人教版 (2019)必修 第二册第五章 抛体运动综合与测试导学案

4.抛体运动的规律

[课标引领]

一、平抛运动的速度

观察下图中物体(排球、子弹)抛出时的特点。请思考:

(1)忽略空气阻力,排球、子弹被抛出后做什么运动?

答案:平抛运动。

(2)水平方向的速度和竖直方向的速度各有什么特点?

答案:水平方向的速度等于被抛出时的初速度,大小一直不变;竖直方向的速度均匀增大,与时间成正比。

1.水平速度:做平抛运动的物体,由于只受到竖直向下的重力作用,在x方向的分力为 0,加速度为 0,故物体在x方向的速度将保持v0不变,即vx=v0。

2.竖直速度:物体在y方向上受重力mg作用,由mg=ma可知,物体在竖直方向的加速度等于自由落体加速度,vy=gt。

3. 合速度:由图可知,物体在时刻t的速度

v==,tan θ==。

4.结论:物体在下落过程中速度v越来越大,速度方向与水平方向间夹角θ越来越大,但一定不会达到90°。

二、平抛运动的位移与轨迹

1.水平位移:平抛运动沿x方向的分运动是匀速直线运动,所以物体的水平分位移x=v0t。

2.竖直位移:物体在y方向的分运动是从静止开始、加速度为g的匀加速直线运动,由自由落体运动的知识可知,做平抛运动的物体在竖直方向的分位移 y=gt2。

3.运动轨迹:将t=代入y=gt2中可得y=x2,由数学知识可知,平抛运动的轨迹是一条抛物线。

三、一般的抛体运动

体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等(如图所示),都可以看作是斜上抛运动。

以抛出的铅球为例:

(1)铅球离开手后,如不考虑空气阻力,其受力情况、速度有何特点?

答案:不考虑空气阻力,铅球在水平方向不受力,在竖直方向只受重力,加速度为g,其初速度不为零,初速度方向斜向上方。

(2)铅球在最高点的速度是零吗?

答案:不是;由于铅球在水平方向做匀速运动,因此铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。

1.斜抛运动:物体被抛出时的速度不沿水平方向,而是斜向上方或斜向下方。

2.受力情况:水平方向不受力,加速度为 0,竖直方向只受重力,加速度为 g。

3.运动分解:水平方向的匀速直线运动,速度=v0cos θ;竖直方向的匀变速直线运动,初速度=v0sin θ。(θ为v0与水平方向间的夹角) 

1.判断

(1)抛体运动一定是匀变速运动。(　√　)

(2)从同一高度平抛的物体,不计空气阻力时,在空中飞行的时间是相同的。(　√　)

(3)斜上抛运动的物体到达最高点时,速度为零。(　×　)

2.足球比赛中若运动员在投掷界外球时,将足球水平掷出,足球水平掷出时的示意图如图所示。掷出后的足球可视为做平抛运动。(g取10 m/s2)

(1)设掷出点的高度为h,求足球在空中飞行的时间t;

(2)请提出两条能将足球掷得更远的方法。

解析:(1)足球在空中做平抛运动,在竖直方向上做自由落体运动,则有h=gt2,得t=。

(2)足球运动的水平位移x=v0t=v0,可知,将足球掷得更远的方法为:①增大掷球的初速度;②增大掷出点的高度。

答案:(1)

(2)①增大掷球的初速度;②增大掷出点的高度。

探究点一　对平抛运动的理解

在羽毛球比赛中,水平击出的羽毛球在空中的运动是平抛运动吗?

答案:羽毛球在空中运动时除受重力外,所受空气阻力不能忽略,故不是平抛运动。

1.平抛运动的性质:加速度为g的匀变速曲线运动。

2.平抛运动的特点

(1)受力特点:只受重力作用,不受其他力或其他力忽略不计。

(2)运动特点:

①加速度:为自由落体加速度g,大小、方向均不变,故平抛运动是匀变速运动。

②速度:大小、方向时刻在变化,平抛运动是变速运动。

(3)轨迹特点:运动轨迹是抛物线。

(4)速度变化特点:任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同,Δv=gΔt,方向竖直向下,如图所示。

[例1] (多选)关于平抛运动,下列说法正确的是(　AB　)

