人教A版高中数学必修第一册综合检测卷二含答案

综合检测卷二

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.命题“∀x∈R,ex≥x+1”的否定是(　D　)

(A)∀x∈R,ex<x+1

(B)∃x0∈R,≥x0+1

(C)∀x∉R,ex<x+1

(D)∃x0∈R,<x0+1

解析:命题“∀x∈R,ex≥x+1”的否定是“∃x0∈R,<x0+1”.故选D.

2.若实数α,β满足-<α<β<-,则α-β的取值范围是(　D　)

(A)-<α-β<- (B)-<α-β<0

(C)-<α-β< (D)-<α-β<0

解析:因为-<α<β<-,

所以-<α<-,<-β<,α-β<0,

所以-<α-β<0.

故选D.

3.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α等于(　D　)

(A)-      (B)

(C)-或0   (D)或0

解析:因为

所以或

所以tan 2α=0或tan 2α=.故选D.

4.若函数f(x)是定义在[0,1]上的减函数,又A,B是锐角三角形的两个内角,则(　D　)

(A)f(sin A)>f(sin B)

(B)f(cos A)>f(cos B)

(C)f(sin A)>f(cos B)

(D)f(sin A)<f(cos B)

解析:因为A,B是锐角三角形的两个内角,

所以A+B>,所以0<-B<A<.

又y=sin x在(0,)上单调递增,

所以0<sin(-B)=cos B<sin A<1.

又函数f(x)是定义在[0,1]上的减函数,

所以f(cos B)>f(sin A).

故选D.

5.若命题“∀x>-2,a>”为真命题,则a的取值范围是(　B　)

(A)[1,+∞) (B)(1,+∞)

(C)(-∞,1] (D)(-∞,1)

解析:因为x>-2,

所以==≤=1.

当且仅当x+2=,即x=-1时,等号成立,

所以由∀x>-2,a>成立,可得a>1.

故选B.

6.围棋棋盘共19行19列,361个格点,每个格点上可能出现黑、白、空三种情况,因此有3361种不同的情况,我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即10 00052,下列最接近的是(注:lg 3≈0.477)(　D　)

(A)10-25 (B)10-26 (C)10-35 (D)10-36

解析:根据题意,由,可得lg =lg 3361-lg 10 00052=361lg 3-52×4≈-35.8,可得≈10-35.8,

分析选项,可得D中10-36与其最接近.

故选D.

7.已知α∈(0,),α+β∈(,π),且cos α=,sin(α+β)=,则(　C　)

(A)β∈(0,)    (B)β∈(,)

(C)β∈(,) (D)β∈(,π)

解析:由α∈(0,),α+β∈(,π),-α∈(-,0),可得β∈(0,π).

由cos α=,sin(α+β)=,

且α∈(0,),α+β∈(,π),

所以sin α==,

cos(α+β)=-=-.

所以cos β=cos[(α+β)-α]

=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α

=(-)×+×

=<0.

因为+=>0,

所以cos β∈(-,0),

所以β∈(,).

故选C.

8.函数f(x)=的图象大致为(　A　)

解析:设g(x)=ln(+x),对任意的x∈R,>|x|≥-x,

所以+x>0,

所以函数g(x)的定义域为R,

g(-x)=ln(-x)

=ln

=ln

=-ln(+x)

=-g(x),

所以函数g(x)=ln(+x)为奇函数.

令g(x)=ln(+x)=0,

可得+x=1,

即=1-x,

所以1-x≥0,可得x≤1.

由=1-x,

可得x2+1=(1-x)2,解得x=0,

所以函数f(x)=的定义域为{x|x≠0}.

又f(-x)==-=-f(x),

所以函数f(x)为奇函数,排除BD选项;

当x>0时,

ln(+x)>ln 1=0,2x+2-x>0,

所以f(x)>0,排除C选项.

故选A.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,选对但不全的得2分)

9.若集合A={x|sin 2x=1},B={y|y=+,k∈Z},则正确的结论有(　AB　)

(A)A∪B=B (B)∁RB⊆∁RA

(C)A∩B=⌀ (D)∁RA⊆∁RB

解析:由A={x|sin 2x=1}={x|x=kπ+,k∈Z}={x|x=,k∈Z},

又B={y|y=+,k∈Z}={y|y=,k∈Z},

显然集合{x|x=4kπ+π,k∈Z}⊆{x|x=2kπ+π,k∈Z},

所以A⊆B,

所以A∪B=B成立,

所以选项A正确.

∁RB⊆∁RA成立,

所以选项B正确,选项D不正确.

A∩B=A,

所以选项C不正确.

故选AB.

10.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-2.3]=-3,[15.31]=15.已知函数f(x)=-,G(x)=[f(x)],则下列说法正确的有(　BCD　)

(A)G(x)是偶函数

(B)G(x)的值域是{-1,0}

(C)f(x)是奇函数

(D)f(x)在R上是增函数

解析:对于A,G(1)=[f(1)]=[]=0,

G(-1)=[f(-1)]=[-]=-1,

所以G(1)≠G(-1),

所以G(x)不是偶函数,A错误.

