高考数学(理数)二轮复习专题14《大题专项》练习05 (含答案详解)

大题专项训练5　选考系列

1．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是(t为参数)．

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；

(2)设点P(m,0)，若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．

【解析】(1)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，可得直角坐标方程为x2＋y2＝2x.

由(t为参数)，消去t，得x＝y＋m.

(2)把代入x2＋y2＝2x，

整理得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，

由Δ＝(m－)2－4(m2－2m)＞0，

解得－1＜m＜3.

由|PA|·|PB|＝1＝|t1t2|，t1t2＝m2－2m，

解得m＝1±或1，均满足－1＜m＜3.

∴实数m＝1±或1.

2．(河北衡水一模)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(α为参数)．

(1)若直线l与圆C的相交弦长不小于，求实数m的取值范围；

(2)若点A的坐标为(2,0)，动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的轨迹方程．

【解析】(1)由(t为参数)，消去t，得y＝mx.

由(α为参数)，消去α，

得x2＋(y－1)2＝1.

圆心到直线l的距离d＝，

相交弦长＝2，

所以2≥，解得m≤－1或m≥1.

(2)设P(cos α，1＋sin α)，Q(x，y)，

则x＝(cos α＋2)，y＝(1＋sin α)，

消去α，整理得线段PA的中点Q的轨迹方程(x－1)2＋2＝.

3．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－m|(m＞1)，若f(x)＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}．

(1)求m的值；

(2)若关于x的不等式f(x)＜a2＋a－4有解，求实数a的取值范围．

【解析】(1)∵m＞1，∴f(x)＝

由f(x)＞4的解集为{x|x＜0或x＞4}，得f(0)＝－2×0＋m＋1＝4，解得m＝3.经检验，符合题意．

(2)由(1)得f(x)＝∴f(x)的最小值为2.

f(x)＜a2＋a－4有解，则2＜a2＋a－4，即a2＋a－6＞0，解得a＜－3或a＞2.

∴a的取值范围为{a|a＜－3或a＞2 }．

4．(广西南宁二模)设实数x，y满足x＋＝1.

(1)若|7－y|<2x＋3，求x的取值范围；

(2)若x>0，y>0，求证：≥xy.

【解析】(1)因为x＋＝1，所以4x＋y＝4，

即y＝4－4x.

由|7－y|<2x＋3，得|4x＋3|<2x＋3，

即－(2x＋3)<4x＋3<2x＋3，解得－1<x<0.

(2)x>0，y>0,1＝x＋≥2＝，

即≤1.

－xy＝(1－)，

又0<≤1，则－xy＝(1－)≥0，

即≥xy.