A.它是加速度不变的匀变速曲线运动

B.它是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速直线运动的合运动

C.它是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动的合

运动

D.它是速度大小不变的曲线运动

解析:平抛运动只受重力,所以平抛运动为加速度不变的匀变速曲线运动,故A正确;平抛运动在水平方向上不受力,做匀速直线运动,在竖直方向上初速度为零,仅受重力,做自由落体运动,故B正确,C错误;平抛运动的速度大小和方向都发生改变,故D错误。

(3)位移:平抛运动位移的大小、方向都不断变化,其方向与速度方向不一致。

[针对训练1] (多选)在同一高度将质量不相等的三个小球以大小相等的速度分别竖直上抛、竖直下抛、水平抛出,不计空气阻力,经过相等的时间(设小球均未落地)(　BD　)

A.做竖直上抛的小球的速度变化量最大

B.三个小球的速度变化量相同

C.三个小球的加速度大小不相同

D.三个小球的速度的变化率相同

解析:在运动过程中三个小球都只受重力作用,加速度相同,故C错误;速度的变化率就是加速度,三种运动加速度都为g,故D正确;由Δv=gΔt知,在相等的时间内速度变化量相同,故A错误,B正确。

探究点二　平抛运动的规律及应用

用枪水平地射击一个靶子(如图所示),设子弹从枪口水平射出的瞬间,靶子从静止开始自由下落,子弹能射中靶子吗?为什么?

答案:能够射中;子弹做平抛运动,水平方向做匀速直线运动,竖直方向做自由落体运动,相同时间内与靶子下落的高度相同,故能够射中靶子。

1.平抛运动的研究方法:研究曲线运动通常采用“化曲为直”的方法,即将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动。

2.平抛运动的规律

3.平抛运动的两个推论

(1)平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ,位移与水平方向夹角为α,则tan θ=2tan α。

推导:因为tan θ==,tan α==,所以tan θ=2tan α。

(2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。

推导:如图所示,P点速度的反向延长线交OB于A点,则=v0t,==gt2·=v0t。可见 =。

[例2] 从某一高度处水平抛出一物体,它落地时速度是50 m/s,方向与水平方向成53°。求:(g取10 m/s2,cos 53°=0.6,sin 53°=0.8)

(1)抛出点的高度和水平射程;

(2)抛出后3 s末的速度;

(3)抛出后3 s内的位移。

解析:

(1)设落地时的竖直方向分速度为vy,水平方向分速度为v0,则有

vy=vsin 53°=50×0.8 m/s=40 m/s

v0=vcos 53°=50×0.6 m/s=30 m/s

抛出点的高度为h==80 m

落地用时t==4 s

水平射程x=v0t=30×4 m=120 m。

(2)设抛出后3 s末的速度为v3,则竖直方向的分速度

vy3=gt3=10×3 m/s=30 m/s

v3== m/s=30 m/s

设速度与水平方向的夹角为α,则tan α==1

故α=45°,即与水平方向成45°角斜向下。

(3)3 s内物体水平方向的位移

x3=v0t3=30×3 m=90 m

竖直方向的位移

y3=g=×10×32 m=45 m

故物体在3 s内的位移

s== m=45 m

设位移与水平方向的夹角为θ,则tan θ==

故 θ≈26.6°,即与水平方向成 26.6°角斜向下。

答案:(1)80 m　120 m

(2)30 m/s,与水平方向成45°角斜向下

(3)45 m,与水平方向成 26.6°角斜向下

(3)利用平抛运动水平方向和竖直方向的规律分别列式求解。

[针对训练2] 如图所示,一质点做平抛运动先后经过A、B两点,到达A点时速度方向与水平方向的夹角为37°,到达B点时速度方向与水平方向的夹角为45°。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,设质点的位移AB与水平方向的夹角为θ,则tan θ的值为　(　D　)

A. B. C. D.

解析:设质点平抛运动的初速度为v0,在A、B点的竖直分速度分别为vAy、vBy,则有vAy=v0tan 37°,vBy=v0tan 45°。设从A到B时间为t,竖直位移和水平位移分别为y、x,则有tan θ=,x=v0t,y=t;联立解得 tan θ=,故D正确,A、B、C错误。

探究点三　一般的抛体运动

如图所示为电脑控制果蔬自动喷灌技术。从水管中射出的水流轨迹呈现一道道美丽的弧线,如果水喷出管口的速度是20 m/s,管口与水平方向的夹角为45°,空气阻力不计。(g取10 m/s2)

(1)能否求出水的射程和射高?若能求,根据什么规律求?

