北师大版高中数学必修第一册第二章函数学案

章末总结

题型一　函数的表示法

[例1]已知函数f(x)对任意x满足3f(x)-f(2-x)=4x,一元二次函数g(x)满足g(x+2)-g(x)=4x且g(1)=-4.

(1)求f(x),g(x)的解析式;

(2)若x∈[m,n]时,恒有f(x)≥g(x)成立,求n-m的最大值.

解:(1)由3f(x)-f(2-x)=4x,①

得3f(2-x)-f(x)=8-4x,②

联立①②,可得f(x)=x+1.

设g(x)=ax2+bx+c(a≠0),

所以g(x+2)-g(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c-ax2-bx-c=4x,

即4ax+4a+2b=4x,

所以解得a=1,b=-2.

又g(1)=-4,得c=-3,

所以g(x)=x2-2x-3.

(2)令f(x)≥g(x),

即x+1≥x2-2x-3,

x2-3x-4≤0,

解得-1≤x≤4,

所以当x∈[-1,4]时,f(x)≥g(x).

若x∈[m,n]时,恒有f(x)≥g(x)成立,

可得n-m≤4-(-1)=5,即n-m的最大值是5.

跟踪训练1-1:已知函数f(x)=ax2+2x+c(a,c∈N+)满足①f(1)=5;②6<f(2)<11.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若对任意的实数x∈[,],都有f(x)-2mx≤1成立,求实数m的取值范围.

解:(1)因为f(1)=a+2+c=5,所以c=3-a.①

又因为6<f(2)<11,即6<4a+c+4<11,②

将①式代入②式得-<a<,又a,c∈N+,所以a=1,c=2. 所以f(x)=x2+2x+2.

(2)由(1)得f(x)=x2+2x+2,

设g(x)=f(x)-2mx=x2+2(1-m)x+2.

①当-≤1,即m≤2时,g(x)max=g()=-3m,故只需-3m≤1,

解得m≥,与m≤2矛盾,舍去.

②当->1,即m>2时,g(x)max=g()=-m,故只需-m≤1,

解得m≥,又m>2,故m≥.

综上,实数m的取值范围为[,+∞).

注意:求出解析式后应根据题目条件写出函数的定义域.

题型二　函数的性质及应用

[例2] (1)已知奇函数f(x)在区间[2,3]上单调递增,则f(x)在区间[-3,-2]上(　　)

(A)单调递增,且最大值为f(-2)

(B)单调递增,且最大值为f(-3)

(C)单调递减,且最大值为f(-2)

(D)单调递减,且最大值为f(-3)

(2)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-1),f(π),f(-3)的大小关系是(　　)

(A)f(π)>f(-1)>f(-3)

(B)f(π)>f(-3)>f(-1)

(C)f(π)<f(-3)<f(-1)

(D)f(π)<f(-1)<f(-3)

(3)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上是减函数,若f(1-a)<f(2),则实数a的取值范围是(　　)

(A)(-1,3)

(B)(-∞,-1)∪(3,+∞)

(C)(-3,1)

(D)(-∞,-3)∪(1,+∞)

解析:(1)由奇函数在对称区间上的单调性一致知,f(x)在[-3,-2]上单调递增,最大值为f(-2).故选A.

(2)因为f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1),f(-3)=f(3).因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,且π>3>1,所以f(π)>f(3)>f(1),所以f(π)>f(-3)>f(-1).故选B.

(3)由题意知|1-a|<2,解得-1<a<3.故选A.

跟踪训练2-1:(1)偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有(　　)

(A)f(-1)>f()>f(-π)

(B)f()>f(-1)>f(-π)

(C)f(-π)>f(-1)>f()

(D)f(-1)>f(-π)>f()

(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x2-6,则f(4)=　　　　. 

解析:(1)由题意知f(-1)=f(1),f(-π)=f(π).

因为y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,且1<<π,

所以f(1)>f()>f(π),即f(-1)>f()>f(-π).

故选A.

(2)由题意得f(4)=-f(-4)=-[(-4)2-6]=-10.

