高考数学(理数)二轮复习专题14《小题(12+4)专项》练习10 (含答案详解)

小题专项训练10　概　率

一、选择题

1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)

A．是互斥事件，不是对立事件

B．是对立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是对立事件

 D．既不是互斥事件，也不是对立事件

【答案】C

【解析】“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全部基本事件，且不能同时发生，故事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”互为对立事件．故选C．

2．(广东汕头一模)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　)

A．　 B．　　　　

C．　 D．

【答案】D

【解析】恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，故所求概率为×＋×＝.

3．(河南郑州三模)我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献，这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】A

【解析】从10部名著中选择2部名著的方法数为C＝45(种)，2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C＝3(种)，由对立事件的概率计算公式得所求概率p＝1－＝.

4．(广东深圳一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的某种鱼游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海．一个环保组织曾在金沙江中放生一批此种鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为(　　)

A．0.05　 B．0.007 5　　

C．　 D．

【答案】C

【解析】设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，∴P(B|A)＝＝＝.

5．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为(　　)

A．　　　　 B．　　

C．　　　　  D．

【答案】D

【解析】将5张奖票不放回地依次取出，共有A＝120(种)不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有3AAA＝36(种)取法，∴所求概率p＝＝.

6．(安徽安庆模拟)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径为18 mm，小明同学为了测算图中装饰狗的面积，用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是(　　)

A． mm2 B． mm2

C． mm2 D． mm2

【答案】C

【解析】设装饰狗的面积为S mm2.由题意得＝，∴S＝ mm2.故选C．

7．已知函数f(x)＝x2－2x＋m，在区间[－2,4]上随机取一个实数x，若事件“f(x)＜0”发生的概率为，则m的值为(　　)

A．－3　 B．3　　

C．2　 D．－2

【答案】A

【解析】y＝x2－2x＋m的对称轴为x＝1，依题意，f(x)的两个零点的距离为×(4＋2)＝4，∴f(x)的两个零点分别为－1,3，∴m＝(－1)×3＝－3.

8．(福建厦门一模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】B

【解析】由题意可得每次取到黄球的概率p1＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率p＝C2＝.

9．(安徽模拟)如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A，C区域涂色不相同的概率为(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】D

【解析】若A，C区域涂色不相同，按E，A，D，C，B的顺序涂色，分别有5,4,3,2,2种涂法，共有5×4×3×2×2＝240种涂法．若A，C区域涂色相同，按E，A(C)，D，B的顺序涂色，分别有5,4,3,3种涂法，共有5×4×3×3＝180种涂法．故所求概率为p＝＝.故选D．

10．已知数列{an}是等差数列，从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意四项，则剩下三项构成等差数列的概率为(　　)

A．　 B．　　　　

C．1或　 D．1或

【答案】C

【解析】当等差数列{an}的公差为0时，剩下三项一定构成等差数列，所以概率为1；当等差数列{an}的公差不为0时，从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意四项，剩下三项的总数有C＝35(种)，剩下三项构成等差数列，则符合条件的有(a1，a2，a3)，(a2，a3，a4)，(a3，a4，a5)，(a4，a5，a6)，(a5，a6，a7)，(a1，a3，a5)，(a2，a4，a6)，(a3，a5，a7)，(a1，a4，a7)9种情况，所以剩下三项构成等差数列的概率为.故选C．

11．(湖北模拟)为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员投篮练习，若他第1球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】B

【解析】记第1球投进为事件A，第2球投进为事件B，则由题意得P(B|A)＝，P(B|)＝，P(A)＝，则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝.故选B．

12．(江西模拟)在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，…，连续七次发球成功加3分．假设某同学每次发球成功的概率为且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】B

【解析】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：①共有四次发球成功，“连续两次发球成功”出现两次，则七次发球成功与否的排列情况有C种(把两次“连续两次发球成功”插入三次发球失败形成的四个空中)；②共有四次发球成功，“连续三次发球成功”出现一次，则七次发球成功与否的排列情况有A种(把“连续三次发球成功”和“一次发球成功”插入三次发球失败形成的四个空中)．所以该同学在测试中恰好得5分的概率为(C＋A)×4×3＝.故选B．

二、填空题

13．(上海)某三位数密码锁，每位数字在0～9的数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是________．

【答案】

【解析】方法一：三位密码共有103＝1 000种不同情况，其中恰有两位数字相同的情况有CA＝270种，故所求概率为p＝＝.

方法二：三位密码共有103＝1 000种不同情况，其中包括三位数字都相同、三位数字都不同、恰有两位数字相同三类情况，故所求概率为p＝＝.

14．(天津南开区期末)一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是________．

【答案】

【解析】设此射手每次射击命中的概率为p，至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中．由题意可知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1－＝，则(1－p)4＝，解得p＝.

15．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．

【答案】

【解析】个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，可以分两类：①当个位数为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数；②当个位数为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．∴共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，∴所求概率为p＝＝.

16．(山东模拟)某超市中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满200元的顾客均获得一次抽奖的机会，中奖一次即可获得5元红包，没有中奖不得红包．现有4名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为0.4，记X为4名顾客获得的红包金额总和，则P(10≤X≤15)＝________.

【答案】0.499 2

【解析】设4名顾客中有n名中奖(n＝0,1,2,3,4)，则X＝5n，X的可能取值为0,5,10,15,20，所以P(10≤X≤15)＝P(X＝10或X＝15)＝P(n＝2或n＝3)＝P(n＝2)＋P(n＝3)＝C×0.42×0.62＋C×0.43×0.6＝0.499 2.