对于B,f(x)=-=-,

因为2x>0,

所以1+2x>1,

所以0<<1,

所以f(x)∈(-,),

当f(x)∈(-,0)时,G(x)=[f(x)]=-1,

当f(x)∈[0,)时,G(x)=[f(x)]=0,

所以G(x)的值域是{-1,0},B正确.

对于C,f(-x)+f(x)=-+-=1-=0,

所以f(x)为奇函数,C正确.

对于D,y=2x在R上单调递增,

所以y=在R上单调递减,

所以y=-在R上单调递增,即f(x)在R上是增函数,D正确.

故选BCD.

11.已知f(x)是定义在R上的函数,满足f(-x)-f(x)=0,且对任意的

x∈R恒有f(x)=f(x+4),且当x∈[0,2]时,f(x)=(x+2)-1,则(　BC　)

(A)函数f(x)的值域是[,1]

(B)f(-)>f()

(C)x∈[2,4]时,f(x)=

(D)函数f(x)在[2,4]上单调递减

解析:因为f(x)是定义在R上的函数且f(-x)-f(x)=0,

所以f(x)是R上的偶函数.

又因为f(x)=f(x+4),

所以f(x)是周期函数,且周期T=4.

因为x∈[0,2]时,

f(x)=(x+2)-1=,

易知f(x)在[0,2]上单调递减,且f(x)是R上的偶函数,周期T=4,

所以f(x)max=f(0)==,

f(x)min=f(2)==,

所以f(x)的值域是[,],故A错误.

f()=f(-4)=f(-),

因为f(x)在[0,2]上单调递减,

所以f(x)在(-2,0)上单调递增,

f(-)>f(-)=f(),故B正确.

当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],

f(-x)=.

又因为f(-x)=f(x),

所以f(x)=,

故当x∈[-2,0]时,

f(x)=,

若x∈[2,4],则x-4∈[-2,0],

所以f(x-4)==,

又因为f(x-4)=f(x),

所以f(x)=,故C正确.

由f(x)的周期T=4知,f(x)在[2,4]的单调性和[-2,0]上的单调性

一样,

因为f(x)在[-2,0]上单调递增,

所以f(x)在[2,4]上单调递增,故D错误.

故选BC.

12.函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,||<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(　ACD　)

(A)f(x)=2sin(x-)

(B)若把f(x)的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到的函数在

[-π,π]上单调递增

(C)若把函数f(x)的图象向左平移个单位长度,则所得函数是奇函数

(D)∀x∈[-,],若f(3x)+a≥f()恒成立,则a的最小值为+2

解析:由题意知T=6π,

所以ω==.

因为f(2π)=2,

所以f(2π)=2sin(+)=2,

即sin(+)=1,

所以+=2kπ+(k∈Z),

所以=2kπ-(k∈Z).

又||<π,

所以=-,

所以f(x)=2sin(x-),

所以A正确.

把y=f(x)图象的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到的函数为y=2sin(x-).

因为x∈[-π,π],

所以-≤x-≤,

所以y=2sin(x-)在[-π,π]上不单调递增,故B错误.

把y=f(x)的图象向左平移个单位长度,

则所得的函数为y=2sin[(x+)-]=2sin,是奇函数,故C正确.

对∀x∈[-,],f(3x)+a≥f()恒成立,

即a≥f()-f(3x),∀x∈[-,]恒成立.

令g(x)=f()-f(3x),x∈[-,],

则g(x)=-2sin(x-).

因为-≤x≤,

所以-≤x-≤,

所以-1≤g(x)≤+2,

所以a≥+2,

所以a的最小值为+2,故D正确.

故选ACD.

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.函数f(x)=sin2x+cos x-(x∈[0,])的最大值是　　　　. 

解析:f(x)=sin2x+cos x-=1-cos2x+cos x-=-(cos x-)2+1,

cos x∈[0,1],当cos x=时,f(x)取得最大值1.

答案:1

14.若幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm在R上为增函数,则logm+2lg 5+lg 4+=　　　　. 

解析:因为幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm在R上为增函数,

所以

解得m=2(舍去),m=3,

所以logm+2lg 5+lg 4+

=log3+lg 25+lg 4+

=log3+lg 100+

=+2+

=4.

答案:4

15.函数y=sin x+cos x(x∈[0,])的单调递增区间是　　　　. 

解析:y=sin x+cos x=sin(x+),x∈[0,]的单调递增区间即为

0≤x+≤与x∈[0,]的交集,

所以单调递增区间为[0,].

答案:[0,]

16.科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳-14.动植物在生长过程中衰变的碳-14,可以通过与大气的相互作用得到补充,所以活着的动植物组织中的碳-14含量保持不变.死亡后的动植物,停止了与外界环境的相互作用,机体中原有的碳-14就按其确定的规律衰变.碳-14的衰变极有规律,其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳-14的残余量占原始含量的比值P与生物体死亡年数t满足P=at(a为正常数).已知碳-14的“半衰期”是5730年,即碳-14大约每经过5730年就衰变为原来的一半,则a=　　　　.考古人员发现墓地中某一尸体内碳-14的残余量占原始含量的73%,则该墓地距测算之时约

　　　　年.(参考数据:lg 73≈1.86,lg 2≈0.3) 

解析:根据题意令P=,t=5 730,

则有=a5 730,

解得a=;

令P=73%,将a=

代入P=at得=73%,

即=0.73,

则=-log20.73=-=-≈,

解得t≈×5 730=2 674.