答案:(1)A　(2)-10

解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答,重点是利用好奇偶函数的概念及对称性、函数的单调性及最值.

题型三　函数的图象及应用

[例3] 已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=x.求x∈[-3,5]时,f(x)=的所有解的和.

解:当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],所以f(-x)=-x.

又因为f(x)为奇函数,所以x∈[-1,0]时,f(x)=-f(-x)=x.即x∈[-1,1]时,f(x)=x.

又由f(x)=f(2-x)可得f(x)的图象关于直线x=1对称.

由此可得f(x)在[-3,5]上的图象如图所示.

在同一坐标系内作出y=的图象,

由图可知两图象在[-3,5]上共有四个交点,

所以f(x)=在[-3,5]上共有四个解,从左到右记为x1,x2,x3,x4,则x1与x4,x2与x3关于直线x=1对称,

所以=1,=1.

所以x1+x2+x3+x4=4.

跟踪训练3-1:已知x2>,求x的取值范围.

解:如图所示,由y=x2与y=的图象可得x的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).

跟踪训练3-2:已知函数f(x)=|x2-mx+3|,且f(1)=0.

(1)求m的值;

(2)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;

(3)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.

解:(1)由f(1)=0,得|4-m|=0,解得m=4.

(2)由(1)得f(x)=

作出函数图象如图所示.

所以函数f(x)的单调递增区间为[1,2]和[3,+∞),单调递减区间为(-∞,1)和(2,3).

故函数f(x)在[1,2]和[3,+∞)上为增函数,在(-∞,1)和(2,3)上为减函数.

(3)由图象可知,y=f(x)与y =m的图象有四个不同的交点,则0<m<1,

所以集合M={m|0<m<1}.

作函数图象是表示函数的一种方法,一旦有了函数图象,可以使问题变得直观,但仍要结合代数运算才能获得精确结果.这体现了数形结合思想.

题型一　函数的定义域

1.若f(x)=ax2+2a是定义在[a2-8,a+2]上的偶函数,令函数g(x)=f(x-1)+f(2+x),则函数g(x)的定义域为　　　　. 

解析:由题意知(a2-8)+(a+2)=0,解得a=-3或2,

又a2-8<0<a+2,故a=2,

即函数f(x)的定义域为[-4,4].

由g(x)=f(x-1)+f(2+x),

所以解得-3≤x≤2,

即函数g(x)=f(x-1)+f(2+x)的定义域为[-3,2].

答案:[-3,2]

2.已知函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围为　　　　 . 

解析:由于函数f(x)=的定义域为R,

所以不等式ax2+2ax+1≥0对任意的x∈R恒成立.

当a=0时,1≥0恒成立,即a=0符合题意;

当a≠0时,则得

解得0<a≤1.

综上,a的取值范围是[0,1].

答案:[0,1]

题型二　函数的表示法

3.已知函数f(x)是一次函数,且f(f(x)-2x)=3恒成立,则f(3)=(　D　)

(A)1 (B)3 (C)5 (D)7

解析:设f(x)=ax+b,a≠0,

则f(f(x)-2x)=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=(a2-2a)x+ab+b,

因为f(f(x)-2x)=3恒成立,所以a2-2a=0且ab+b=3,解得a=2,b=1,

所以f(x)=2x+1,则f(3)=7.故选D.

4.已知函数f(x)=若f(f(a))=2,则(　C　)

(A)a=±1 (B)a=-1

(C)a≤0 (D)a<0

解析:当a<0时,f(a)=1,得f(f(a))=f(1)=2,成立;

当a=0时,f(0)=1,f(f(a))=f(1)=2,成立;

当a>0时,f(a)=a+1,得f(f(a))=f(a+1)=a+1+1=2,得a=0,不成立,

所以a≤0.故选C.

5.已知函数f(x)=ax2+bx+c,能说明f(x)既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的一组整数a,b,c的值依次是a=　　,b=　　,c=　　　.

解析:由f(-x)=f(x),所以ax2-bx+c=ax2+bx+c,

所以2bx=0对任意的x∈R恒成立,可得b=0.

由于函数f(x)=ax2+c在(0,+∞)上单调递减,

则a<0.

