浙江省金华市金东区海亮外国语学校2022-2023学年八年级上学期月考数学试卷（9月份）(含答案)

这是一份浙江省金华市金东区海亮外国语学校2022-2023学年八年级上学期月考数学试卷（9月份）(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省金华市金东区海亮外国语学校八年级（上）月考数学试卷（9月份）（附答案与解析）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列各组数中，能成为直角三角形三边长的是（　　）
A．6，8，11 B．15，9，17 C．5，12，13 D．2，4，
4．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）

A．150° B．180° C．210° D．225°
6．（3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）

A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠BDA＝∠CDA D．∠B＝∠C
7．（3分）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
9．（3分）已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（　　）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
10．（3分）如图，ABC是一钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是（　　）

A．7根 B．8根 C．9根 D．10根
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知等腰三角形的底角为50°，则它的顶角为 　 　．
12．（4分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为　 　．
13．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点．若∠A＝35°，则∠BDC＝　 　°．

14．（4分）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝　 　．

15．（4分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD、BE是等腰三角形ABC的高线，连接DE，若AE＝3，CE＝2，则DE＝　 　．

16．（4分）如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，∠ABC＝20°，O为斜边的中点，将OA绕着点O逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至OP，当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为 　 　．

三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．

18．（6分）如图，已知AB＝AD，BC＝DC．求证：∠DAC＝∠BAC．

19．（6分）印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅”
请用学过的数学知识回答这个问题．

20．（8分）如图，△ADF≌△BCE，∠B＝40°，∠F＝22°，BC＝2cm，CD＝1cm．求：
（1）∠1的度数；
（2）AC的长．

21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝5，△CBD的周长为17，求△ABC的周长．

22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．

23．（10分）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，所以4×ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为　 　．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．

24．（12分）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．


2022-2023学年浙江省金华市金东区海亮外国语学校八年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
【解答】解：∵三角形具有稳定性，
∴A选项符合题意而B，C，D选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，解题时注意：三角形具有稳定性．
2．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）下列各组数中，能成为直角三角形三边长的是（　　）
A．6，8，11 B．15，9，17 C．5，12，13 D．2，4，
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：A、62+82≠112，故选项A不符合题意；
B、152+92≠172，故选项B不符合题意；
C、52+122＝132，故选项C符合题意；
D、22+（）2≠42，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．（3分）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
5．（3分）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）

A．150° B．180° C．210° D．225°
【分析】根据SAS可证得△ABC≌△EDC，可得出∠BAC＝∠DEC，继而可得出答案．
【解答】解：
由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠BAC＝∠1，
∠1+∠2＝180°．
故选：B．

【点评】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出△ABC≌△EDC．
6．（3分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）

A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠BDA＝∠CDA D．∠B＝∠C
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析即可．
【解答】解：A、添加AB＝AC可利用SAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
B、添加BD＝CD不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
C、添加∠BDA＝∠CDA可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加∠B＝∠C可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时要注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（3分）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
【解答】解：作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
8．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4．
【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4．
故选：C．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
9．（3分）已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（　　）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边．把代数式a2﹣2ab+b2﹣c2分解因式就可以进行判断．
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．
∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形中三边之间的关系．（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]是一个正数与负数的积，所以小于0．
10．（3分）如图，ABC是一钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是（　　）

A．7根 B．8根 C．9根 D．10根
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
【解答】解：∵添加的钢管长度都与BD相等，∠ABC＝10°，
∴∠DBE＝∠DEB＝10°，
∴∠EDF＝∠DBE+∠DEB＝20°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝20°，
∴∠FEG＝∠ABC+∠EFD＝30°，
…
由此思路可知：第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，第四个是40°，第五个是50°，第六个是60°，第七个是70°，第八个是80°，第九个是90°（与三角形内角和为180°相矛盾）就不存在了．所以一共有8个，
∴添加这样的钢管的根数最多是8根．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知等腰三角形的底角为50°，则它的顶角为 　80°　．
【分析】根据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的两个底角相等进行分析．
【解答】解：由题意得，顶角＝180°﹣50°×2＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理的运用，难度不大．
12．（4分）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为　如果a，b互为相反数，那么a+b＝0　．
【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．
【解答】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：
如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；
故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．
【点评】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键．
13．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点．若∠A＝35°，则∠BDC＝　70　°．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线可AD＝CD＝AB，然后利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠DCA＝35°，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AD＝CD＝AB，
∴∠A＝∠DCA＝35°，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝70°，
故答案为：70．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
14．（4分）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝　a+c　．

【分析】如图，证明△CDE≌△ABC（AAS），得AB2+DE2＝DE2+CD2＝CE2，同理FG2+LK2＝HL2，S1+S2+S3+S4＝a+c．
【解答】解：如图，

∵在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB＝CD，BC＝DE，
∴AB2+DE2＝DE2+CD2＝CE2＝c，
同理可证FG2+LK2＝HL2＝a，
∴S1+S2+S3+S4＝CE2+HL2＝a+c．
故答案为：a+c．
【点评】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2＝DE2+CD2＝CE2是解题的关键．
15．（4分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD、BE是等腰三角形ABC的高线，连接DE，若AE＝3，CE＝2，则DE＝　　．

【分析】先根据等腰可知AB＝AC＝5，由勾股定理计算BE和BC的长，最后由直角三角形斜边中线的性质可得DE的长．
【解答】解：∵BE是△ABC的高，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∵AE＝3，CE＝2，
∴AB＝AC＝5，
∴BE＝＝4，BC＝＝2，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴DE＝BC＝×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，∠ABC＝20°，O为斜边的中点，将OA绕着点O逆时针旋转θ°（0＜θ＜180）至OP，当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为 　40或100或70　．

