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高考数学(理数)二轮复习专题4 第1讲《统计与概率》练习 (含答案详解)
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专题复习检测A卷1.(天津模拟)8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为( )A.AA B.ACC.AA D.AC【答案】A【解析】不相邻问题用插空法,8名学生先排有A种排法,产生9个空,2位老师插空有A种排法,所以共有AA种排法.故选A.2.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( )A.152 B.126 C.90 D.54【答案】B【解析】分两类:若有2人从事司机工作,则有CA=18种;若有1人从事司机工作,则有CCA=108种,所以共有18+108=126种.3.(广西钦州三模)二项式n的展开式前三项系数成等差数列,则n=( )A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】二项式n的展开式的通项是Tr+1=Cxn-rr=rCxn-.由题意可得2·C·=C+C·,解得n=1(舍去),或n=8.故选C.4.(辽宁模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有( )A.30种 B.50种 C.60种 D.90种【答案】B【解析】若甲同学选牛,则乙同学可以选狗或羊,丙同学可以从剩下的10种任意选,所以共有2×10=20种选法;若甲同学选马,则乙同学可以选牛、狗或羊,丙同学可以从剩下的10种任意选,所以共有3×10=30种选法.所以选法共有20+30=50种.故选B.5.(四川模拟)从1,3,5,7,9中任取3个数字,从2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的五位数,则组成的五位数中偶数的个数为( )A.7 200 B.2 880 C.120 D.60【答案】B【解析】先选出5个数字(3奇2偶),有CC=60种选法,再将选出的5个数字排成五位偶数有CA=48种排法,所以组成没有重复数字的五位偶数有60×48=2 880个.故选B.6.(上海)若排列数A=6×5×4,则m=________.【答案】3【解析】因为A=6×5×…×(6-m+1),所以6-m+1=4,解得m=3.7.(上海)已知二项式(2x+1)5,则展开式中含x2项的系数为________.【答案】40【解析】Tr+1=C(2x)5-r=25-rCx5-r,令5-r=2,得r=3,故x2的系数为22×C=40.8.若(1+2x)2 018=a0+a1x+a2x2+…+a2 018x2 018(x∈R),则-+-+…+的值为________.【答案】-1【解析】在(1+2x)2 018=a0+a1x+a2x2+…+a2 018x2 018(x∈R)中,令x=0,得a0=1;再令x=-,得a0-+-+…+=(1-1)2 018=0,所以-+-+…+=-1.9.7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男同学4人,女同学2人,在下列情况下,各有不同站法多少种?(1)两个女同学必须相邻而站;(2)4名男同学互不相邻;(3)老师不站中间,女同学甲不站左端.【解析】(1)∵两个女同学必须相邻而站,∴把两个女同学看做一个元素,则共有6个元素进行全排列,还有女同学内部的一个排列共有AA=1 440(种)站法.(2)∵4名男同学互不相邻,∴应用插空法,要老师和女同学先排列,形成四个空再排男同学共有AA=144(种)站法.(3)当老师站左端时其余六个位置可以进行全排列,共有A=720(种)站法,当老师不站左端时,老师有5种站法,女同学甲有5种站法,余下的5个人在五个位置进行排列,共有A×5×5=3 000(种)站法.根据分类加法计数原理知共有720+3 000=3 720(种)站法.10.若n展开式中前三项的系数成等差数列,求:(1)展开式中所有x的有理项;(2)展开式中系数最大的项.【解析】易求得展开式前三项的系数为1,C,C.据题意得2×C=1+C⇒n=8.(1)设展开式中的有理项为Tk+1,由Tk+1=C()8-kk=kCx,∴k为4的倍数.又0≤k≤8,∴k=0,4,8.故有理项为T1=0Cx=x4,T5=4Cx=x,T9=8Cx=.(2)设展开式中Tk+1项的系数最大,则:kC≥k+1C且kC≥k-1C⇒k=2或k=3.故展开式中系数最大的项为T3=2Cx=7x,T4=3Cx=7x.B卷11.(广东深圳模拟)已知5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )A.-80 B.-40 C.40 D.80【答案】D【解析】令x=1,可得展开式中各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2,解得a=1,则5=5+5.其中5的展开式的通项为Tr+1=C(2x)5-r·r=(-1)r25-r·Cx5-2r,其中不含常数项,令r=2得T3=80x,所以该展开式中常数项为80.故选D.12.如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有( )A.72种 B.48种C.24种 D.12种【答案】A【解析】按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:用4种颜色涂,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=24(种)涂法;用3种颜色涂,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24(种),D只要不与C同色即可,故D有2种涂法.所以不同的涂法共有24+24×2=72(种).13.(浙江模拟)现有排成一排的7个不同的盒子,将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中,若每个盒子最多放一个小球,则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有______种.(结果用数字表示)【答案】336【解析】若不考虑红球与黄球不相邻,则4个小球有A种排法,再安排空盒,有CA种方法;若红球与黄球相邻,则4个小球有AA种排法,再安排空盒,有CA种方法.所以所求方法种数为ACA-AACA=336.14.(江苏)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*.已知a=2a2a4.(1)求n的值;(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值.【解析】(1)由(1+x)n=C+Cx+Cx2+…+Cxn,n≥4,可得a2=C=n(n-1),a3=C=n(n-1)(n-2),a4=C=n(n-1)(n-2)(n-3).由a=2a2a4,可得2=2·n(n-1)·n(n-1)(n-2)(n-3),化简得2(n-2)=3(n-3),解得n=5.(2)方法一:(1+)5=C+C+C()2+C()3+C()4+C()5=1+5+30+30+45+9=76+44,又(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,所以a=76,b=44.所以a2-3b2=762-3×442=-32.方法二:(1+)5=a0+a1+a2()2+a3()3+a4()4+a5()5=a+b,则(1-)5=a0+a1(-)+a2(-)2+a3(-)3+a4(-)4+a5(-)5=a-b,可得(a+b)(a-b)=(1+)5(1-)5,即a2-3b2=(1-3)5=-32.
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