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高考数学(理数)二轮复习专题4 第2讲《统计与概率》课件 (含详解)
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这是一份高考数学(理数)二轮复习专题4 第2讲《统计与概率》课件 (含详解)，共60页。PPT课件主要包含了统计案例的综合应用，专题复习检测等内容，欢迎下载使用。
1．(2019年新课标Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差【答案】A【解析】从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．故选A．
3．(2018年新课标Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( )A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】B
四、统计与统计案例(一)随机抽样1．抽样调查(1)抽样调查通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．(2)总体和样本调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．
(3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点①迅速、及时；②节约人力、物力和财力．2．简单随机抽样(1)简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率相同．(2)通常采用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
3．分层抽样(1)定义将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样．(2)分层抽样的应用范围当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．4．系统抽样系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔抽取其他样本．这种抽样方法也叫等距抽样或机械抽样．
(三)统计案例1．相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．(2)如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．(3)在两个变量x和y的散点图中，若所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．
2．回归方程(1)最小二乘法如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度，使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
②当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．
例1 (2019年新课标Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
【分析】(1)由频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1求解即可．(2)由频率分布直方图求平均值的方法是用每组区间的中点值分别乘以该组的频率再求和．
(1)(2019年新课标Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．(2)(2019年湖北模拟)给出下列结论：①某学校从编号依次为001,002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053,098，则样本中最大的编号为862.②甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中较稳定的是甲．
③总体中A，B，C三种个体的数量之比为3∶1∶2，按分层抽样进行调查，若抽取的A种个体有15个，则样本容量为30.则正确的是________(填序号)．【答案】(1)0.98 (2)③
例2 (2019年新课标Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解．(1)X＝2表示甲连赢两球或连输两球．(2)“X＝4且甲获胜”时，这4个球甲的输赢情况可能是“赢输赢赢”，“输赢赢赢”．
(2)(2019年新课标Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．【答案】(1)C (2)0.18
(2)甲队以4∶1获胜，则甲队在前4场中只有一场负且第5场获胜．①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036；②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036；③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054；④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为p4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054.所以甲队以4∶1获胜的概率为p＝p1＋p2＋p3＋p4＝0.18.
例3 (2018年新课标Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
离散型随机变量的分布列、期望、方差
(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
求离散型随机变量的分布列的关键是求出随机变量取各个可能值的概率，期望、方差按公式计算即可．求概率时要综合用到排列组合、计算原理、互斥事件、对立事件、独立事件等知识．复习时要特别注意超几何分布和二项分布的特点．
(2018年天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(ⅰ)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(ⅱ)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
例4 (2018年新课标Ⅱ)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
2．如图，用K，A1，A2三个不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8且各元件是否正常工作相互独立，则系统正常工作的概率为( )A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576【答案】B【解析】A1，A2都不能正常工作的概率为(1－0.8)×(1－0.8)＝0.04，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96.所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B．
3．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图如下．
(1)若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a，b的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；(2)若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．①求该团队能进入下一关的概率；②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小？并说明理由．
【解析】(1)由甲解开密码锁所需时间的频率分布直方图及中位数为47可得：(0.01＋0.014＋b＋0.034)×5＋0.04×2＝0.5，0．04×3＋(0.032＋a＋0.01＋0.01)×5＝0.5，解得b＝0.026，a＝0.024.甲在1分钟内解开密码锁的频率为1－(0.01＋0.01)×5＝0.9.乙在1分钟内解开密码锁的频率1－(0.035＋0.025)×5＝0.7.
所以E(X)＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)＝3－2p1－p2＋p1p2＝(1－p1)(2－p2)＋1.显然当p1，p2尽可能大时，可使E(X)变小；当p1>p2时的E(X)比p1
1．(2019年新课标Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( )A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差【答案】A【解析】从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变．故选A．
3．(2018年新课标Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( )A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】B
四、统计与统计案例(一)随机抽样1．抽样调查(1)抽样调查通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．(2)总体和样本调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．
(3)抽样调查与普查相比有很多优点，最突出的有两点①迅速、及时；②节约人力、物力和财力．2．简单随机抽样(1)简单随机抽样时，要保证每个个体被抽到的概率相同．(2)通常采用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
3．分层抽样(1)定义将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本．这种抽样方法通常叫作分层抽样．(2)分层抽样的应用范围当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．4．系统抽样系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔抽取其他样本．这种抽样方法也叫等距抽样或机械抽样．
(三)统计案例1．相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．(2)如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合．(3)在两个变量x和y的散点图中，若所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．
2．回归方程(1)最小二乘法如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度，使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
②当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．
例1 (2019年新课标Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
【分析】(1)由频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1求解即可．(2)由频率分布直方图求平均值的方法是用每组区间的中点值分别乘以该组的频率再求和．
(1)(2019年新课标Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．(2)(2019年湖北模拟)给出下列结论：①某学校从编号依次为001,002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053,098，则样本中最大的编号为862.②甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中较稳定的是甲．
③总体中A，B，C三种个体的数量之比为3∶1∶2，按分层抽样进行调查，若抽取的A种个体有15个，则样本容量为30.则正确的是________(填序号)．【答案】(1)0.98 (2)③
例2 (2019年新课标Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解．(1)X＝2表示甲连赢两球或连输两球．(2)“X＝4且甲获胜”时，这4个球甲的输赢情况可能是“赢输赢赢”，“输赢赢赢”．
(2)(2019年新课标Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．【答案】(1)C (2)0.18
(2)甲队以4∶1获胜，则甲队在前4场中只有一场负且第5场获胜．①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036；②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036；③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054；④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为p4＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054.所以甲队以4∶1获胜的概率为p＝p1＋p2＋p3＋p4＝0.18.
例3 (2018年新课标Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
离散型随机变量的分布列、期望、方差
(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
求离散型随机变量的分布列的关键是求出随机变量取各个可能值的概率，期望、方差按公式计算即可．求概率时要综合用到排列组合、计算原理、互斥事件、对立事件、独立事件等知识．复习时要特别注意超几何分布和二项分布的特点．
(2018年天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．(ⅰ)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(ⅱ)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
例4 (2018年新课标Ⅱ)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
2．如图，用K，A1，A2三个不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8且各元件是否正常工作相互独立，则系统正常工作的概率为( )A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576【答案】B【解析】A1，A2都不能正常工作的概率为(1－0.8)×(1－0.8)＝0.04，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96.所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B．
3．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图如下．
(1)若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a，b的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；(2)若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．①求该团队能进入下一关的概率；②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X的数学期望达到最小？并说明理由．
【解析】(1)由甲解开密码锁所需时间的频率分布直方图及中位数为47可得：(0.01＋0.014＋b＋0.034)×5＋0.04×2＝0.5，0．04×3＋(0.032＋a＋0.01＋0.01)×5＝0.5，解得b＝0.026，a＝0.024.甲在1分钟内解开密码锁的频率为1－(0.01＋0.01)×5＝0.9.乙在1分钟内解开密码锁的频率1－(0.035＋0.025)×5＝0.7.
所以E(X)＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)＝3－2p1－p2＋p1p2＝(1－p1)(2－p2)＋1.显然当p1，p2尽可能大时，可使E(X)变小；当p1>p2时的E(X)比p1
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