因此,符合题意的一组整数a,b,c的值可以依次是

a=-1,b=0,c=1.

答案:-1(答案不唯一)　0　1(答案不唯一)

题型三　函数的性质及其应用

6.(2019·全国Ⅱ卷T6)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=(　D　)

(A)e-x-1 (B)e-x+1

(C)-e-x-1 (D)-e-x+1

解析:因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-1=-f(x),得f(x)=-e-x+1.故选D.

7.(2020·新高考Ⅰ卷T8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(　D　)

(A)[-1,1]∪[3,+∞)

(B)[-3,-1]∪[0,1]

(C)[-1,0]∪[1,+∞)

(D)[-1,0]∪[1,3]

解析:由题意知f(x)在(-∞,0),(0,+∞)单调递减,且f(-2)=-f(2)=f(0)=0.当x>0时,令f(x-1)≥0,得0≤x-1≤2,所以1≤x≤3;当x<0时,令f(x-1)≤0,得-2≤x-1≤0,所以-1≤x≤1,又x<0,所以-1≤x<0;当x=0时,显然符合题意.综上,原不等式的解集为[-1,0]∪[1,3],故选D.

8.(2020·全国Ⅱ卷T10)设函数f(x)=x3-,则f(x)(　A　)

(A)是奇函数,且在(0,+∞)单调递增

(B)是奇函数,且在(0,+∞)单调递减

(C)是偶函数,且在(0,+∞)单调递增

(D)是偶函数,且在(0,+∞)单调递减

解析:函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)=(-x)3-=-x3+=-(x3-)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除C,D.因为函数y=x3,y=-在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)=x3-在(0,+∞)上为增函数,排除B.故选A.

题型四　函数的图象及应用

9.(2019·全国Ⅱ卷T12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是(　B　)

(A)(-∞,] (B)(-∞,]

(C)(-∞,[ (D)(-∞,]

解析:由x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),且x∈R时,f(x+1)=2f(x),

作出函数f(x)的部分图象如图所示:当2<x≤3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),令4(x-2)(x-3)=-,整理得9x2-45x+56=0,

所以(3x-7)(3x-8)=0,

所以x1=,x2=,结合图象知,m≤时,符合题意.

所以x∈(-∞,m]时,都有f(x)≥-成立,即m≤,

所以m∈(-∞,],故选B.

10.(多选题)设函数f(x)=min{|x-2|,x2,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者.下列说法正确的有(　ABC　)

(A)函数f(x)为偶函数

(B)当x∈[1,+∞)时,有f(x-2)≤f(x)

(C)当x∈R时,f(f(x))≤f(x)

(D)当x∈[-4,4]时,|f(x-2)|≥f(x)

解析:作出函数f(x)的图象如图所示,

由图象可知A正确.

对于B,把y=f(x)的图象向右平移2个单位长度得y=f(x-2)的图象.由图象知y=f(x-2)图象上点在y=f(x)图象下或者点重合,故B正确.

对于C,从图象上看,当x∈[0,+∞)时,有f(x)≤x成立,令t=f(x),则t≥0,故f(f(x))≤f(x),故C正确.

对于D,取x=,则f(-)=f()=,f()=,|f(x-2)|<f(x),故D不正确.故选ABC.

11.已知定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,当-1≤x<0时,f(x)=x2,则方程f(x)+=0在[-2,6]内的所有根之和为(　A　)

(A)12 (B)6 

(C)4 (D)2

解析:因为定义在R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,

所以f(2+x)=f(-x)=-f(x),

所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),函数y=f(x)的周期为4.

又当-1≤x<0时,f(x)=x2,作出函数在[-2,6]上的图象如图所示,

方程f(x)+=0在[-2,6]内的所有根之和即为函数y=f(x)与函数y=-的图象在[-2,6]上所有交点的横坐标之和,

如图所示,两函数图象在[-2,6]上有四个交点,令横坐标分别为x1,x2,x3,x4,

且=1⇒x1+x2=2,

=5⇒x3+x4=10,

所以函数y=f(x)与函数y=-的图象在[-2,6]上所有交点的横坐标之和为12.故选A.