答案:可以求出,根据水平方向是匀速运动、竖直方向是匀变速运动的规律来求。

(2)计算水的射高和射程。

解析:水的竖直分速度

vy=v0sin 45°=10 m/s

上升的最大高度

h== m=10 m

水在空中的飞行时间为t==2 s

水的水平分速度vx=v0cos 45°=10 m/s

水平射程s=vxt=10×2 m=40 m。

答案:40 m　10 m

1.斜抛运动的特点

(1)受力特点:斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动,因此物体仅受重力,其加速度为重力加速度g。

(2)运动特点:物体具有与水平方向存在夹角的初速度,仅受重力,因此斜抛运动是匀变速曲线运动,其轨迹为抛物线。

(3)速度变化特点:由于斜抛运动的加速度为定值,因此,在相等的时间内速度的变化量大小相等,方向均竖直向下,故相等的时间内速度的变化量相同,即Δv=gΔt。

2.斜抛运动的对称性

(1)时间对称:相对于轨迹最高点,两侧对称的上升时间等于下降时间。

(2)速度对称:相对于轨迹最高点,两侧对称的两点速度大小相等。

(3)轨迹对称:斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称。

3. 斜抛运动的规律

 (1)速度规律

水平速度:vx=v0x=v0cos θ。

竖直速度:vy=v0y-gt=

v0sin θ-gt。

t时刻的速度大小为

v=。

(2)位移规律

水平位移:x=v0xt=v0tcos θ。

竖直位移:y=v0tsin θ-gt2。

t时间内的位移大小为s=,与水平方向成α角,且tan α=。

4.射高和射程

(1)斜抛运动的飞行时间:t==。

(2)射高:h==。

(3)射程:s=v0cos θ·t==,对于给定的v0,当θ=45°时,射程达到最大值,smax=。

5.一般抛体运动问题的分析思路

一般抛体运动问题的处理方法和平抛运动的处理方法相同,都是将运动分解为两个方向的简单的直线运动,分别为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。

[例3] 如图所示,景观喷泉从同一位置喷出两股水柱,在水柱中各取一小段水柱体A和B,A的质量大于B的质量,A、B上升的最大高度相同,落点位于同一水平地面上,空气阻力不计。则A、B从喷出到落地的过程中,下列说法正确的是(　B　)

A.A的加速度大小比B的大

B.A、B在空中飞行的时间一样长

C.A在最高点时速度大小比B的大

D.A、B落地时的速度大小一样大

解析:水柱在空中运动且空气阻力不计,只受重力作用,故加速度均为g,A错误;斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动,根据竖直上抛运动的特点可知,上升高度相同,则运动时间相同,B正确;在最高点时,竖直分速度均为0,仅比较水平分速度,A、B运动时间相同,但B的落点水平距离较大,即B的水平分速度大于A的水平分速度,C错误;由以上分析可知,A、B竖直分速度相同,水平分速度vBx>vAx,且A、B喷出点、落地点离地高度相同,可知A、B落地点竖直分速度相同,但水平分速度vBx>vAx,故落地速度vB′>vA′,D错误。

(3)由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。

[针对训练3] 在水平地面上的O点同时将甲、乙两块小石块斜向上抛出,甲、乙在同一竖直面内运动,其轨迹如图所示,A点是两轨迹在空中的交点,甲、乙运动的最大高度相等,若不计空气阻力,则下列判断正确的是(　A　)

A.乙先到达A点 B.乙先到达最大高度处

C.甲先到达最大高度处 D.甲先到达水平地面

解析:斜抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动,由于甲、乙运动的最大高度相同,由v2=2gh,可知其竖直分速度相同,则甲、乙同时到最高点,故B、C错误;由前面分析,结合题图可知,乙到达A点时,甲在上升阶段,故A正确;由于甲、乙竖直方向运动一致,故会同时到达地面,故D错误。

学考基础练

知识点一　对平抛运动的认识及应用

1.关于做平抛运动的物体,下列说法正确的是(　A　)

