高考数学(理数)二轮复习专题14《小题(12+4)专项》练习07 (含答案详解)

小题专项训练7　平面向量

一、选择题

1．(福建厦门模拟)已知点A(－1,1)，B(0,2)，若向量＝(－2,3)，则向量＝(　　)

A．(3，－2)　 B．(2，－2)

C．(－3，－2)　 D．(－3,2)

【答案】D

【解析】由A(－1,1)，B(0,2)，可得＝(1,1)，所以＝－＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)．故选D．

2．平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是(　　)

A．矩形　　　　　　 B．正方形　　

C．菱形　　　　  D．梯形

【答案】C

【解析】因为＋＝0，所以＝，四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，则四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．

3．(河北石家庄模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，m)，c＝(2,4)，且(2a－5b)⊥c，则实数m＝(　　)

A．－　 B．　　

C．　　　　  D．－

【答案】B

【解析】因为2a－5b＝(4,2)－(5,5m)＝(－1,2－5m)．又(2a－5b)⊥c，所以(2a－5b)·c＝0，即(－1,2－5m)·(2,4)＝－2＋4(2－5m)＝0，解得m＝.

4．已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于(　　)

A．　 B．2　　　　　　　 　　

C．3　 D．4

【答案】D

【解析】因为a·(a－b)＝a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，所以4＋2|b|×＝8，解得|b|＝4.

5．(广东潮州模拟)已知向量a，b为单位向量，且a＋b在a的方向上的投影为＋1，则向量a与b的夹角为(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】A

【解析】设向量a，b的夹角为θ，由a，b为单位向量可得|a|＝|b|＝1.a＋b在a方向上的投影为＝＝＝1＋cos θ，所以1＋cos θ＝＋1，得cos θ＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选A．

6．(辽宁模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，则(　　)

A．＝＋

B．＝＋

C．＝＋

D．＝＋

【答案】D

【解析】由题图的特征及DF＝2AF，易得＝，＝，＝，所以＝＋，＝＋，＝＋.所以＝＋.所以＝＋＋＝＋(－)－＝＋.所以＝＋.故选D．

7．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　)

A．　 B．∪

C．(－2，＋∞)　 D．[－2，＋∞)

【答案】B

【解析】当a，b共线时，2k－1＝0，解得k＝，此时a，b方向相同，夹角为0，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不共线．由a·b＝2＋k>0，得k>－2.又k≠，故实数k的取值范围是∪.故选B．

8．(安徽合肥校级联考)在边长为1的正三角形ABC中，D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于(　　)

A．　 B． 　　

C．　　 D．

【答案】D

【解析】如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A，D，E，∴＝，＝，∴·＝·＝－＋＝.

9．已知向量＝(3,1)，＝(－1，3)，＝m－n (m>0，n>0)，若m＋n＝1，则||的最小值为(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】C

【解析】由＝(3,1)，＝(－1,3)，得＝m－n＝(3m＋n，m－3n)．∵m＋n＝1(m>0，n>0)，∴n＝1－m且0<m<1.∴＝(1＋2m,4m－3)，则||＝＝(0<m<1)．∴当m＝时，||min＝.

10．(湖南长沙模拟)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点D，E满足＝λ，＝(1－λ)(λ∈R)，若·＝5，则λ＝(　　)

A．2　 B．3　　

C．　 D．－

【答案】B

【解析】由题意得＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，所以·＝(λ－1)2－λ2＋(1＋λ－λ2)A·.

又∠A＝90°，则·＝0.而＝1，＝2，所以4(λ－1)－λ＝5，解得λ＝3.故选B．

11．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且向量a，b不共线，则下列说法错误的是(　　)

A．|a|＝|b|＝1

B．(a＋b)⊥(a－b)

C．a与b的夹角等于α－β

D．a与b在a＋b方向上的投影相等

【答案】C

【解析】由夹角公式可得cos〈a，b〉＝＝a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，当α－β∈[0，π]时，〈a，b〉＝α－β，当α－β∉[0，π]时，〈a，b〉≠α－β，C错误．易得A，B，D正确．故选C．

12．(四川雅安模拟)如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DEM上变动，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是(　　)

A．[－，1]　 B．[－，]

C．　 D．

【答案】A

【解析】以A为原点，AB，AD分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，E(1,0)，D(0,1)，F，P(cos α，sin α)(－90°≤α≤90°)，则＝(cos α，sin α)，＝(－1,1)，＝.∵＝λ＋μ，∴cos α＝－λ＋μ，sin α＝λ＋μ，解得λ＝(3sin α－cos α)，μ＝(cos α＋sin α)．∴2λ－μ＝sin α－cos α＝sin(α－45°)．∵－90°≤α≤90°，∴－≤sin(α－45°)≤1.故选A．

二、填空题

13．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n＝________.

【答案】－3

【解析】由a＝(2,1)，b＝(1，－2)，可得m a＋n b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，故m－n＝－3.

14．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角的余弦值为sin ，则b·(2a－b)的值为________．

【答案】－18

【解析】因为a与b的夹角的余弦值为sin ＝－，所以a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.

15．已知A，B，C为单位圆O上任意三点，·＝0，·＝－，·＝－，若OA的中点为E，则·的值为________．

【答案】

【解析】由题意，设B(1,0)，C(0,1)，A(x，y)，则＝(x，y)，∴·＝x＝－，·＝y＝－.∴A，OA的中点为E.∴·＝·(1，－1)＝－＋＋1＝.

16．(江苏南京模拟)O是平面α上一定点，A，B，C是平面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角，给出以下命题：

①若点P满足＝＋＋，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；

②若点P满足＝＋λ(λ>0)，则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；

③若点P满足＝＋λ(λ>0)，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；

④若点P满足＝＋λ

(λ>0)，则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．

其中正确命题的序号是________．

【答案】②③④

【解析】对于①，由＝＋＋，知＋＋＝0，故点P是△ABC的重心，①错误；对于②，由＝＋λ，知＝λ，∵与分别表示与方向上的单位向量，故AP平分∠BAC，∴△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中，

②正确；对于③，由＝＋λ，知＝λ，在△ABC中，∵||sin B，||sin C都表示BC边上的高h，故＝(＋)＝(其中D为BC的中点)，即点P在BC边上的中线所在直线上，∴△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，③正确；对于④，由已知得＝λ，则·＝λ·，得·＝0，即点P在边BC上的高线所在直线上，∴△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中，④正确．综上，②③④正确．