高考数学(理数)二轮复习专题14《小题(12+4)专项》练习08 (含答案详解)

小题专项训练8　立体几何

一、选择题

1．若直线a∥平面α，直线b∥直线a，点A∈b且A∈α，则b与α的位置关系是(　　)

A．b∩α＝A　　 B．b⊂α

 C．b∥α　 D．b∥α或b⊂α

【答案】B

【解析】由a∥α，b∥a⇒b∥α或b⊂α.又b过α内一点，故b⊂α.

2．(陕西模拟)已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是m＝(2，－1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)

A．P(2,3,3)　 B．P(－2,0,1)

C．P(－4,4,0)　 D．P(3，－3,4)

【答案】A

【解析】记P(x，y，z)，则＝(x－1，y＋1，z－2)，当⊥α，即·m＝2(x－1)－(y＋1)＋2(z－2)＝0，即2x－y＋2z＝7时，点P(x，y，z)在平面α内，验证知只有A满足．故选A．

3．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β ”的(　　)

A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件

C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由α⊥β，b⊥m，得b⊥α.又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β ”的必要不充分条件．故选B．

4．(江苏宿迁期末)如图，一个底面水平放置的倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水，水深为h.若在容器内放入一个半径为1的铁球后，水面所在的平面恰好经过铁球的球心O(水没有溢出)，则h的值为(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】D

【解析】作OD⊥AC，垂足为D，则球的半径r＝OD＝1，此时OA＝2r＝2，倒圆锥的底面半径OC＝2tan 30°＝.放入小球之前，水深为h.，则底面半径为htan 30°＝h.由题意得π2h＝π2×2－×π×13，解得h＝.故选D．

5．如图，两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上．若圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，且该球的表面积为16π，则圆柱的体积为(　　)

A．2π　 B．　　

C．6π　 D．8π

【答案】C

【解析】设球的半径为R，则4πR2＝16，解得R＝2.设圆锥的高O1A＝O2B＝x，底面圆半径O1C＝O2D＝y，则圆锥的母线长AC＝，圆柱的高为4－2x.由圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，得2πy(4－2x)＝2πy，则y2＝3x2－16x＋16.在Rt△OO1C中，可得(2－x)2＋y2＝4，解得(舍去)或所以圆柱的体积为V＝πy2(4－2x)＝6π.故选C．

6．(广东珠海一模)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AA1＝3，AB＝BC＝CD＝，∠BCD＝120°，则直线A1B与B1C所成的角的余弦值为(　　)

A．　 B．　　

C．　　　　  D．

【答案】A

【解析】以A为原点，在平面ABCD中，过点A的AD的垂线为x轴，AD为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,3)，B，B1，C，＝，＝(0，，－3)．设直线A1B与B1C所成的角为θ，则cos θ＝＝＝.故选A．

7．已知ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与(　　)

A．AC，BD之一垂直　 B．AC，BD都垂直

C．AC，BD都不垂直　 D．AC，BD不一定垂直

【答案】B

【解析】∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.连接AN，CN，MN，则AN＝CN.在等腰△ANC中，∵M为AC的中点，∴MN⊥AC.同理可得MN⊥BD.故选B．

8．(福建福州模拟)已知直线a，b异面，给出以下命题：

①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；

②一定存在平行于a的平面α使b∥α；

③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；

④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．

则其中真命题的个数是(　　)

A．1　 B．2　　

C．3　　　　  D．4

【答案】C

【解析】对于①，若存在平面α，使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，∴①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，∴②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，∴③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，∴④正确．综上，②③④正确．故选C．

9．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】A

【解析】如图，建立空间直角坐标系A－xyz，易知S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1，，0)．设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，

则

可取n＝(3，，2)．又＝(2,0,0)，所以当θ为AB与平面SBC所成的角时，sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.

10．(江西模拟)如图所示，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为(　　)

A．18＋3

B．6＋3

C．6＋9

D．10＋3＋4

【答案】B

【解析】在平面A1B1C1D1中，双向延长EF，分别与A1D1，A1B1的延长线交于点P，Q，连接AP交DD1于点M，连接AQ交BB1于点N，则过A，E，F三点该正方体的截面为五边形AMEFN.易得D1P＝B1Q＝AD＝2，则DM＝BN＝4，D1M＝B1N＝2，所以AM＝AN＝＝2，ME＝NF＝＝，EF＝＝3.所以截面的周长为6＋3.故选B．

11．已知球O1和球O2的半径分别为1和2，且球心距为.若两球体的表面相交得到一个圆，则该圆的面积为(　　)

A．2π　 B．π　　

C．　 D．

【答案】C

【解析】作出两球面相交的一个截面图如图所示，AB为相交圆的直径．由条件知O1A＝1，O2A＝2，O1O2＝，∴△AO1O2为直角三角形．由三角形面积公式，得AC＝＝，∴所求圆的面积为π·2＝.

12．(河北唐山模拟)设点A，B，C为球O的球面上三点，O为球心，球O的表面积为100π，且△ABC是边长为4的正三角形，则三棱锥O－ABC的体积为(　　)

A．12　 B．24　　

C．24　 D．12

【答案】D

【解析】∵球O的表面积为100π＝4πr2，∴球O的半径为5.如图，取△ABC的中心H，连接OH，连接AH并延长交BC于点M，则AM＝＝6，AH＝AM＝4，∴OH＝＝＝3，∴三棱锥O－ABC的体积为V＝××(4)2×3＝12.

二、填空题

13．设一正方体外接球的体积为V1，内切球的体积为V2，则＝________.

【答案】3

【解析】设正方体的边长为1，则外接球半径r1＝，内切球半径r2＝，所以＝＝3.

14．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.当满足条件________时，有

m∥β.(填所选条件的序号)

【答案】③⑤

【解析】根据面面平行的性质定理得，当m⊂α，α∥β时，m∥β，故满足条件③⑤时，有m∥β.

15．(辽宁沈阳三模)如图，将一块边长为10 cm的正方形铁片裁下四个全等的等腰三角形(阴影部分)把余下的部分沿虚线折叠后围成一个正四棱锥，若被裁下阴影部分的总面积为20 cm2，则正四棱锥的体积为________cm3.

【答案】

【解析】如图，设所截等腰三角形的底边边长为x cm，由4××5×x＝20，解得x＝2.所得四棱锥的底面边长为4，四棱锥的斜高EF＝＝3，四棱锥的高为OE＝＝，所以该容器的体积V＝×(4)2×＝.

16．(甘肃天水一模)四棱锥P－ABCD的三视图如图，且四棱锥P－ABCD的五个顶点都在同一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为________．　

【答案】12π

【解析】将三视图还原为直观图如图中四棱锥P－ABCD，可得四棱锥P－ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF的中点为G，连接OG，OA，AG.∵直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长也是2，∴AG＝＝a，得a＝2.在Rt△OGA中，OG＝a＝1，AG＝，则AO＝，即外接球半径R＝，∴所求外接球的表面积为4πR2＝12π.