第二章　检测试题

(时间:120分钟　满分:150分)

一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.函数f(x)=的定义域为(　A　)

(A)[-1,2)∪(2,+∞) (B)(-1,+∞)

(C)[-1,2)          (D)[-1,+∞)

解析:由解得x≥-1,且x≠2.故选A.

2.已知f(x)=则f(3)=(　D　)

(A)7 (B)2 (C)10    (D)12

解析:f(3)=32+3=12.故选D.

3.下列四组函数中,表示相等函数的一组是(　A　)

(A)f(x)=x,g(x)=lg10x

(B)f(x)=,g(x)=x-1

(C)f(x)=,g(x)=

(D)f(x)=1,g(x)=x0

解析:A.两个函数的定义域相同,g(x)=lg10x=x,对应关系也相同,为相等函数;B,C,D定义域不相同,所以都不是相等函数.故选A.

4.已知函数f(x)=,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是(　A　)

(A)f(x)有最大值,无最小值

(B)f(x)有最大值,最小值

(C)f(x)有最大值,无最小值

(D)f(x)有最大值2,最小值

解析:函数f(x)==2+,即函数f(x)在[-8,-4)上单调递减,则函数f(x)在x=-8处取得最大值,无最小值.故选A.

5.已知定义在[m-5,1-2m]上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(m)的值为(　A　)

(A)-8    (B)8   (C)-24     (D)24

解析:由题意得,m-5=-(1-2m),解得m=-4,

所以f(m)=f(-4)=-f(4)=-(42-2×4)=-8.故选A.

6.函数y=3x+(x≥2)的值域是(　B　)

(A)[,+∞] (B)[6+,+∞)

(C)[6,+∞) (D)[,+∞)

解析:因为y=3x+在[2,+∞)上是增函数,

所以y最小值=3×2+=6+.

所以y=3x+(x≥2)的值域为[6+,+∞).故选B.

7.若函数f(x)=|m-1|xm+1是幂函数,则m=(　C　)

(A)0      (B)1

(C)0或2   (D)1或2

解析:由题意得|m-1|=1,解得m=0或m=2.故选C.

8.已知f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的减函数,则a的取值范围是(　A　)

(A)[,)   (B)(,]

(C)(0,)   (D)(-∞,]

解析:由题意得解得≤a<.

故选A.

二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.下列函数中,在定义域内既是奇函数又是增函数的为(　AB　)

(A)y=x (B)y=x3

(C)y=- (D)y=x4

解析:A,B为定义域上的增函数且为奇函数.y=-是奇函数,但在定义域内不是增函数.故选AB.

10.已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的是(　BC　)

(A)f(x)的定义域为R

(B)f(x)的值域为(-∞,4]

(C)若f(x)=2,则x的值是-

(D)f(x)<1的解集为(-1,1)

解析:函数f(x)的定义域为[-2,+∞],故A错误.

当-2≤x<1时,f(x)∈[0,4];

当x≥1时,f(x)∈(-∞,1],即函数f(x)的值域为(-∞,4],故B正确.

当-2≤x<1时,由x2=2得x=-;当x≥1时,由-x+2=2得x=0(不符合),故C正确.

当-2≤x<1时,令f(x)=x2<1,解得x∈(-1,1);当x≥1时,令f(x)=-x+2<1,解得x∈(1,+∞),故f(x)<1的解集为(-1,1)∪(1,+∞),故D错误.故选BC.

11.函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论正确的是(　ABD　)

(A)f(0)=0

(B)若f(x)在[0,+∞)上有最小值-1,则f(x)在(-∞,0]上有最大值1

(C)若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则f(x)在(-∞,-1]上为减函数

(D)若x>0时,f(x)=x2-2x,则x<0时,f(x)=-x2-2x

解析:A正确;由对称性知B正确;奇函数在对称区间上单调性一致,C不正确;对于D,x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,

又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2-2x,即D正确.故选ABD.

