浙江省宁波市鄞州区咸祥中心初级中学2022-2023学年九年级上学期教学评估数学试卷（9月份）(含答案)

2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区咸祥中心中学九年级（上）教学评估数学试卷（9月份）（附答案与解析）

一、填空题：（每小题3分，共15分）

1．（3分）如果函数y＝（k﹣2）+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是 　   　．

2．（3分）将抛物线y＝﹣3x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线所对应的函数表达式为 　   　．

3．（3分）对于已知二次函数，当x　   　时，函数值y随x的增大而减小；当x　   　时，函数值y随x的增大而增大．且此函数的最大值为 　   　．

4．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+4x+m＝0的解为　   　．

5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，比较下列各式与0的大小．

①abc　   　0；

②b2﹣4ac　   　0；

③（a+c）2﹣b2　   　0．

二、解答题：（共35分）

6．（6分）求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴：

（1）y＝3x2﹣6x+4；

（2）y＝﹣x2+2x+．

7．（10分）已知一个二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．

（1）求该函数的表达式；

（2）设抛物线与x轴分别交于点C、D，与y轴交于点E，求△CDE面积；

（3）若抛物线上存在P点使△PCD与△CDE的面积相等，求点P坐标．

8．（9分）某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．

（1）求y关于x的函数表达式．

（2）若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？

（3）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？

9．（10分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值；

（3）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是等腰三角形时，直接写出M点坐标．

附加题

10．已知点P（m，n）在以y轴为对称轴的抛物线y＝x2+ax+4上，求2m+n的最小值．

2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区咸祥中心中学九年级（上）教学评估数学试卷（9月份）

参考答案与试题解析

一、填空题：（每小题3分，共15分）

1．（3分）如果函数y＝（k﹣2）+kx+1是关于x的二次函数，那么k的值是 　0　．

【分析】依据二次函数的定义可知k﹣2≠0，k2﹣2k+2＝2，从而可求得k的值．

【解答】解：由题意得：k﹣2≠0，k2﹣2k+2＝2．

解得k＝0或k＝2且k≠2．

∴k的值是0．

故答案为：0．

【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．

2．（3分）将抛物线y＝﹣3x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线所对应的函数表达式为 　y＝﹣3（x﹣2）2﹣3　．

【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．

【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线所对应的函数表达式为：y＝﹣3（x﹣2）2﹣3．

故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2﹣3．

【点评】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线的顶点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．

3．（3分）对于已知二次函数，当x　＞1　时，函数值y随x的增大而减小；当x　＜1　时，函数值y随x的增大而增大．且此函数的最大值为 　　．

【分析】先将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可解答本题．

【解答】解：∵函数y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，

∴当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x＜1时，函数值y随x的增大而增大．且此函数的最大值为，

故答案为：＞1，＜1，．

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

4．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+4x+m＝0的解为　x1＝﹣2，x2＝6　．

【分析】根据二次函数的图象关于对称轴对称，由题目中给出的图象，可以求得图象与x轴的另一个交点，从而解答本题．

【解答】解：∵由函数图象可知二次函数y＝﹣x2+4x+m的对称轴为x＝2，与x轴的一个交点为（6，0），

∴二次函数y＝﹣x2+4x+m与x轴的另一个交点的横坐标为：2×2﹣6＝﹣2．

∴二次函数y＝﹣x2+4x+m与x轴的另一个交点的坐标为：（﹣2，0）．

∴令y＝0，则﹣x2+4x+m＝0得，x1＝﹣2，x2＝6．

故答案为：x1＝﹣2，x2＝6．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是能看懂函数的图象，能明确二次函数与一元二次方程的关系．

5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，比较下列各式与0的大小．

①abc　＞　0；

②b2﹣4ac　＞　0；

③（a+c）2﹣b2　＜　0．

【分析】①抛物线开口向下得到a＜0，对称轴在y轴的左侧，a与b同号，得到b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＜0；

②抛物线与x轴有2个交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；

③取x＝1，观察图象得到图象在x轴下方，则x＝1，y＝a+b+c＜0；取x＝﹣1，观察图象得到图象在x轴下方，则x＝﹣1，y＝a﹣b+c＜0．所以可以推知③（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）的符号．

【解答】解：①抛物线开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的左侧，则x＝﹣＜0，则b＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方，则c＞0，

