北师大版高中数学必修第一册第五章函数应用学案

1.2　利用二分法求方程的近似解

　二分法

[问题1] 现有外观相同的16枚金币,其中1枚较轻.现有一个无砝码的天平,请你设计能尽快找出这枚较轻金币的方案.

提示:把16枚金币一分为二,天平两端各放8枚,找出较轻的那一边,然后再把这8枚金币一分为二,天平两端各放4枚,找出较轻的那4枚,以此类推,直到剩余2枚时就可测出较轻的那枚金币.

知识点1:二分法的概念

(1)满足精度ε的近似解:设是方程f(x)=0的一个解,给定正数ε,若x0满足|x0-|<ε,就称x0是满足精确度ε的近似解.

(2)二分法的定义:对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,f(a)·f(b)<0,则每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.

[思考1] 若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解?

提示:二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解.

[例1] 已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)

(A)4,4 

(B)3,4 

(C)5,4 

(D)4,3

解析:图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的个数为3,故选D.

变式训练1-1:下列函数中,能用二分法求零点的是(　　)

解析:由题意以及零点存在定理可知,只有选项D能够应用二分法求解函数的零点,故选D.

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.

　二分法的步骤

[问题2] (1)函数f(x)=ln x+2x-6的零点所在的大致区间是(     )

(A)(1,2) (B)(2,3)

(C)(3,4) (D)(4,5)

(2)如果利用二分法求函数f(x)=ln x+2x-6的近似零点,则接下来应该怎么做?

提示:(1)因为f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以函数f(x)=ln x+2x-6的零点所在的大致区间为(2,3).

(2)如果利用二分法求函数的近似零点,接下来应该计算区间(2,3)中点的函数值f(2.5),然后再判定零点的大致区间,以此类推,直到达到要求的精确度为止.

知识点2:二分法求方程近似解的步骤

利用二分法求方程近似解的过程可以用下图表示出来.

其中:“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间;

新区间的一个端点是原区间的中点,另一端点是原区间两端点中的一个,并且新区间两端点的函数值异号.

[思考2] “精确到0.1”与“精确度为0.1”一样吗?

提示:不一样.比如得数是1.25或1.34,精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间(a,b)满足|a-b|<0.1,比如零点近似值所在区间为(1.25,1.34).若精确度为0.1,则近似值可以是1.25,也可以是1.34.

[例2] 求方程x3-3=0的一个近似解.(精确度为0.02)

解:考查函数f(x)=x3-3,基于零点存在定理,从一个两端点函数值异号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程解所在的区间.

经计算f(1)=-2<0,f(2)=5>0,

所以方程x3-3=0在区间(1,2)内有解.

取区间(1,2)的中点1.5,f(1.5)=0.375>0,

所以方程x3-3=0在区间(1,1.5)内有解.

如此下去,得到方程x3-3=0的解所在区间(如下表):

至此可以看出区间[1.437 5,1.453 125]的区间长度小于0.02,而方程的近似解就在这个区间内,因此区间内任意一个数都是满足精确度的近似解,例如,1.45就是方程x3-3=0精确度为0.02的一个近似解.

变式训练2-1:根据下表,用二分法求函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度为0.1)是　　　　. 

解析:由表中数据知f(1.5)·f(2)<0,f(1.5)·f(1.562 5)<0,所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上,又因为|1.562 5-1.5|=0.062 5<0.1,所以函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.

答案:1.5

变式训练2-2:如何求的近似值?(精确度为0.01)

解:设x=,则x3=2,即x3-2=0,

令f(x)=x3-2,则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值,以下用二分法求其零点.

由f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间(1,2)为计算的初始区间.

用二分法逐次计算,列表如下:

由于|1.265 625-1.257 812 5|=0.007 812 5<0.01,所以1.265 625是函数的零点的近似值,即的近似值是1.265 625.

周而复始怎么办?精确度上来判断.

基础巩固

知识点一:二分法的概念

1.下面关于二分法的叙述中,正确的是(　B　)

(A)用二分法可求所有函数零点的近似值

(B)用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位

(C)二分法无规律可循,无法在计算机上完成

(D)只能用二分法求函数的零点

解析:用二分法求函数零点的近似值,需要有端点函数值符号相反的区间.故选项A错误;二分法是一种程序化的运算,可以无限求下去,C错误;求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等,故D错误.

故选B.

