（2）.

因为，所以，从而.

于是，当，即时，取到最大值3；当，

即时，取到最小值

题型六平面向量与二次函数相结合的最值问题

例题18： 在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且， 

的最小值为______．

【解析】设，，所以，

当时，取得最小值．

例题19： 在四边形中，，，，，，点在线段

的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【分析】如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求

边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数性质求最大值.

【解析】依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，

，，，，因为点在线段的延长线上，设，

，解得，，，，

所在直线的方程为 ，因为点在边所在直线上，故设，，

当时故选：

【小结】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题

题型七平面向量与基本不等式相结合的最值问题

例题20： 若平面向量，满足：；则的最小值是．

【解析】，

例题21： 在等腰梯形中,已知,,,．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为      ．

【解析】 因为，，

，

，

，

当且仅当即时的最小值为

例题22： 已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________

【分析】本题根据条件构造，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.

【解析】由可得， ，根据A、B、C三点共线可得且，所以

所以最小值为，故填.

题型八平面向量与圆相结合的最值问题

例题23： 在平面直角坐标系中，为原点，动点满足，则的最大值是         ．

【解析】设，由，得，向量，

故的最大值为圆上的动点到点距离的最大值，其最大值为圆的圆心到点的距离加上圆的半径，

即．

例题24： 已知是单位向量，．若向量满足，则的最大值为

A．       B．       C．      D．

【解析】建立平面直角坐标系，令向量的坐标，

又设，代入得，

又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值，

即圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即．

例题25： 若过点的直线与相交于两点，则取值范围______

【解析】本题中因为位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过作直线的垂线，垂足为，通过旋转可发现，当时，，位于其他位置时，点始终位于的反向延长线上，，故，故，下面寻找最小值，即的最大值，可得当在上的投影与重合时，最大，即为，此时直线即为直线。所以。进而的范围是

例题26： 已知，且的夹角为，点是的外接圆上优弧上的一个动点，则的最大值是________

【分析】题中的模长为定值，考虑即为乘以在上的投影，从而的最大值只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当与同向时，投影最大。即，只需计算的模长即可

【解析】当与同向时，在上的投影最大，

在中，，

 即

，

题型九 平面向量与三角形相结合的最值问题

例题27： 在中，已知，，，则的面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【分析】，而又由余弦定理可得，再利用基本不等式即可解决.

【解析】在中，由，及余弦定理可得，又

（当且仅当时取等号），所以，即.因为，所以为的中点，所以的面积，所以，所以的面积的最大值为.故选：B.

【小结】本题考查余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查学生运算求解能力，是一道中档题.

例题28： 已知平面向量满足 ，且与的夹角为，则的取值范围是___________

【分析】本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到构成，，从而可利用正余弦定理求出即的取值范围

【解析】在中，由正弦定理可得：

而    

真题赏析

1. 【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.

【解析】以分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.

则,

令0.

又因为可取遍，

所以当时，有最小值.

因为和的取值不相关，或，

所以当和分别取得最大值时，y有最大值，

所以当时，有最大值.

故答案为0；.

【小结】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.

2.  （2017新课标Ⅲ）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为

A．3           B．           C．            D．2

【解析】如图建立直角坐标系，

则，，，，由等面积法可得圆的半径为，所以圆的方程为，所以，，，由，得，所以=，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离小于半径，所以，解得，所以的最大值为3，即的最大值为3，选A．

3. （2017新课标Ⅱ）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是

A．        B．        C．         D．

【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，

则，，，设

所以，，

所以 ，

当时，所求的最小值为，故选B．

4. (2018浙江)已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（   ）

A．   B．  C．2   D．

解法一：设为坐标原点，，，，由

得，即，所以点的轨迹是以为圆心，l为半径的圆．

因为与的夹角为，所以不妨令点在射线()上，如图，

数形结合可知．故选A．

解法二：由得．

设，，，所以，，

所以，取的中点为．则在以为圆心，为直径的圆上，如图．

设，作射线，使得，所以

．故选A．

模块三、模拟题汇编

1．在平面内，定点A，B，C，D满足 ==，===2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是

A．         B．          C．       D．

【解析】由知,为的外心．由== 知为的内心，所以为正三角形，易知其边长为，取的中点，因为是的中点，所以，所以，则．故选B．

2．已知点在圆上运动，且．若点的坐标为，则的最大值为

A．6     B．7     C．8       D．9

【解析】由题意得，AC为圆的直径，故可设，，，

∴而，

∴的最大值为，故选B．

3．（2020·四川省绵阳南山中学高三）点是单位圆上不同的三点，线段与线段交于圆内一点M，若，则的最小值为（    ）     

A． B． C． D．

【分析】由题意得，再利用基本不等式即可求解．

【解析】将平方得，

（当且仅当时等号成立），，的最小值为，故选：D．

【小结】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题．

4．（2020·内蒙古高三）已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（    ）

A．        B．1 C． D．2

【分析】如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.

【解析】如图所示建立直角坐标系，则，，，设，

则

.

当，即时等号成立.故选：.

【小结】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.

5．已知， ， ，若点是所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于

A．13           B．15          C．19           D．21

【解析】以题意，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，所在的直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，

所以点，，，所以

=（当且仅当，即时取等号），所以的最大值为13．

6．设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，是最小值为1

A．若确定，则唯一确定      B．若确定，则唯一确定

C．若确定，则唯一确定      D．若确定，则唯一确定

【解析】由于，令，而是任意实数，所以可得的最小值为，即，则知若确定，则唯一确定．

7．设，为单位向量，非零向量，，若，的夹角为，则的最大值等于________．

【解析】

，所以的最大值为2．

8．已知向量，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值是        ．

【解析】由题意令，，，

则由 可得 ①，令 ②

得对一切实数恒成立，

所以．

故．故最大值为．

9．已知向量,满足,,则的最小值是    ，最大值是    ．

【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有，

，则，

令，则，据此可得：

，即的最小值是4，

最大值是.

10．设向量

（I）若，求的值；

（II）设函数，求的最大值．

【解析】（I）由，，

及，又，所以.

（II）=.

当所以