12.已知函数f(x),x∈(-∞,0)∪(0,+∞),对于任意的x,

y∈(-∞,0)∪(0,+∞),f(xy)=f(x)+f(y),则(　AC　)

(A)f(x)的图象过点(1,0)和(-1,0)

(B)f(x)在定义域上为奇函数

(C)若当x>1时,有f(x)>0,则当-1<x<0时,f(x)<0

(D)若当0<x<1时,有f(x)<0,则f(x)>0的解集为(1,+∞)

解析:令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0,令x=y=-1,则f(1)=

f(-1)+f(-1),则f(-1)=0,所以f(x)的图象过点(1,0)和(-1,0),故A正确;

令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1),即f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,故B错误;

令y=-,则f(-1)=f(x)+f(-)=0,

则f(-)=-f(x),当x>1时,-∈(-1,0),又f(x)>0,则f(-)<0,

即当-1<x<0时,f(x)<0,故C正确;

令y=,则f(1)=f(x)+f()=0,则f()=-f(x),当0<x<1时,∈(1,+∞),又f(x)<0,则f()>0,即当x>1时,f(x)>0,因为f(x)是偶函数,所以x<-1时,f(x)>0,所以f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞),故D错误.故选AC.

三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.

13.已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm的图象如图所示,那么实数m的值是　             .

解析:由题意知

解得m=-2或m=1(舍去),

又由函数的图象可得该函数为偶函数,所以m=-2.

答案:-2

14.已知f(x)=x2 005+ax3--8,f(-2)=10,则f(2)=　　    　　. 

解析:由题意知-22 005-a·23+-8=10,

可得22 005+a·23-=-18,

所以f(2)=22 005+a·23--8=-26.

答案:-26

15.奇函数f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,若f(2a+1)+f(4a-3)>0,则实数a的取值范围是　　     　　. 

解析:因为f(x)为奇函数,

所以f(2a+1)>f(3-4a),

又f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,

所以解得≤a<,

实数a的取值范围为[,).

答案:[,)

16.已知函数f(x-1)=x2+(2a-2)x+3-2a.

(1)若函数f(x)在区间[-5,5]上为单调函数,则实数a的取值范围为　　       　　; 

(2)若f(x)在区间[-5,5]上的最小值为-1,则a的值为　　　 　.

解析:令x-1=t,则x=t+1,

f(t)=(t+1)2+(2a-2)·(t+1)+3-2a=t2+2at+2,

所以f(x)=x2+2ax+2.

(1)因为函数f(x)图象的对称轴方程为x=-a,

由题意知-a≤-5或-a≥5,

解得a≤-5或a≥5.

故实数a的取值范围为(-∞,-5]∪[5,+∞).

(2)当a>5时,f(x)最小值=f(-5)=27-10a=-1,解得a=(舍去);

当-5≤a≤5时,f(x)最小值=f(-a)=-a2+2=-1,解得a=±;

当a<-5时,f(x)最小值=f(5)=27+10a=-1,解得a=-(舍去).

综上,a=±.

答案:(1)(-∞,-5]∪[5,+∞)　(2)±

四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)若f(x)对x∈R恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,求f(x).

解:2f(x)-f(-x)=3x+1,                             ①

将①中的x换为-x,得2f(-x)-f(x)=-3x+1,           ②

①②联立,得

把f(x)与f(-x)看成未知数,

解得f(x)=x+1.

18.(12分)已知幂函数f(x)=xa的图象过点(9,3).

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)已知函数g(x)=在给定的平面直角坐标系中画出函数g(x)的图象;

(3)利用图象写出函数g(x)的值域和单调递增区间(不需证明).

解:(1)由题意知9a=3,解得a=,

所以f(x)=.

(2)由(1)可知函数g(x)=作出函数图象如图所示.

(3)由(2)中图象可知,函数g(x)的值域为(-∞,-1]∪[0,+∞),单调递增区间为(-∞,-2]和[0,+∞).

19.(12分)在①k=-1,②k=1这两个条件中任选一个,补充在下面问

题中.

已知函数f(x)=-kx,且　    　　　. 

(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;

(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义给予证明.(若两个条件都选,按第一个计分)

解:选择①k=-1,因为f(x)=-kx,

所以f(x)=x-.

