人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率教案

《10.1.3古典概型》

 教学设计

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第十章《概率》，以下是本章的课时安排：

学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题

1. 理解古典概型及其概率计算公式，培养学生数学抽象的核心素养；

2. 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，培养学生数学运算、数学建模的核心素养。

1.重点：古典概型的概念以及利用古典概型求解随机事件的概率。

2.难点：运用古典概型计算概率。

（一）新知导入

我们一次向上抛掷红、黄、蓝三颗骰子，可能出现多少种不同的结果呢？

【问题】　上述试验中所有不同的样本点有何特点？

【提示】　(1)任何两个样本点之间是互斥的，(2)所有样本点出现可能性相等.

（二）古典概型

知识点一　 概率、古典概型的定义

(1)概率的定义：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率．事件A的概率用P(A)表示．

(2)古典概型的特点：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

知识点二　古典概型的概率计算公式

样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则P(A)＝＝， 其中，n(A)与n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

【思考1】“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是样本点吗？

【提示】　不是.“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，两枚正面向上，所以不是样本点.

【思考2】若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？

【提示】　不一定是，还要看每个样本点发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是.

【思考3】掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？

【提示】　不是.因为骰子不均匀，所以每个样本点出现的可能性不相等.

【辩一辩】判断下列有关古典概型的说法是否正确.

(1)试验中样本点只有有限个.(√)

(2)每个样本点发生的可能性相同.(√)

(3)每个事件发生的可能性相同.(×)

(4)样本点的总数为n，随机事件A包含k个样本点，则P(A)＝.(√)

（三）典型例题

1.古典概型的判断

例1.袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其它球的编号，从中摸出一个球.

(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个样本点概率模型，该模型是不是古典概型？

(2)若按球的颜色为样本点，有多少个样本点？以这些样本点建立概率模型，该模型是不是古典概型？

【解】 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号.故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同.因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.

(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”.

因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为.

因为白球有5个，所以一次摸球摸中白球的可能性为.

同理可知，摸中黑球、红球的可能性均为.

显然这三个样本点出现的可能性不相等，

所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.

【类题通法】判断一个试验是否是古典概型的步骤

(1)判断随机试验的样本点个数是否是有限的；

(2)判断每一个样本点出现的可能性是否都相等．

只有这两条都满足了，这个随机试验才是古典概型.

【巩固练习1】下列概率模型中，是古典概型的个数为(　　)

(1)从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；

(2)从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；

(3)在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；

(4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．

A．1          B．2         C．3  D．4

【解析】第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”．

第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；

第3个概率模型不是古典概型，在一个正方形ABCD内画一点P，有无数个点，不满足“有限性”；

第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．故选A.

答案：A

2.古典概型的概率计算

例2.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.

(1)若从这6个国家中任选2个 ，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.

【解】(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：

{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个.

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：

{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个，

则所求事件的概率为p＝＝.

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：

{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9个.

包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有：

{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2个，则所求事件的概率为p＝.

【类题通法】求古典概型概率的步骤

(1)先判断是否为古典概型；

(2)确定样本点的总数n；

(3)确定事件A包含的样本点个数m；

(4)计算事件A的概率，即P(A)＝

【巩固练习2】(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)

A.　　　   　B.               C.           D.

(2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

【解析】(1)从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝＝.

(2)记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为.

【答案】 (1)C　(2)

3.古典概型的应用

例3.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次.

(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？

【解】　(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.

事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝＝.

(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，共9个样本点.

用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.

事件B由4个样本点组成，所以P(B)＝.

【类题通法】解决有序和无序问题应注意两点

(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.

(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b1)，(b1，a1)不是同一个样本点，解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.

【巩固练习3】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

【解】(1)由已知，甲，乙，丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21种．

(ii)由(1)设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝.

（四）操作演练  素养提升

1.下列是古典概型的是(　　)

①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小．

②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率．

③近三天中有一天降雨的概率．

④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．

A．①②③④　　　B．①②④     C．②③④   D．①③④

2、甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为　(　　)

A.　　　　 B.        C.　　　　 D.

3、从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为(　　)

A.　　　　B.         C.　　　　 D.

4、在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．

【答案】1.B    2.A     3.C      4.

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第238页  练习     第1，2,3题

         第244页   习题10.1  第7,8,9题