高考数学(理数)二轮复习专题14《小题(12+4)专项》练习09 (含答案详解)

小题专项训练9　排列组合、二项式定理

一、选择题

1．4位顾客购买两种不同的商品，每位顾客限买其中一种商品，则不同的购买方法共有(　　)

A．8种　 B．12种　　

C．16种　 D．32种

【答案】C

【解析】分4步完成，每一步有两种不同的方法，故不同的购买方法有24＝16(种)．

2．(宁夏模拟)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)

A．36种　 B．24种

C．18种　 D．12种

【答案】A

【解析】先选出2项工作并成一项，看作共有3项工作，再分配给3名志愿者即可，所以不同的安排方式共有CA＝36种．故选A．

3．(安徽模拟)如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有(　　)

A．24种　 B．48种

C．96种　 D．120种

【答案】C

【解析】按E，B，C，A，D的顺序涂色，各点可选的颜色种数分别为4,3,2,2,2，所以不同的涂色方法种数为4×3×2×2×2＝96.故选C．

4．(x－y)8的展开式中，x6y2项的系数是(　　)

A．－56　 B．56　　

C．28　　　　  D．－28

【答案】B

【解析】二项式的通项为Tr＋1＝Cx8－r·(－y)r，令8－r＝6，即r＝2，得x6y2项的系数为C(－)2＝56.

5．(河北唐山一模)用两个1，一个2，一个0，可组成不同四位数的个数是(　　)

A．9　 B．12　　

C．15　 D．16

【答案】A

【解析】分3步进行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有3种情况；②在剩下的3个数位中任选1个，安排2，有3种情况；③最后2个数位安排2个1，有1种情况．由分步乘法可知可组成3×3×1＝9个不同四位数．

6．(河南模拟)(2x2－x－1)5的展开式中x2的系数为(　　)

A．400　 B．120　　

C．80　 D．0

【答案】D

【解析】(2x2－x－1)5＝[(x－1)(2x＋1)]5＝(x－1)5(1＋2x)5.易求得(x－1)5的常数项为－1，(1＋2x)5的x2的系数为40；(x－1)5的x的系数为5，(1＋2x)5的x的系数为10；(x－1)5的x2的系数为－10，(1＋2x)5的常数项为1.所以(2x2－x－1)5的展开式中x2的系数为－1×40＋5×10＋(－10)×1＝0.故选D．

7．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝(　　)

A．8　 B．9　　　　

C．10　　　　  D．11

【答案】C

【解析】f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，所以a3＝10.

8．(北京海淀区校级模拟)从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中，每瓶不空，如果甲、乙两种种子都不许放入第一号瓶子内，那么不同的放法共有(　　)

A．CA种　 B．CA种

 C．CC种　 D．CA种

【答案】D

【解析】分2步进行分析：①甲、乙两种种子都不许放入第一号瓶子内，将其他8种种子中任选1种，放进第一号瓶子内，有C种情况；②在剩下的9种种子中，任选5种，安排在剩下的5个瓶子中，有A种情况．所以一共有CA种不同的放法．

9．计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有(　　)

A．24种　 B．36种　　　　

C．42种　 D．60种

【答案】D

【解析】若3个项目分别安排在4个不同的场馆，则安排方案共有A＝24(种)；若有2个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有C·A＝36(种)．所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24＋36＝60(种)．

10．(上海模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形(每次旋转90°仍为L形的图案)，那么在5×6个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数是(　　)

A．36　　　 B．64　　　　

C．80　　　 D．96

【答案】C

【解析】根据题意，在一个“田”字型方格中，可画出4个L形图案，而在由5×6个小方格组成的方格纸上有4×5＝20个“田”字型方格，所以可以画出不同位置的L形图案的个数是20×4＝80.故选C．

11．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy＜0，则x的取值范围为(　　)

A．(－∞，1)　 B．(1，＋∞)

C．(－∞，2)　 D．(2，＋∞)

【答案】B

【解析】二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝Cx9－r·yr，依题意有即解得x＞1.故选B．

12．(浙江杭州校级二模)将一个4×4正方形棋盘中的8个小正方形方格染成红色，使得每行、每列都恰有两个红色方格，则不同的染色方法有(　　)

A．76种　 B．77种　　

C．89种　　　　  D．90种

【答案】D

【解析】第一行染2个红色方格有C＝6(种)染法；第一行染好后，有如下三种情况：①第二行的红色方格均与第一行的红色方格同列，这时其余行都只有1种染法；②第二行染的红色方格与第一行的红色方格均不同列，这时第三行有C＝6(种)染法，第四行的染法随之确定；③第二行染的红色方格恰有一个与第一行的红色方格同列，而第一、第二这两行染好后，第三行的红色方格必然有一个与上面的红色方格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行染法随之确定．所以共有6×(1＋6＋4×2)＝90(种)染法．

二、填空题

13．(甘肃兰州模拟)n的展开式中各项系数之和为81，则展开式中x的系数为________．

【答案】24

【解析】令x＝1，得展开式中各项系数之和为(2＋1)n＝81，则n＝4，于是4的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)4－rr＝24－rCx4－r，令4－r＝1，即r＝2，可得展开式中x的系数为24－2C＝24.

14．将2名老师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名老师和2名学生组成，不同的安排方案共有________种(用数字作答)．

【答案】12

【解析】先将老师、学生平均分2组，有种分法，然后进行全排列，有A种方法．故不同安排方案有·A＝12(种)．

15．(浙江金华模拟)已知(2＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a8＝________，a3＝________.

【答案】－5　－476

【解析】令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(2＋1)(1－2)7＝－3，令x＝0得a0＝(2＋0)(1－0)7＝2，所以a1＋a2＋…＋a8＝－3－2＝－5.因为(1－2x)7的展开式的通项为Tr＋1＝C(－2x)r，所以a3＝2C(－2)3＋C(－2)2＝－476.

16．(山东青岛模拟)上合组织峰会将于6月在青岛召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作，若要求A，B必须在同一组，且每组至少2人，则不同分配方法的种数为________(用数字作答)．

【答案】8

【解析】分2种情况讨论：①A，B在一组，C，D，E都分在另一组，将两组全排列，对应两个地点即可，有A＝2种分配方法；②C，D，E中取出1人与A，B一组，剩下2人一组，再将两组全排列，对应两个地点，有CA＝6种分配方法．故一共有2＋6＝8种分配方法．