(1)要使函数f(x)有意义,只需x≠0,所以函数f(x)的定义域为

(-∞,0)∪(0,+∞).

因为f(-x)=-x-=-(x-)=-f(x),

所以f(x)为奇函数.

(2)函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增.

证明如下:∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=x1--(x2-)=(x1-x2)+=(x1-x2)(1+)

=.

因为0<x1<x2,所以x1-x2<0,

x1x2>0,x1x2+1>0,

所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

故函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;

同理可证,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,

所以函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递增.

选择②k=1,因为f(x)=-kx,

所以f(x)=-x.

(1)要使函数f(x)有意义,只需x≠0,

所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

因为f(-x)=-(-x)=-(-x)=-f(x),

所以f(x)为奇函数.

(2)函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减.

证明如下:∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=-x1-(-x2)

=+(x2-x1)

=(x2-x1)(1+)

=.

因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2>0,x1x2+1>0,

所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

故函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,

同理可证,函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,

所以函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减.

20.(12分)已知函数f(x)=2x2-3x+1.

(1)函数h(x)是奇函数,当x>0时,h(x)=f(x),求函数h(x)在x∈R上的解析式;

(2)若g(x)=-f(x)+mx+1,当x∈[1,2]时,g(x)的最大值为2,求m

的值.

解:(1)设x<0,则-x>0,因为函数h(x)是奇函数,

所以h(x)=-h(-x)=-2x2-3x-1.

所以h(x)=

(2)g(x)=-f(x)+mx+1,

所以g(x)=-2x2+(3+m)x.

一元二次函数g(x)的图象开口向下,

对称轴方程为x=,

在x∈[1,2]时,g(x)的最大值为2,

①当≤1,即m≤1时,g(x)max=g(1)=-2+3+m=2,解得m=1;

②当1<<2,即1<m<5时,g(x)max=g()==2,

解得m=1(舍去)或m=-7(舍去);

③当≥2,即m≥5时,g(x)max=g(2)=-8+2m+6=2,解得m=2(舍去).

综上所述,m的值为1.

21.(12分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:min),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40 min,试根据上述分析结果回答下列问题:

(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?

(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.

解:(1)由题意知,当30<x<100时,

f(x)=2x+-90>40,

即x2-65x+900>0,

解得x<20或x>45,

所以,x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.

(2)当0<x≤30时,g(x)=30·x%+40(1-x%)=40-;

当30<x<100时,

g(x)=(2x+-90)·x%+40(1-x%)=-x+58.

所以,g(x)=

当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增.

说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的.所以当自驾人数为S的32.5%时,人均通勤时间最少.

22.(12分)已知函数f(x)在[m,n](m<n)上的最小值为t,若t≤m恒成立,则称函数f(x)在[m,n](m<n)上具有“DK”性质.

(1)判断函数f(x)=x2-2x+2在[1,2]上是否具有“DK”性质?说明理由.

(2)若g(x)=x2-ax+2在[a,a+1]上具有“DK”性质,求a的取值范围.

解:(1)具有“DK”性质.理由如下:

因为f(x)=x2-2x+2,x∈[1,2],

图象的对称轴方程为x=1,开口向上,

当x=1时,f(x)取得最小值为f(1)=1,

所以f(x)min=f(1)=1≤1,

所以函数f(x)在[1,2]上具有“DK”性质.

(2)g(x)=x2-ax+2,x∈[a,a+1],其图象的对称轴方程为x=,开口向上.

①当≤a,即a≥0时,g(x)min=g(a)=a2-a2+2=2.

若函数g(x)具有“DK”性质,则有2≤a总成立,

即a≥2.

②当a<<a+1,即-2<a<0时,g(x)min=g()=-+2.

若函数g(x)具有“DK”性质,则有-+2≤a总成立,a无解.

③当≥a+1,即a≤-2时,g(x)min=g(a+1)=a+3,

若函数g(x)具有“DK”性质,则有a+3≤a,a无解.

综上所述,若g(x)=x2-ax+2在[a,a+1]上具有“DK”性质,则a≥2.

即a的取值范围为[2,+∞).