A.抛出点离地面越高,落地时间一定越长

B.初速度越大,物体在空中运动的时间越长

C.物体落地时的水平位移与物体的初速度无关

D.物体落地时的水平位移与物体抛出点的高度无关

解析:平抛运动在竖直方向上做自由落体运动,根据公式h=gt2,可知t=,即平抛运动的时间取决于抛出的高度,抛出高度越高,运动时间越长,与初速度无关,A正确,B错误;平抛运动在水平方向上做匀速直线运动,故x=v0t=v0,所以物体落地时的水平位移与初速度以及抛出的高度有关,C、D错误。

2.将一物体以初速度v0水平抛出,落地时速度大小为3v0,不计空气阻力,重力加速度为g,则物体在空中的飞行时间为(　D　)

A. B. C. D.v0

解析:物体水平抛出后做平抛运动,竖直方向做自由落体运动,由题意得落地时竖直方向的分速度为vy==2v0,又vy=gt,联立解得t=v0,故选D。

3.在排球比赛过程中,某运动员将排球从离地高度为2.5 m处水平打出,落地点距发球点水平距离 6 m,重力加速度g取 10 m/s2,空气阻力忽略不计,下列说法正确的是(　C　)

A.排球落地时间为 s

B.排球落地时间为0.5 s

C.排球抛出的初速度为6 m/s

D.排球抛出的初速度为3 m/s

解析:排球做平抛运动,竖直方向h=gt2得t== s= s,故A、B错误;水平方向x=vt,则有v== m/s=6 m/s,故C正确,D

错误。

4.如图所示,从某高度水平抛出一小球,经过时间t到达地面时,速度与水平方向的夹角为θ,不计空气阻力,重力加速度为g,下列说法正确的是(　D　)

A.小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ

B.小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为

C.若小球初速度增大,则平抛运动的时间变长

D.若小球初速度增大,则θ减小

解析:将速度、位移分解如图所示,vy=gt,v0==,故A错误;设位移方向与水平方向夹角为α,则tan θ=2tan α,α≠,故B错误;根据t=知,平抛运动的时间由下落高度决定,与水平初速度无关,故C错误;由tan θ=知,v0增大则θ减小,故D正确。

5.(多选)如图所示,三个小球从同一高度处的O点分别以水平初速度v1、v2、v3抛出,落在水平面上的位置分别是A、B、C,O′是O在水平面上的射影,且O′A∶O′B∶O′C=1∶3∶5。若不计空气阻力,则下列说法正确的是(　AB　)

A.v1∶v2∶v3=1∶3∶5

B.三个小球下落的时间相同

C.三个小球落地的速度相同

D.三个小球落地时通过的位移之比为1∶3∶5

解析:三个小球的初始高度相等,根据h=gt2知t=,平抛运动的时间相等,水平位移之比为1∶3∶5,则根据x=v0t得,初速度之比为1∶3∶5,选项A、B正确;小球落地时竖直方向上的分速度相等,落地时的速度v=,初速度不等,则落地时的速度不等,选项C错误;小球落地时的位移s=,水平位移之比为1∶3∶5,竖直位移相等,则小球通过的位移之比不是1∶3∶5,选项D错误。

知识点二　一般的抛体运动

6.将一小球以初速度v0沿斜向右上方抛出,从抛出到最高点过程中,每隔相等时间记录其瞬时速度,最后刚好达到最高点,记录值分别为v1、v2、v3,则图示中瞬时速度表示正确的是(　B　)

解析:斜上抛运动的加速度为重力加速度g,根据a=g=,得Δv=gΔt,可知在相等的时间内速度的变化量相等,故A、C、D错误,B正确。

7.如图所示,一名运动员在参加跳远比赛,她腾空过程中离地面的最大高度为L,成绩为4L,假设跳远运动员落入沙坑瞬间速度方向与水平面的夹角为α,运动员可视为质点,不计空气阻力,则有(　D　)

A.tan α=2  B.tan α=

C.tan α=  D.tan α=1

解析:运动员从最高点到落地的过程做平抛运动,根据对称性知平抛运动的水平位移为2L,则有 L=gt2,解得 t=。运动员通过最高点时的速度为v==,则有tan α==1,故D正确,A、B、C错误。

8.某人在离地面1.4 m的高度,将质量为0.4 kg的小球以v0=10 m/s的速度斜向上抛出,小球的初速度方向与水平方向之间的夹角为37°,不计空气阻力,g取10 m/s2,sin 37°=0.6。求:

(1)小球从抛出点上升的最大高度;

