第25课 乘法公式-八年级数学上册同步精讲精练（人教版）

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第25课  乘法公式知识精讲知识点01  平方差公式平方差公式： (a  b)(a  b)  a2  b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里， a, b 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如(a  b)(b  a) 利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(3x  5 y)(3x  5 y)（3）指数变化：如(m3  n2 )(m3  n2 )（4）符号变化：如(a  b)(a  b)（5）增项变化：如(m  n  p)(m  n  p)（6）增因式变化：如(a  b)(a  b)(a2  b2 )(a4  b4 )知识点02  完全平方公式完全平方公式： a  b2   a2   2ab  b2(a  b)2  a 2  2ab  b 2 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形：a2   b2   a  b2   2ab  a  b2   2aba  b2   a  b2   4ab 知识点03  添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号， 括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查 知识点04  补充公式 (x  p)(x  q)  x2  ( p  q)x  pq ； (a  b)(a2 ab  b2 )  a3  b3 ； (a  b)3  a3  3a2b  3ab2  b3 ； (a  b  c)2  a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc .  能力拓展 考法01   平方差公式的应用【典例1】计算(2＋1)( 22 1)( 24 1)( 28 1 )( 216 1)( 232 1 )＋1．【分析】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现 2＋1 与 2－1， 22 1与 22 1， 24  1与24  1等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算；【详解】【点睛】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力．【即学即练1】化简：【解析】【详解】【即学即练2】（1）填空：（a﹣b）（a+b）=          ；（a﹣b）（a2+ab+b2）=      （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=         ．（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）=     （其中 n 为正整数，且 n≥2）．（3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．【解析】【详解】【典例2】先化简，再求值．已知，求的值．【解析】【分析】先根据非负数的性质，求出 m，n 的值，再根据平方差公式求代数式的和即可．【详解】【点睛】本题考查了非负性的应用，解决本题的关键是熟记乘法公式，掌握公式的基本 形式，才能使问题更加简单化．【即学即练3】【解析】【详解】  考法02  完全平方公式的应用【典例3】运用乘法公式计算：（1） (a  2b  3)2 ；（2） (a  2b  3c)(a  2b  3c) ．【分析】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将a  2b  3 化成 a  (2b  3) ，看成 a 与(2b  3) 和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中 a 与 a 完全相同， 2b ， 3c 与2b ， 3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．【详解】【点睛】配成公式中的的形式再进行计算. 【即学即练4】运用乘法公式计算：(1) a  b  ca  b  c ； (2) 2x  y 1 y 1 2x ；(3)  x  y  z 2 ； (4) 2a  3b 11 2a  3b ．【解析】【详解】 【典例4】已知△ABC 的三边长 a 、b 、c 满足 a2  b2  c2  ab  bc  ac  0 ，试判断△ABC的形状．【解析】【分析】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．【详解】【点睛】式子 a2  b2  c2  ab  bc  ac  0 体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的 2 倍，故想到等式两边同时扩大 2 倍，从而得到结论．分层提高【即学即练5】多项式 x2  2xy  2 y2  2 y  5 的最小值是       .【答案】题组A  基础过关练1．下列各多项式相乘：①（-2ab+5x）(5x+2ab);②(ax－y)(-ax-y);③(-ab-c)(ab-c);④(m+n)(-m-n).其中可以用平方差公式的有 （     ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【详解】解：①（-2ab+5x）(5x+2ab)= （5x -2ab）(5x+2ab)，符合平方差公式，故①正确;②(ax－y)(-ax-y) =- (ax－y)( ax+y)，符合平方差公式，故②正确;③(-ab-c)(ab-c)=- (a+-c)(ab-c) ，符合平方差公式，故③正确;④(m+n)(-m-n)=- (m+n)(m+n)，不符合平方差公式，故④错误.正确的有①②③.故选B.2．若x2﹣mx+25是一个完全平方式，则m的值为（　　）A．5 B．10 C．±5 D．±10【答案】D【分析】先根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．利用乘积二倍项列式求解即可．【详解】解：∵x2﹣mx+25是完全平方式，∴这两个数是x和5，∴mx＝±2×5×x，解得m＝±10．故选：D．【点睛】考核知识点：完全平方式.熟记完全平方式的特点是关键.3．下面计算正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【详解】A、，故该选项错误；B、，故该选项错误；C、，故该选项错误；D、，故该选项正确；故选D．【点睛】本题考查学生的运算，解题的关键是熟练运用整式运算法则，本题属于基础题型．4．计算 ，结果是（    ）.A． B． C． D．【答案】A【分析】将5变形为（6-1）原式即可套用平方差公式计算即可.【详解】解：，=，=，=，=，故选A.【点睛】此题考查了平方差公式的应用．注意掌握平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2．5．若x2+mx+9＝（x﹣3）2，则m的值为（　　）A．6 B．