高中10.3 频率与概率课时作业

专题10.3 频率与概率

知识储备

知识点一　频率的稳定性

在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).

思考　一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，100次，1 000次，正面向上的频率与0.5相比，有什么变化？

答案　随着抛掷的次数增加，正面向上的次数与总次数之比会逐渐接近0.5.

知识点二　随机模拟

用频率估计概率，需做大量的重复试验，我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.

能力检测

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单选题

1．（2020·安徽滁州市·高二月考（文））某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，其中第一､三､四､五小组的频率分别为，，，，而第二小组的频数是40，则参赛的人数以及成绩优秀的概率分别是（    ）

A．50， B．50， C．100， D．100，

【答案】C

【解析】由已知得第二小组的频率是，频数为40，

设共有参赛学生x人，则，所以.

因为成绩优秀的频率为，

所以成绩优秀的概率为，故选：C.

2．（2020·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））为了研究一种新药的疗效，选名患者随机分成两组，每组各名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成如图，其中“”表示服药者，“”表示未服药者.

下列说法中，错误的是（    ）

A．服药组的指标的均值和方差比未服药组的都低

B．未服药组的指标的均值和方差比服药组的都高

C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标低于的概率约为

D．这种疾病的患者的生理指标基本都大于

【答案】B

【解析】对于A选项，服药组的指标的取值相对集中，方差较小，且服药组的指标的均值小于，未服药组的指标的均值大于，A选项正确；

对于B选项，未服药组的指标的取值相对集中，方差较小，B选项错误；

对于C选项，服药组的指标值有个大于，所以患者服药一段时间后指标低于的概率约为，C选项正确；

对于D选项，未服药组的指标值只有个数据比小，则这种疾病的患者的生理指标基本都大于，D选项正确.故选：B.

3．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一开学考试）将，两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：

下面有三个推断：

①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是；

②随着投篮次数的增加，运动员投中频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计运动员投中的概率是；

③当投篮达到200次时，运动员投中次数一定为160次.

其中合理的是（    ）.

A．① B．② C．①③ D．②③

【答案】B

【解析】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；

②随着投篮次数增加，A运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理；

③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160次，故③不合理；故选：B.

4．（2020·全国高三专题练习）我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类.全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类.题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献.《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1634石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷25粒，则这批米内夹谷约为（    ）

A．158石 B．159石 C．160石 D．161石

【答案】D

【解析】由题意可知这批米内夹谷约为(石).故选：D.

5．（2020·全国高三专题练习）从一群游戏的小孩中抽出k人，一人一个苹果，让他们返回继续游戏，一段时间后，再从中任取m人，发现其中有n人曾分过苹果，则可估计这群小孩共有（    ）

A．k·人 B．k·人

C．（k＋m－n）人 D．（k＋m＋n）人

【答案】B

【解析】设这群小孩共有x人，则＝，解得x＝.故选：B.

6．（2020·全国高三专题练习）下列说法正确的是(　　)

A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场

B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈

C．随机试验的频率与概率相等

D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%

【答案】D

【解析】A选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场；

B选项，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈；

C选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率；

D选项，概率为90%，即可能性为90%.故选D.

7．（2020·辽宁大连市·高一期末）关于频率和概率，下列说法正确的是（    ）

①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；

②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；

③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；

④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.

A．②④ B．①④ C．①② D．②③

【答案】A

【解析】①某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为，不能说概率，故错误；

②进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5,故正确；

③只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1806粒种子发芽，故错误；

④出现点数大于2的次数大约为4000次，正确.故选：A

8．（2020·吴起高级中学高一期末）下列叙述正确的是（    ）

A．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件

B．若事件发生的概率为，则

C．频率是稳定的，概率是随机的

D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小

【答案】B

【解析】对于A，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A错误；对于B，事件发生的概率为，则，即B正确；

对于C，概率是稳定的，频率是随机的，即C错误；

对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为，即D错误，即叙述正确的是选项B，故选：B.

二、多选题

9．（2020·湖南怀化市·高一期末）下列说法正确的是（    ）

A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率

B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀

C．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖

D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水

【答案】AB

【解析】对于A，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A正确

对于B，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B正确．

对于C，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C错误．

对于D，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为，故D错．故选：AB．

10．（2020·江苏淮安市·马坝高中高一期中）下列说法正确的是（    ）

A．一个人打靶，打了10发子弹，有6发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为0.6

B．某地发行福利彩票，其回报率为47%，有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元回报

C．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同

D．大量试验后，可以用频率近似估计概率.

【答案】CD

【解析】、某人打靶，射击10次，击中6次，那么此人中靶的频率为0.6，故错误；

、买这种彩票是一个随机事件，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误；

、根据古典概型的概率公式可知C正确；

、大量试验后，可以用频率近似估计概率，故正确．故选：CD．

11．（2020·山东高三专题练习）下列说法正确的是(    )

A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差

B．某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90％，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学

C．回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好

D．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位

【答案】CD

【解析】对A项，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故A错误；

对B项，概率只说明事件发生的可能性，某次事件不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故B错误；

对C项，在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故C正确；

对D项，在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位，故D正确；故选：CD

12．（2020·全国高一课时练习）下列说法错误的有（    ）

A．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值

B．在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生

C．任意事件A发生的概率满足

D．若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是不可能事件

【答案】CD

【解析】∵随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，∴A中说法正确；

基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生，∴B中说法正确；

必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率大于0且小于1.∴任意事件A发生的概率P（A）满足.∴C中说法错误；

若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，但不是不可能事件，∴D中说法错误.故选CD

三、填空题

13．（2020·四川成都市·石室中学高三月考（理））今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____.

【答案】0.4

【解析】由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A，买其它肉的人组成的集合设为B，

则韦恩图如下：中有30人，中有10人，又不买猪肉的人有30位，

∴中有20人，∴只买猪肉的人数为：100，

∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为=0.4，

故答案为；0.4

14．（2020·河北安平中学高二月考）为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查:向被调查者提出两个问题:（1）你的学号是奇数吗?（2）在过路口的时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题;否则就回答第（2）个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答.如果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是___.

【答案】60

【解析】设闯红灯的概率为，

由已知中被调查者回答的两个问题，

（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口的时候你是否闯过红灯？

再由调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题；否则就回答第（2）个问题

可得回答是有两种情况：

①正面朝上且学号为奇数，其概率为；

②反面朝上且闯了红灯，其概率为．

则回答是的概率为

解得．所以闯灯人数为．故答案为：60

15．（2020·全国高一课时练习）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间内的为一等品，在区间或内的为二等品，在区间或内的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为____________.

【答案】

【解析】设区间对应矩形的高度为，则由所有矩形面积之和为1，得，解得，所以该件产品为二等品的概率为.

故答案为：

四、双空题

16．（2020·全国高一专题练习）某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球实验.其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇兑起来后，摸到红球次数为6000次.

（1）估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是__________；

（2）请你估计袋中红球接近__________个.

【答案】    15.   

【解析】（1）∵20×400＝8000，

∴摸到红球的概率为：＝0.75，

因为试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，

所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是；

（2）设袋中红球有x个，根据题意得：

＝0.75，解得x＝15，

经检验x＝15是原方程的解.

∴估计袋中红球接近15个.故答案为：；15.