高考数学(理数)二轮复习专题14《小题(12+4)专项》练习05 (含答案详解)

小题专项训练5　三角函数与三角恒等变换

一、选择题

1．若点在角α的终边上，则sin α的值为(　　)

A．－　 B．　　

C．　 D．－

【答案】D

【解析】因为点在单位圆上，所以sin α＝cos＝－.

2．已知α为锐角，且sin α＝，则cos(π＋α)＝(　　)

A．　 B．－　　

C．－　 D．

【答案】B

【解析】因为α为锐角，所以cos α＝＝，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－.

3．函数y＝4sin xcos x－1的最小正周期T和最大值M分别为(　　)

A．π，1　 B．2π，1

 C．π，2　　 D．2π，2

【答案】A

【解析】y＝4sin xcos x－1＝2sin 2x－1，故其最小正周期T＝＝π，最大值M＝2－1＝1.

4．(河南模拟)若sin＝－3cos，则tan 2α＝(　　)

A．－4　 B．－　　

C．4　 D．

【答案】A

【解析】由sin＝－3cos，可得sin α－cos α＝－3，则2sin α＝－cos α，所以tan α＝－.所以tan 2α＝＝－4.故选A．

5．(四川泸州模拟)已知函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图象(　　)

A．关于点对称　 B．关于点对称

C．关于直线x＝对称　　　　　　　　　 D．关于直线x＝对称

【答案】A

【解析】∵y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，∴sin＝1.∴cos＝0.∴y＝cos(2x＋φ)的图象过点，则关于点对称．故选A．

6．已知sin β＝，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝(　　)

A．－　 B．　　　　

C．－2　 D．2

【答案】C

【解析】∵sin β＝，且<β<π，∴cos β＝－，tan β＝－.∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α，∴tan α＝－，∴tan(α＋β)＝＝－2.

7．若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)满足f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值为，则函数f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝2sin　 B．f(x)＝2sin

C．f(x)＝2sin　 D．f(x)＝2sin

【答案】D

【解析】f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.因为f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|min＝，所以＝，得T＝2π.故ω＝＝1，所以f(x)＝2sin.

8．(山西太原模拟)已知函数f(x)＝2cos的一个对称中心是(2,0)，且f(1)＞f(3)，要得到函数f(x)的图象，可将函数y＝2cos 的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

【答案】C

【解析】∵f(x)＝2cos的一个对称中心是(2,0)，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，故可取φ＝－，f(x)＝2cos＝2cos，满足f(1)＞f(3)．故选C．

9．若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝(　　)

A．　 B．　　

C．　　　　  D．

【答案】B

【解析】由已知得(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋，于是sin θ＋cos θ＝.又(sin θ－cos θ)2＝1－sin 2θ＝1－，所以sin θ－cos θ＝.可得sin θ＝.

10．已知f(x)＝2sin ωx(cos ωx＋sin ωx)(ω＞0)的图象在x∈[0,1]上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围为(　　)

A．　 B．

C．　 D．

【答案】B

【解析】f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2 ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx＋1＝sin＋1.设g(x)＝2ωx－，g(0)＝－，g(1)＝2ω－，f(x)的图象在x∈[0,1]上恰有一条对称轴和一个对称中心，∴≤2ω－<π，解得≤ω<.故选B．

11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若·＝－||2，则ω等于(　　)

A．　　　　　　 　　B．

 C．　　　　　　　 　D．

【答案】A

【解析】由三角函数的对称性知·＝·2＝2·＝2||2cos(π－∠ABD)＝－||2，所以cos∠ABD＝，即∠ABD＝.|AD|＝2tan ＝2，所以f(x)的最小正周期T＝4.所以ω＝＝.故选A．

12．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，A，B两点之间的距离为10，且f(2)＝0.若将函数f(x)的图象向右平移t(t＞0)个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则t的最小值为(　　)

A．4　　 B．3　　

C．2　　　 D．1

【答案】C

【解析】由题图可设A(x1,3)，B(x2，－3)，∴|AB|＝＝10，得|x1－x2|＝8.∴T＝2|x1－x2|＝16.∴＝16，ω＝，则f(x)＝3sin.由f(2)＝0，得3sin＝0.又－≤φ≤，∴φ＝－，f(x)＝3sin.将f(x)的图象向右平移t(t＞0)个单位长度，得对应的函数g(x)＝f(x－t)＝3sin.由题意得g(x)的图象关于y轴对称，∴t＋＝kπ＋(k∈Z)，解得t＝8k＋2(k∈Z)，故正数t的最小值为2.

二、填空题

13．(山东日照二模)已知sin＝，则cos2的值为________．

【答案】

【解析】cos2＝cos2＝sin2＝.

14．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x都有f＝f，则f＝________.

【答案】±2

【解析】由题意可得f(x)的图象的对称轴为x＝，所以f＝±2.

15．(广东中山模拟)函数y＝2sin的单调递增区间为________．

【答案】(k∈Z)

【解析】y＝2sin＝－2sin，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，即函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)．

16．(山西运城模拟)给出下列四个语句：

①函数y＝sin在区间上为增函数；

②函数y＝cos2x的最小正周期为2π；

③函数y＝tan x的图象关于点对称；

④若sin＝sin，则x1－x2＝kπ，其中k∈Z.

以上四个语句中正确的有________(填写正确语句前面的序号)．

【答案】①③

【解析】x∈时，x＋∈，故①正确．y＝cos2x＝的最小正周期为π，故②不正确．由正切函数y＝tan x的图象可得③正确．

若sin＝sin，则－＝2kπ或＋＝2，即x1－x2＝kπ或x1＋x2＝kπ＋(k∈Z)，故④不正确．综上所述，正确的有①③.