﹣6 C．±6 D．3【答案】B【分析】根据完全平方公式，可求得m的值．【详解】解：，可得m=-6．故答案选B．【点睛】本题主要考查完全平方公式，关键在于记住口诀“首平方，尾平方，积的二倍放中央，符号看前方” ．6．下列乘法公式的运用，不正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据平方差公式和完全平方公式，即可求得．【详解】A选项：，故A项正确．B选项：，故B项错误．C选项：，故C项正确．D选项：，故D项正确．故选B．【点睛】本题考查平方差公式和完全平方公式，掌握公式是解题的关键．7．已知（a+b）2＝11，（a﹣b）2＝7，则ab等于（　　）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【答案】C【分析】根据完全平方公式将原式展开，然后二者相减得到4ab即可求解．【详解】∵，∴，即4ab＝4，解得，ab＝1．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练记忆完全平方公式并可以根据条件变形是本题的关键． 题组B  能力提升练1．计算：____________.【答案】2019.【分析】原式利用数的变形化为平方差公式，计算即可求出值．【详解】解：∵∴=故答案是：2019.【点睛】此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．2．计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝_____．【答案】264【分析】在原式前面乘以（2﹣1）构造能用平方差公式的结构，连续使用平方差公式即可．【详解】原式＝＝＝＝264﹣1+1＝264；故本题答案为264．【点睛】此题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是将原式变形为平方差的形式．3．如果是完全平方式，则k的值是________ ．【答案】±12【分析】根据完全平方公式即可得到结论．【详解】解：∵是完全平方公式，∴=（x+6y）2或者=（x-6y）2，∴k=+12或k=-12，故答案为：±12．【点睛】本题考查完全平方公式，注意完全平方公式中间项是±2ab．4．如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，那么a＋b的值为________．【答案】±4【详解】∵（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，∴(2a+2b)2-1=63,∴(2a+2b)2=64,∴2a+2b=±8,∴a+b=±4.故答案为±4.5．如图，有，两个正方形，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和16，则正方形，的面积之和为_____．【答案】21【分析】设出正方形的边长，根据正方形的面积公式和已知阴影部分的面积构建一个方程组，可整体求出正方形A、B的面积之和为21．【详解】设A正方形的边长为a，B正方形的边长为b，由图甲可知，，即∴由图乙可知，，即ab=8，∴故答案为21．【点睛】本题综合考查了完全平方公式的应用，正方形的面积公式，重点掌握完全平方公式的应用，难点是巧用变形求解两个正方形的面积和．6．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：．请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：____．【答案】【分析】在原式基础上添加因式，再利用平方差公式将依次计算即可得出答案 ．【详解】解：．故答案为： ．【点睛】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键，要注意类比小明的解法，但不是照抄小明的解法． 题组C  培优拔尖练1．计算：20162－4034×2016＋20172【答案】1【解析】【分析】仔细观察待求式, 可将待求式变形为20162-220162017+20172利用完全平方差公式可得答案.【详解】解：原式=20162－4034×2016＋20172=20162-220162017+20172=（2016-2017）2=1【点睛】本题是一道整数的简便运算题目, 需结合题中的算式, 根据完全平方公式求解.2．已知，．（1）求的值．（2）求的值．【答案】（1）19；（2）．【分析】（1）先根据求出得出，再利用完全平方公式展开即可求解；（2）根据，求出，再根据平方根的定义即可求解．【详解】解：（1）∵，∴，∴．∵，∴．∴的值为19．（2）∵，，∴，∴，∴的值为．【点睛】本题考查了完全平方公式，平方根的性质，熟知完全平方公式是解题关键．3．我们知道:有些代数恒等式可以利用平面图形的面积来表示，如：就可以用如图所示的面积关系来说明．(1)请根据如图写出代数恒等式,并根据所写恒等式计算：(2)若求的值；(3)现有如图中的彩色卡片:A型、B型、C型，把这些卡片不重叠不留缝隙地贴在棱长为的100个立方体表面进行装饰，A型、B型、C型卡片的单价分别为0.7元/张、0.5元/张、0.4元/张，共需多少费用?【答案】（1）；     （2）   （3）1260元【分析】(1)根据正方形的面积等于正方形里各个图形的面积之和即可解答；找到与求出的代数恒等式的对应字母：a=2x ，b= -y，c= -3，代入求出的代数恒等式即可.(2)根据（1）中求出的代数恒等式，先求出，再把整体代入即可求值.(3)先确定立方体的一个面需要A型、B型、C型卡片各几张，需多少费用，再求1个，100个的费用.【详解】(1) (2)∵∴ (3)故立方体一面需A型卡片1张、B型卡片2张、C型卡片1张，需：0.7+0.5×2+0.4=2.1元100个小立方体需：2.1×6×100=1260元.【点睛】本题考查的是多项式乘法的几何意义，将多项式的乘法用几何图形的面积进行说明，能用不同方法表示图形的面积是关键.4．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.例如：由图1可得到.（1）写出由图2所表示的数学等式：________.（2）写出由图3所表示的数学等式：________.（3）已知实数，，满足，.①求的值.②求的值.【答案】（1）；（2）；（3）①0 ；②1.【分析】（1）根据数据表示出正方形的边长，再根据正方形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的面积，然后根据面积相等即可写出等式；（2）根据数据表示出阴影正方形的边长，再根据正方形的面积公式写出等式的左边，再用大正方形的面积减去其他八小部分的面积，然后根据面积相等即可写出等式；（3）①根据（1）的结论变形为，代数求值即可得解；②在①的基础上即可求得的值．【详解】解：（1）∵大正方形的边长为∴大正方形的面积可表示为∵观察图形可知九小部分的面积和为∴由图2所表示的数学等式：；（2）∵阴影正方形的边长为∴阴影正方形的面积为∵阴影正方形的面积还以表示为大正方形的面积减去其他八小部分的面积：∴由图3所表示的数学等式：；（3）①∵由图2所表示的数学等式：∴∴∵，∴，即；②∵，    ∴．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景、项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．