数学必修 第二册9.2 用样本估计总体教案及反思

《9.2.2 总体百分位数的估计》

 教学设计

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第九章《统计》的第二节《用样本估计总体》。以下是本节的课时安排：

本节课的主要内容是百分位数的理解与应用.学生通过案例的继续探究，明确百分位数的概念，理解百分位数的统计含义，提高数据分析的能力.学生通过例题体会各种数据形式条件下样本数据的百分位数的计算，从而估计总体百分位数，为后续进一步的决策提供数据支撑.

1.结合实例，能用样本估计百分位数，培养数学抽象的核心素养．

2．理解百分位数的统计含义，培养数据分析的核心素养．

1.重点：结合实例，能用样本估计百分位数

2.难点：理解百分位数的统计含义．

（一）新知导入

某省数学考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考.

问题　那么如何确定需要补考的分数线呢？

提示　利用百分位数计算.

（二）总体百分位数的估计

知识点一  第p百分位数的定义

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

知识点二  计算一组n个数据的第p百分位数的步骤

第1步，按从小到大排列原始数据．

第2步，计算i＝n×p%.

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．

知识点三  四分位数

25%,50%,75%这三个分位数把一组数据由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．

【探究1】班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？

【提示】　不是.是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比.

【探究2】“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？

【提示】　有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分.

【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1.若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数.(√)

2.若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.(×)

3.若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.(√)

【做一做】下列一组数据的第25百分位数是(　　)

2．1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6

A．3.2　　　B．3.0　　　C．4.4　　　D．2.5

解析：把这组数据按照由小到大排列，可得：

2．1,3.0,3.2,3.4,3.8, 4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，

由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是第25百分位数．

答案：A

（三）典型例题

1.百分位数的计算

例1.从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：

7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.

(1)分别求出这组数据的第25，50，95百分位数；

(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；

(3)若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.

解：(1)将所有数据从小到大排列，得

7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，

因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×50%＝6，12×95%＝11.4，

则第25百分位数是＝8.15，第50百分位数是＝8.5，

第95百分位数是第12个数据为9.9.

(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.

即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9.

(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g，第50百分位数为8.5 g，第95百分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品.

【类题通法】计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤：

(1)排列：按照从小到大排列原始数据；

(2)算i：计算i＝n×p%；

(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.

【巩固练习1】某中学从高一年级中抽取了30名男生，测量其体重，数据如下(单位：千克)：

62　60　59　59　59　58　58　57　57　57

56　56　56　56　56　56　55　55　55　54

54　54　53　53　52　52　51　50　49　48

(1)求这30名男生体重的25%,75%分位数；

(2)估计本校高一男生体重的第80百分位数．

解：将上述数据按从小到大排序，可得

48　49　50　51　52　52　53　53　54　54

54　55　55　55　56　56　56　56　56　56

57　57　57　58　58　59　59　59　60　62

(1)由25%×30＝7.5,75%×30＝22.5，可知它们的25%,75%分位数是第8, 23项数据，分别为53,57.

(2)由80%×30＝24，可知第80百分位数为第24项与第25项数据的平均数，即×(58＋58)＝58.

据此可以估计本校高一男生体重的第80百分位数约为58.

2.百分位数的应用

例2.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图．

估计参赛学生的成绩的25%,90%分位数．

解：由直方图得，从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.

成绩在60分以下的学生所占比例为30%>25%，

所以25%分位数一定位于[50,60)内．

由50＋10×＝58.3，可以估计参赛学生的成绩的25%分位数为58.3；

成绩在80分以下的学生所占比例为30%＋40%＋15%＝85%<90%，

成绩在90分以下的学生所占比例为30%＋40%＋15%＋10%＝95%>90%，

所以90%分位数一定位于[80,90)内．

由80＋10×＝85，可以估计参赛学生的成绩的90%分位数为85.

【类题通法】由频率分布直方图求百分位数的方法

(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率.

(2)一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可.

【巩固练习2】某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106](单位：g)，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．

试估计样本数据的第70百分位数．

解：由直方图得，从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.10、0.20、0.30、0.25、0.15.

净重在102 g以下的产品所占比例为10%＋20%＋30%＝60%<70%，

净重在104 g以下的产品所占比例为10%＋20%＋30%＋25%＝85%>70%，

所以70%分位数一定位于[102,104)内．

由102＋2×＝102.8，可以估计样本数据的第70百分位数为102.8.

（四）操作演练  素养提升

1.已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　)

A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数

D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数

2.数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________.

3.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________.

4.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，则60分为成绩的第________百分位数.

答案：1.C     2.8.4     3.    4.30

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第203页  练习     第1，2,3题

          第214页   习题9.2  第1题