答案:　2 674

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

已知sin α=-,且α是第　　　　象限角. 

从①一,②二,③三,④四,这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上,并根据你的选择,解答以下问题:

(1)求cos α,tan α的值;

(2)化简求值:.

解:(1)因为sin α=-,

所以α为第三象限或第四象限角.

若选③,cos α=-=-,

tan α==;

若选④,cos α==,

tan α==-.

(2)原式====cos2α=1-(-)2=.

18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x2+bx-1有两个零点x1,x2,且x1,x2的倒数和为-1.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若在区间[-2,1]上,不等式f(-x)>2x-m恒成立,求实数m的取值

范围.

解:(1)因为函数f(x)=x2+bx-1有两个零点x1,x2,

所以x1,x2是方程x2+bx-1=0的两个实数根,

所以x1+x2=-b,

x1x2=-1.

所以+===b.

又x1,x2的倒数和为-1,

所以b=-1.

所以f(x)=x2-x-1.

(2)不等式f(-x)>2x-m等价于x2+x-1>2x-m,

即m>-x2+x+1.

要使不等式m>-x2+x+1在区间[-2,1]上恒成立,只需令函数g(x)=-x2+x+1在区间[-2,1]上的最大值小于m即可.

因为函数g(x)=-x2+x+1在区间[-2,]上单调递增,在区间[,1]上单调递减,

所以g(x)max=g()=,

所以m>.

因此,满足条件的实数m的取值范围是(,+∞).

19.(本小题满分12分)

已知α∈(0,),β∈(,π),cos β=-,sin(α+β)=.

(1)求tan 的值;

(2)求sin α的值.

解:(1)因为cos β=cos2-sin2==,且cos β=-,

所以=-,

解得tan2=2,

因为β∈(,π),

所以∈(,),

所以tan >0,

所以tan =.

(2)因为β∈(,π),cos β=-,

所以sin β===.

又α∈(0,),

故α+β∈(,).

又sin(α+β)=,

所以cos(α+β)=-=-=-.

所以sin α=sin[(α+β)-β]

=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β

=×(-)-(-)×

=.

20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,||<)部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式,并求出f(x)的单调递增区间.

(2)将函数f(x)的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍,再将图象向右平移个单位长度,得到g(x)的图象,若存在x∈[0,]使得等式3g(x)+1=2[a+g2(x)]成立,求实数a的取值范围.

解:(1)由图象可知=-=,

所以T=π,则ω==2.

由2×+=2kπ+,k∈Z，

得=2kπ+,k∈Z.

又||<,

所以=,

所以f(x)=sin(2x+).

由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).

(2)由图象变换得g(x)=sin x,

所以存在x∈[0,]使得等式3sin x+1=2(a+sin2x)成立,即2a=-2sin2x+3sin x+1在x∈[0,]上有解.

令t=sin x∈[0,1],

则y=-2t2+3t+1

=-2(t-)2+∈[1,],

所以1≤2a≤,

解得≤a≤.

故实数a的取值范围为[,].

21.(本小题满分12分)

函数f(x)的定义域为R,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,

(1)证明:f(x)是奇函数.

(2)证明:f(x)在R上是减函数.

(3)若f(3)=-1,f(3x+2)+f(x-15)-5<0,求x的取值范围.

(1)证明:由f(x+y)=f(x)+f(y),

令y=-x,得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),

所以f(x)+f(-x)=f(0).

又f(0+0)=f(0)+f(0),

所以f(0)=0.

从而有f(x)+f(-x)=0.

所以f(-x)=-f(x).

所以f(x)是奇函数.

(2)证明:取x1,x2∈R,且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]

=-f(x2-x1).

由x1<x2,

所以x2-x1>0,

所以f(x2-x1)<0.

所以-f(x2-x1)>0,

即f(x1)>f(x2),

故f(x)在R上是减函数.

(3)解:若f(3)=-1,由函数f(x)为奇函数得f(-3)=1,

又5=5f(-3)=f(-15),

所以f(3x+2)+f(x-15)<5=f(-15).

由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(4x-13)<f(-15),

由函数f(x)在R上单调递减得4x-13>-15,

解得x>-,

故x的取值范围为(-,+∞).

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)的对称中心的坐标;

(3)求函数f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.

解:(1)f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),

则f(x)的最小正周期T==π.

(2)由2x+=kπ,k∈Z,得x=kπ-,k∈Z,

即f(x)的对称中心的坐标为(kπ-,0),k∈Z.

(3)当-≤x≤时,

-≤2x+≤,

则当2x+=时,函数取得最大值,

最大值为2sin=2,

当2x+=-时,函数取得最小值,

最小值为2sin(-)=2×(-)=-1.