2.下列函数图象与x轴都有公共点,其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是(　A　)

解析:A选项中函数零点两端函数值同号,不能用二分法求零点,BCD均可.故选A.

3.用二分法求方程log2x+x=2的近似解时,可以取的一个区间是(　B　)

(A)(,1) (B)(1,)

(C)(,2) (D)(2,)

解析:因为f(1)=0+1-2=-1<0,f()=log2-=log2-log2>0,所以方程log2x+x=2的解所在的区间为(1,).故选B.

4.在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是(　D　)

(A)[1,4]     (B)[-2,1]

(C)[-2, ]     (D)[-,1]

解析:因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4],所以第三次所取的区间可能为[-2,-],[-,1],

[1,],[,4].故选D.

知识点二:二分法求近似解

5.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时,经计算,

f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即得出方程的一个近似解

为　　    　　.(精确度为0.1) 

解析:因为f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,

而|0.75-0.687 5|<0.1,

所以方程的一个近似解为0.687 5.

答案:0.687 5(答案不唯一)

能力提升

6.已知函数f(x)=2x-在区间(1,2)上有一个零点x0,如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为(　C　)

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

解析:由于每等分一次,零点所在区间的长度变为原来的,则等分n次后的区间长度变为原来的,则由题可得<0.01,即2n>100>26,所以n>6,则至少等分的次数为7.故选C.

7.华罗庚是20世纪我国伟大的数学家,以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等.他除了数学理论研究,还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”是指研究如何用较少的试验次数,迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻,为防范机场带来的境外输入,某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率:每16人为一组,把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查,如果为阴性则全部放行;若为阳性,则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性),若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分为两组,选其中一组4人的样本混合检查……以此类推,最终从这16人中认定那名感染者需要经过检测的次数为(　B　)

(A)3 (B)4 (C)6 (D)7

解析:先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查,若为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分为两组,选其中一组4人的样本检查,为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人均分为两组,选其中一组2人的样本混合检查,为阴性则认定在另一组;若为阳性,则认定在本组,此时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本检查,为阴性则认定是另一个人;若为阳性,则认定为此人,此时进行了4次检测.所以,最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测.故选B.

8.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则下列命题正确的是(　ABD　)

(A)函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内

(B)函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内

(C)函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内

(D)函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内

解析:因为f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,所以f(3)>0,f(1)f(2)<0,若f(1)>0,f(2)<0,可得f(2)f(3)<0,f(1)f(2)<0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内,故B正确;若f(1)<0,f(2)>0,则f(0)f(1)<0,f(1)f(2)<0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内,故A正确.

综上两种情况,可知选项C错误,D正确.故选ABD.

9.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:

根据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度为0.01)为

　        　　. 

解析:由题表知f(1.562 5)>0,f(1.556 2)<0,

|1.562 5-1.556 2|=0.006 3<0.01,

所以f(x)=3x-x-4的一个零点在区间(1.556 2,1.562 5)上,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为1.56.

答案:1.56

10.某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0.在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8,那么他再取的x的4个值依次是　     　　   　.

解析:第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).

答案:1.5,1.75,1.875,1.812 5

11.用二分法求方程2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据:

解:令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0,

因为|1.375-1.5|=0.125<0.2,

所以2x+x=4在[1,2]内的近似解可取为1.375.

12.已知函数f(x)=ln x+2x-6.

(1)证明:f(x)有且只有一个零点;

(2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于.

(1)证明:令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=ln +2(x1-x2),且>1,x1-x2>0,

所以f(x1)>f(x2),即f(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上是增函数,

所以f(x)至多有一个零点.

又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,

所以f(2)·f(3)<0,

即f(x)在(2,3)内有一个零点.

所以f(x)在(0,+∞)上只有一个零点.

(2)解:因为f(2)<0,f(3)>0,

取x1==,f()=ln -1<0,

所以f(3)f()<0,

即f(x)的零点x0∈(,3).

取x2==,则f()=ln ->0.

所以f()f()<0.

所以x0∈(,),又|-|=≤,

所以满足题意的区间为(,).

应用创新

13.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.

证明:因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,

即3(a+b+c)-b-2c>0.

因为a+b+c=0,所以-b-2c>0,

则-b-c>c,即a>c.

因为f(0)>0,所以c>0,则a>0.

在区间[0,1]内选取二等分点,

则f()=a+b+c=a+(-a)=-a<0.

因为f(0)>0,f(1)>0,

所以函数f(x)在区间(0,)和(,1)上至少各有一个零点.

又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.