【分析】如图1，连接AP，根据直角三角形的判定和性质得到∠APB＝90°，当BC＝BP时，得到∠BCP＝∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP＝∠ABC＝25°，于是得到θ＝2×20°＝40°，当BC＝PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB＝90°，根据等腰三角形的性质得到θ＝2×50°＝100°，当PB＝PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO＝90°，根据三角形的内角和得到θ＝∠BOG＝70°．
【解答】解：∵△BCP恰为轴对称图形，
∴△BCP是等腰三角形，
如图1，连接AP，
∵O为斜边中点，OP＝OA，
∴BO＝OP＝OA，
∴∠APB＝90°，
当BC＝BP时，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BCP+∠ACP＝∠BPC+∠APC＝90°，
∴∠ACP＝∠APC，
∴AC＝AP，
∴AB垂直平分PC，
∴∠ABP＝∠ABC＝20°，
∴θ＝2×20°＝40，

当BC＝PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，
∵BC＝CP，BO＝PO，
∴CH垂直平分PB，
∴∠CHB＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠BCH＝∠ABC＝20°，
∴∠CBH＝70°，
∴∠OBH＝50°，
∴θ＝2×50°＝100；

当PB＝PC时，如图3，
连接PO并延长交BC于G，连接OC，
∵∠ACB＝90°，O为斜边中点，
∴OB＝OC，
∴PG垂直平分BC，
∴∠BGO＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴θ＝∠BOG＝70，
综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为40或100或70，
故答案为：40或100或70．



【点评】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（6分）如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．

【分析】作BC边上的中线，即可把△ABC分成面积相等的两部分．
【解答】解：如图，作线段BC的中垂线，交BC于点D，则直线AD即为所求．


【点评】此题主要考查三角形中线的作法，同时要掌握若两个三角形等底等高，则它们的面积相等．
18．（6分）如图，已知AB＝AD，BC＝DC．求证：∠DAC＝∠BAC．

【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论
【解答】解：∵在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．
19．（6分）印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅”
请用学过的数学知识回答这个问题．

【分析】红莲在水中的长度，花离原位的长度和花的总长可构成直角三角形，设出湖水的深度为x，根据勾股定理列出方程可求出．
【解答】解：设湖水深为x尺，则红莲总长为（x+0.5）尺，AC的长度为2，
根据勾股定理得：
在Rt△ABC中，有：
x2+22＝（x+0.5）2，
x＝3.75，
即湖水深3.75尺．

【点评】本题的关键是读懂题意，找出题中各个量之间的关系，建立等式进行求解．
20．（8分）如图，△ADF≌△BCE，∠B＝40°，∠F＝22°，BC＝2cm，CD＝1cm．求：
（1）∠1的度数；
（2）AC的长．

【分析】（1）根据全等三角形的性质得出∠E＝∠F＝22°，再根据三角形的外角性质求出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AD＝BC＝2cm，再求出AC即可．
【解答】解：（1）∵△ADF≌△BCE，∠F＝22°，
∴∠E＝∠F＝22°，
∵∠B＝40°，
∴∠1＝∠B+∠E＝40°+22°＝62°；

（2）∵△ADF≌△BCE，BC＝2cm，
∴AD＝BC＝2cm，
∵DC＝1cm，
∴AC＝AD+DC＝2+1＝3（cm）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形外角性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AE＝5，△CBD的周长为17，求△ABC的周长．

【分析】（1）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；
（2）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝×（180﹣40）＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线
∴△ABD是等腰三角形，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；

（2）∵△ABD是等腰三角形
∴AD＝BD，
∵C△CBD＝BC+CD+BD＝17，
∴BC+CD+AD＝BC+AC＝17，
∵AE＝5∴AB＝2AE＝10，
∴C△ABC＝AB+BC+AC＝10+17＝27．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，相对比较简单，属于基础题．
22．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．

【分析】（1）根据角平分线性质得出CD＝DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．
【解答】解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵CD＝3，
∴DE＝3；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝10，
∴△ADB的面积为S△ADB＝AB•DE＝×10×3＝15．
【点评】本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
23．（10分）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，所以4×ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为　　．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．

【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
【解答】解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，
也利用表示为ab+c2+ab，
∴a2+ab+b2＝ab+c2+ab，
即a2+b2＝c2；

（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h，
∴h＝，
故答案为；

（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，
∴边长为a﹣2b，
由此可画出的图形为：

【点评】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个物体的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
24．（12分）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM＝AN；当DN∥BC时，AD＝AN；得出方程，解方程即可；
②由直角三角形的性质得出DE＝5，根据题意得出当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE＝DM；如果ED＝EM；如果MD＝ME＝t﹣4；分别得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，
则AB＝5x，
在Rt△ACD中，AC＝＝5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，
∴x＝2cm，
则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．
①当MN∥BC时，AM＝AN，
即10﹣t＝t，
∴t＝5；
当DN∥BC时，AD＝AN，
得：t＝6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．
②∵点E是边AC的中点，CD⊥AB，
∴DE＝AC＝5，
当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；
当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形
当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE＝DM，则t﹣4＝5，
∴t＝9；
如果ED＝EM，则点M运动到点A，
∴t＝10；
如果MD＝ME＝t﹣4，
过点E作EF⊥AB于F，如图3所示：
∵ED＝EA，
∴DF＝AF＝AD＝3，
在Rt△AEF中，EF＝4；
∵BM＝t，BF＝7，
∴FM＝t﹣7
则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2＝42，
∴t＝．
综上所述，符合要求的t值为9或10或．

【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．