高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算教案设计

《6.2.3向量的数乘运算》

  教学设计

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第二节《平面向量的运算》。以下是本节的课时安排：

在学生掌握平面向量加法、减法的基础上，再让学生了解向量的数乘运算，理解向量共线定理的意义，能用向量语言和方法，表述和解决数学和物理中的一些问题。

1.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养。

2.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养。

重点：理解并掌握两向量共线的性质和判断方法

难点：能熟练地运用向量共线的性质和判断方法处理有关向量共线问题

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，雷闪发生于同一点而传到我们这儿为什么有个时间差？这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．

若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则有v1＝880 000v2.对于880 000v2，我们规定是一个向量，其方向与v2相同，其长度为v2长度的880 000倍．这样实数与向量的积的运算称为向量的数乘．

【想一想】向量数乘的几何意义及运算律是怎样规定的呢？

2.探索交流，解决问题

【问题1】实数运算,x+x+x=3x,思考能否写成呢?

[提示]可以,即=.

【问题2】与的方向有什么关系?与的方向呢?

[提示]与的方向相同,与的方向相反.

【问题3】按照向量加法的三角形法则,若为非零向量,那么的长度与的长度有何关系.

[提示]的长度是的长度的3倍,即若||=λ,则||=3λ.

【问题4】实数a,b满足3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a,若把实数a,b换成向量,,上式是否仍成立?

[提示]成立,向量同样满足分配律、结合律.

【设计意图】通过设计的问题，让学生开始认识数乘运算及其运算律，和共线向量的定理。

（二）向量的数乘运算

1.向量的数乘运算

1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.

2．规定：①|λa|＝|λ||a|，

②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

3．运算律：设λ，μ为实数，则

(1)λ(μa)＝λμa；

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．

特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.

4. 向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.

【做一做1】已知非零向量a、b满足a＝4b，则(　　)

A．|a|＝|b|           B．4|a|＝|b|

C．a与b的方向相同   D．a与b的方向相反

解析：∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向相同，∴a与b的方向相同．

答案：C

【做一做2】4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　)

A．a－2b　　　　B．a        C．a－6b　　　   D．a－8b

答案：D

2.向量共线定理

【探究1】a＝λb⇒a与b共线，对吗？

【提示】正确．

【探究2】若a与b共线，一定有a＝λb吗？

【提示】不一定．当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有a＝λb.

【探究3】若两个非零向量,共线,是否一定存在实数λ使得=?

[提示]一定存在,且是唯一的.

向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

【辩一辩】正确的打“√”，错误的打“×”

答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×

【设计意图】通过探究让学生理解向量共线定理，培养数学抽象的核心素养。

（三）典型例题

1.向量的线性运算

例1.计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；

(2)[(3a＋2b)－a－b]－[a＋(b＋a)]；

(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．

【解】(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.

(2)[(3a＋2b)－a－b]－[a＋(b＋a)]＝(3a－a＋2b－b)－(a＋a＋b)

＝(a＋b)－(a＋b)＝a＋b－a－b＝0.

(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)

＝6a＋2b.

【类题通法】向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.

【巩固练习1】计算：（1）；

（2）.

【解】（1）

=.

（2）

=

2.向量共线定理及其应用

例2.已知非零向量e1，e2不共线．

(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；

(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．

(1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.

所以，共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线．

（2）解：因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，

由于e1与e2不共线，只能有所以k＝±1.

【类题通法】向量共线定理的应用：

(1)  判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．

（2）一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得 (或等)即可。

(3)若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x、y，使且x＋y＝1。

【巩固练习2】已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．

解析：由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得

答案：－

3.用已知向量表示其他向量

例3.如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，

已知 ＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量,.

【解】因为∥，||＝2||，所以＝2，＝.

(1)＝＋＝e2＋e1.

(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.

【变式探究】　在本例中，若条件改为＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量.

【解】因为＝＋＋，＝＋＋，

所以2＝(＋)＋＋＋(＋)．

又因为M，N分别是DC，AB的中点，

所以＋＝0，＋＝0.所以2＝＋，

所以＝(－－)＝－e2－e1.

【类题通法】用已知向量表示其他向量的两种方法

(1)直接法

(2)方程法

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．　

【巩固练习3】如图，四边形ABCD中，已知.

（1）用，表示；

（2）若，，用，表示.

【解】（1）因为，所以；

（2）因为，

所以.

（四）操作演练  素养提升

1.(2a－b)－(2a＋b)等于(　　)

A．a－2b     B．－2b    C．0         D．b－a

2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　　)

A.(a－b)    B．－(a－b)   C.(a＋b)    D．－(a＋b)

3.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么＝(　　)

A．＋　　　B．－－     C．－＋   D．－

4.已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝________.

答案：1.B  2.C 3.D  4.－2

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第15页  练习     第1，2，3题

         第16页   练习     第1,2,3题

第23页   习题6.2  第8,9,14,15题