高考数学(理数)二轮复习专题14《小题(12+4)专项》练习15 (含答案详解)

小题专项训练15　圆锥曲线

一、选择题

1．若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为(　　)

A．y2＝4x　 B．y2＝6x

 C．y2＝8x　　 D．y2＝10x

【答案】C

【解析】由题意可得＋2＝4，解得p＝4，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.

2．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)

A．2　 B．4　　

C．6　 D．8

【答案】B

【解析】由题意得＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c2＝a2＋b2＝20，解得a＝2，b＝4.

3．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|＝8，则|AF2|＋|BF2|＝(　　)

A．2　 B．10　　

C．12　 D．14

【答案】C

【解析】由题意，椭圆的长半轴长a＝5，由椭圆定义知|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20.∵|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝20－8＝12.

4．若函数f(x)＝k(x＋1)(x－2)的图象与坐标轴的交点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的顶点或焦点，则k＝(　　)

A．　 B．±　　

C．　　　　  D．±

【答案】D

【解析】由题意得c＝1，a＝2，则b＝，所以±＝－2k，解得k＝±.

5．(重庆模拟)已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)

A．(1，)　 B．(1,2)

C．(，＋∞)　 D．(2，＋∞)

【答案】D

【解析】圆心到直线的距离d＝＝，所以k＝±.由题意，得>，所以1＋>4，所以e>2.

6．(山东济南模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝(　　)

A．　 B．3　　

C．　 D．2

【答案】B

【解析】如图所示，因为＝4，所以＝.过点Q作QM⊥l，垂足为M，则MQ∥x轴，所以＝＝，所以|MQ|＝3，由抛物线定义知|QF|＝|QM|＝3.

7．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M为抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p＝(　　)

A．4　 B．3　　　　

C．2　 D．1

【答案】A

【解析】∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．由外接圆的面积为9π，得外接圆半径为3.又圆心在线段OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝3，解得p＝4.

8．(广西南宁模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为(　　)

A．　 B．　　

C．2　 D．

【答案】C

【解析】如图，因为＝2，所以A为线段FB的中点．所以∠2＝∠4.又∠1＝∠3，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠2＋∠4＝2∠2＝∠3.故∠2＋∠3＝90°＝3∠2⇒∠2＝30°⇒∠1＝60°⇒＝.所以e2＝1＋2＝4，解得e＝2.

9．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝.若|AB|＝4，|BC|＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为(　　)

A．　 B．　　

C．　 D．

【答案】D

【解析】如图，不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知2a＝4，则a＝2.∵∠CBA＝，|BC|＝，∴点C的坐标为(－1,1)．∵点C在椭圆上，∴＋＝1.∴b2＝，则c2＝a2－b2＝4－＝，解得c＝.∴椭圆的两个焦点之间的距离为.

10．如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆(x－1)2＋y2＝于点A，B，C，D四点，则9|AB|＋|CD|的最小值是(　　)

A．10　　 B．11　　

C．12　　　　  D．13

【答案】B

【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义得|AF|＝xA＋1.

又∵|AF|＝|AB|＋，∴|AB|＝xA＋.同理|CD|＝xD＋.当l⊥x轴时，则xA＝xD＝1，∴9|AB|＋|CD|＝15；当l与x轴不垂直时，设其方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程，化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴xA＋xD＝，xAxD＝1，

∴9|AB|＋|CD|＝5＋9xA＋xD≥5＋2＝11.综上，9|AB|＋|CD|的最小值为11.

11．(河南洛阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该双曲线交于A，B两点，若＋与向量n＝(－3，－1)共线，则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x　 B．y＝±x

C．y＝±x　 D．y＝±x

【答案】A

【解析】由题意得直线方程为y＝x＋c，代入双曲线的方程，整理得(b2－a2)x2－2a2cx－a2c2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝x1＋x2＋2c＝，∴＋＝.∵＋与向量n＝(－3，－1)共线，∴＝3·，得a2＝3b2.∴C的渐近线方程为y＝±x＝±x.

12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(1,0)，且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆C上，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0，O为坐标原点．若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则＋＋＝(　　)

A．12　 B．3　　

C．－　　　　  D．

【答案】C

【解析】由c＝1，e＝＝，得a＝2，b2＝a2－c2＝3，∴椭圆的方程为＋＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(s1，t1)，E(s2，t2)，M(s3，t3)，由A，B在椭圆上，得3x＋4y＝12,3x＋4y＝12，两式相减得＝－·，∴k1＝＝

－·＝－·，即＝－·.同理＝－·，＝－·.∴＋＋＝－·.∵直线OD，OE，OM的斜率之和为1，∴＋＋＝－.

二、填空题

13．已知双曲线－y2＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，则其焦距为________．

【答案】4

【解析】由渐近线方程为y＝±x，得＝，解得a＝，故c＝＝2，所以焦距为4.

14．已知△ABC的顶点A，B坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，满足sin B＋sin A＝sin C，则C点的轨迹方程为________．

【答案】＋＝1(x≠±5)

【解析】由sin B＋sin A＝sin C，可知|AC|＋|BC|＝|AB|＝10>8＝|AB|，满足椭圆定义．令椭圆方程为＋＝1，则a＝5，c＝4，b＝3，故轨迹方程为＋＝1(x≠±5)．

15．(甘肃张掖模拟)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．

【答案】y2＝3x

【解析】如图，分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于点E，D，则|BF|＝|BD|.∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°.又|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即点F是AC的中点．根据题意得p＝，∴抛物线的方程是y2＝3x.

16．抛物线y2＝8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点．若x1＋x2＋4＝|AB|，则∠AFB的最大值为________．

【答案】

【解析】由抛物线的定义，得|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2.又x1＋x2＋4＝|AB|，得|AF|＋|BF|＝|AB|，所以|AB|＝(|AF|＋|BF|)．

cos ∠AFB＝

＝

＝

＝－≥×2－＝－.而0<∠AFB<π，∴∠AFB的最大值为.