∴abc＞0．

故答案为：＞；

②抛物线与x轴有2个交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0．

故答案为：＞；

③当自变量为1时，图象在x轴下方，则x＝1时，y＝a+b+c＜0；

当自变量为﹣1时，图象在x轴上方，则x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0．

则③（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＜0．

故答案为：＜．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）；

③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．

④抛物线与x轴交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

二、解答题：（共35分）

6．（6分）求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴：

（1）y＝3x2﹣6x+4；

（2）y＝﹣x2+2x+．

【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；

（2）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．

【解答】解：（1）∵y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1，

∴该函数图象的开口向上，顶点坐标为（1，1），对称轴为直线x＝1；

（2）∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣2）2+，

∴该函数图象的开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x＝2．

【点评】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

7．（10分）已知一个二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．

（1）求该函数的表达式；

（2）设抛物线与x轴分别交于点C、D，与y轴交于点E，求△CDE面积；

（3）若抛物线上存在P点使△PCD与△CDE的面积相等，求点P坐标．

【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2+4，然后把B点坐标代入求出a得到抛物线解析式；

（2）解方程﹣（x+1）2+4＝0得C（﹣3，0），D（1，0），再确定E（0，3），然后利用三角形面积公式计算△CDE的面积；

（3）设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），利用三角形面积公式得到×4×|﹣t2﹣2t+3|＝6，然后解方程﹣t2﹣2t+3＝3或方程﹣t2﹣2t+3＝﹣3得P点坐标．

【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4，

把B（2，﹣5）代入得a（2+1）2+4＝5，

解得a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，

即y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，

解得x1＝﹣3，x2＝1，

∴C（﹣3，0），D（1，0），

当x＝0时，y＝﹣（0+1）2+4＝3，

∴E（0，3），

∴△CDE的面积＝×（1+3）×3＝6；

（3）设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），

∵△PCD与△CDE的面积相等，

∴×4×|﹣t2﹣2t+3|＝6，

解方程﹣t2﹣2t+3＝3得t1＝﹣2，t2＝0（舍去），

此时P点坐标为（﹣2，0），

解方程﹣t2﹣2t+3＝﹣3得t1＝﹣1﹣，t2＝﹣1+，

此时P点坐标为（﹣1﹣，﹣3）或（﹣1+，﹣3），

综上所述，P点坐标为（﹣2，0）或（﹣1﹣，﹣3）或（﹣1+，﹣3）．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

8．（9分）某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．

（1）求y关于x的函数表达式．

（2）若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？

（3）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？

【分析】（1）根据题意设出每天降价x元以后，准确表示出每天书刊的销售量，列出利润y关于降价x的函数关系式；

（2）根据题意列出关于x的一元二次方程，通过解方程即可解决问题；

（3）运用函数的性质即可解决．

【解答】解：（1）设每套书降价x元时，所获利润为y元，

则每天可出售20+4×＝20+2x套；

由题意得：y＝（40﹣x）（20+2x）

＝﹣2x2+80x﹣20x+800

＝﹣2x2+60x+800；

（2）当y＝1200时，﹣2（x﹣15）2+1250＝1200，

整理得：（x﹣15）2＝25，

解得x＝10或20但为了尽快减少库存，所以只取x＝20，

答：若每天盈利1200元，为了尽快减少库存，则应降价20元；

（3）∵y＝﹣2（x﹣15）2+1250＝1200

则当x＝15时，y取得最大值1250；

即当将价15元时，该书店可获得最大利润1250元．

【点评】此题考查了二次函数及一元二次方程在现实生活中的应用问题；解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性质解题．

9．（10分）已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值；

（3）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是等腰三角形时，直接写出M点坐标．

【分析】（1）将点A、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接PD交函数对称轴与点P，则点P为所求点，即可求解；

（3）分AM＝DM、AM＝AD、DM＝AD三种情况，分别求解即可．

【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，

抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）y＝x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，

故点B、C的坐标分别为：（1，0）、（0，﹣3）；

函数的对称轴为：x＝﹣1，

点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接PD交函数对称轴与点P，则点P为所求点，

将点D、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，

故BD的函数表达式为：y＝x﹣1，

当x＝﹣1时，y＝﹣2，即点P（﹣1，﹣2），

△PAD周长的最小值＝PA+PD+AD＝BD+AD＝+＝3+；

（3）设点M（﹣1，m），点A、D的坐标分别为：（﹣3，0）、（﹣2，﹣3），

则AM2＝4+m2，DM2＝1+（m+3）2，AD2＝1+9＝10，

当AM＝DM时，4+m2＝1+（m+3）2，解得：m＝﹣1；

当AM＝AD时，同理可得：m＝或﹣；

当DM＝AD时，同理可得：m＝0或﹣6（舍去﹣6）；

综上，点M坐标为：（﹣1，﹣1）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，0）．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

附加题

10．已知点P（m，n）在以y轴为对称轴的抛物线y＝x2+ax+4上，求2m+n的最小值．

【分析】根据点P（m，n）在以y轴为对称轴的抛物线y＝x2+ax+4上，可以求得a的值，m和n的关系，然后即可将2m+n转化为含有n的式子，然后配方，即可得到2m+n的最小值．

【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的抛物线y＝x2+ax+4上，

∴m2+am+4＝n，﹣＝0，

∴a＝0，

∴m2+4＝n，

∴2m+n

＝2m+m2+4

＝（m+1）2+3≥3，

∴2m+n的最小值为3．

【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．