(2)小球落地点与抛出点的水平距离。

解析:(1)小球在竖直方向做竖直上抛运动,则小球从抛出点上升的最大高度为H=== m=1.8 m。

(2)取竖直向上为正方向,在竖直方向上有-h=v0tsin 37°-gt2

代入数据解得 t=1.4 s(负值舍去)

小球在水平方向做匀速直线运动,则小球落地点与抛出点的水平距离为x=v0tcos 37°=10×1.4×0.8 m=11.2 m。

答案:(1)1.8 m　(2)11.2 m

选考提升练

9.如图所示,B为竖直圆轨道的左端点,它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛,恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g,则A、B之间的水平距离为(　A　)

A. B.

C. D.

解析:如图所示,对速度进行分解,小球运动的时间t==,则A、B间的水平距离x=v0t=,故A正确,B、C、D错误。

10.在一次投球游戏中,小明同学以一定的力度,将球从A点以斜向上45°角向箩筐B点投去,结果球沿弧线飞到箩筐前方(如图所示),已知A、B等高,且不考虑阻力的影响,小明所处的位置不变。小明欲将球投入箩筐,下列可行的措施是(　C　)

A.保持抛出速度不变,增大抛射角

B.保持抛出速度不变,减小抛射角

C.保持抛射角不变,增大抛出速度

D.保持抛射角不变,减小抛出速度

解析:将运动视为水平方向的匀速运动和竖直方向的匀变速运动,设初速度为v0,和水平方向夹角为θ,A、B间距离为s,则水平分速度vx=v0cos θ,竖直分速度vy=v0sin θ,落回原高度的运动时间为t==,当水平位移x=v0cos θ·==s时恰好投入箩筐;由题已知θ=45°,则x==<s,当θ=45°时水平位移x有最大值,故无论如何改变角度,都不能使球抛入筐内,故A、B错误;水平位移x=,增大v0可以使球抛入筐内,故C正确,D错误。

11.(多选)泵浦消防车又称“泵车”,其上装备消防水泵、消防水炮和其他消防器材,抵达现场后可利用现场消防栓或水源直接吸水灭火。一高层建筑离地面高为75 m处发生火情,为能有效灭火,消防员将消防水炮升高到离地80 m后将炮口水平摆放,使水柱恰能喷到着火点,已知炮口到着火点的水平距离为40 m,不计阻力,g取10 m/s2,则(　BC　)

A.炮口出水速度大小为10 m/s

B.炮口出水速度大小为40 m/s

C.如火情向上蔓延至上一层,只增大炮口出水速度仍能有效灭火

D.如火情向上蔓延至上一层,只升高炮口的高度不能有效灭火

解析:水从炮口水平射出后做平抛运动,由h=gt2得t==

s=1 s,炮口出水速度大小为v== m/s=40 m/s,故A错误,B正确;如火情向上蔓延至上一层,导致消防炮口与着火点的高度变小,水的运动时间会变短,根据v=可知只增大炮口出水速度仍能有效灭火,故C正确;若只升高炮口的高度到与原来消防炮口与着火点的高度一样时,也可以有效灭火,故D错误。

12.如图所示,玩具手枪的枪管AB对准竖直墙面上的C点,B、C间距xBC=40 m且处于同一水平线上。弹丸以v0=20 m/s的速度从枪管射出,到达墙面时打在D点。求:(不计空气阻力,g取10 m/s2)

(1)C、D两点间的距离;

(2)弹丸打到D点时的速度(用根式表示即可)。

解析:(1)弹丸从B到D做平抛运动,

水平方向xBC=v0t

竖直方向h=gt2

解得t=2 s,h=20 m。

(2)弹丸打到D点,竖直方向速度vDy=gt=20 m/s

故D点速度vD==20 m/s

与水平方向夹角为45°。

答案:(1)20 m　(2)20 m/s,与水平方向的夹角为45°

13.体育竞赛中有一项运动为掷镖,如图所示,墙壁上落有两支飞镖,它们是从同一位置水平射出的,飞镖A与竖直墙壁成53°角,飞镖B与竖直墙壁成37°角,两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动,试求射出点与墙壁的距离。(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,忽略空气阻力)

解析:设射出点与墙壁距离为s,飞镖的初速度为v0,竖直分速度为vy,则根据平抛运动规律及几何关系有vy==gt,且v0=

联立解得t2=

下落高度h=gt2=

即hA==s,hB==s

又hB-hA=d

解得s=d。

答案:d