高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第2课时同步测试题

第四章数列

4.1　数列的概念

第2课时　数列的递推公式

课后篇巩固提升

基础达标练

1.数列,…的递推公式可以是(　　)

A.an=(n∈N*) B.an=(n∈N*)

C.an+1=an(n∈N*) D.an+1=2an(n∈N*)

解析数列从第2项起,后一项是前一项的,故递推公式为an+1=an(n∈N*).

答案C

2.(多选)符合递推关系式an=an-1的数列是(　　)

A.1,2,3,4,… B.1,,2,2,…

C.,2,2,4,… D.0,,2,2,…

解析B与C中从第2项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式an=an-1.

答案BC

3.在数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5= (　　)

A.-3 B.-11 C.-5 D.19

解析由an+1=an+2-an,得an+2=an+an+1,则a3=a1+a2=7,a4=a2+a3=12,a5=a3+a4=19.

答案D

4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则a2= (　　)

A.4 B.2 C.1 D.-2

解析Sn=2an-2⇒a1=S1=2a1-2⇒a1=2⇒a1+a2=S2=2a2-2⇒a2=4.故选A.

答案A

5.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是(　　)

A.2n-1 B. C.n2 D.n

解析法一:构造法.

由已知整理,得(n+1)an=nan+1,

∴,∴数列是常数列,

且=1,∴an=n.

法二:累乘法.

当n≥2时,,

…

,

两边分别相乘,得=n.∵a1=1,∴an=n.

答案D

6.在数列{an}中,若a1=2,an+1=an+n-1,则a4=　　　　　. 

解析a2=a1+1-1=2,a3=a2+2-1=3,a4=a3+3-1=5.

答案5

7.(2020潍坊高三检测)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k=　　　　　. 

解析∵an=

∴an=2n-10.

由5<2k-10<8,得7.5<k<9,∴k=8.

答案8

8.若数列{an}满足an+1=2an-1,且a8=16,则a6=　　　　　. 

解析∵an+1=2an-1,∴a8=2a7-1=16,

解得a7=,又a7=2a6-1=,解得a6=.

答案

9.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求an.

解由题意,得an+1-an=ln,

∴an-an-1=ln(n≥2),

an-1-an-2=ln,

…

a2-a1=ln,

∴当n≥2时,an-a1=ln·…·=ln n,∴an=2+ln n(n≥2).

当n=1时,a1=2+ln 1=2,符合上式,

∴an=2+ln n(n∈N*).

10.已知各项均不为0的数列{an}满足a1=,anan-1=an-1-an(n≥2,n∈N*),求数列{an}的通项公式.

解∵anan-1=an-1-an,且各项均不为0,

∴=1.∴当n≥2时,+…+

=2+=n+1.

∴=n+1,

∴当n≥2时,an=.

∵a1=也符合上式,∴an=.

能力提升练

1.已知数列{an},a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an,则a6+a4-3a5的值为(　　)

A.3 B.-2 C.-1 D.0

解析∵an+2=3an+1-an,∴an+2+an=3an+1.

令n=4,得a6+a4=3a5,∴a6+a4-3a5=0.

答案D

2.已知数列{an},an+1=,a1=3,则a2 019=(　　)

A. B.3 C.- D.

解析由题意,可知:a1=3,

a2==-,

a3=,

a4==3,

a5==-,

…

∴数列{an}是一个以3为最小正周期的周期数列.

∵2 019÷3=673,∴a2 019=a3=.

答案A

3.已知数列{an},a1=1,ln an+1-ln an=1,则数列{an}的通项公式是(　　)

A.an=n B.an=

C.an=en-1 D.an=

解析∵ln an+1-ln an=1,∴ln=1.∴=e.

由累乘法可得an=en-1.

答案C

4.在数列{an}中,a1=1,an+1=-1,则此数列的前4项和为　　　　　. 

解析∵a1=1,an+1=-1,∴a2=12-1=0,a3=02-1=-1,a4=(-1)2-1=0,故前4项和a1+a2+a3+a4=0.

答案0

5.(2019浙江期末)已知数列{an}满足:a1=2,an=(n∈N*).设Sn为数列{an}的前n项和,则a2=　　　　　,S2 019=　　　　　. 

解析由题意知a2==3,又a3==2=a1,…,∴数列{an}是周期数列,周期为2,∴S2 019=(2+3)×1 009+2=5 047.

答案3　5 047

6.已知在数列{an}中,an+1=对任意正自然数n都成立,且a7=,则a5=　　　　　. 

解析由已知a7=,解得a6=.

又因为a6=,解得a5=1.

答案1

7.在数列{an}中,已知a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n≥1),写出此数列的前6项.

解a1=2,a2=3,

a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5,

a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9,

a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17,

a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.

8.已知数列{an}满足an+1=

若a1=,试求a2 018+a2 019.

解∵a1=,

∴a2=2a1-1=,

∴a3=2a2-1=,∴a4=2a3=.

∴数列{an}是周期数列,且周期为3.

∴a2 018+a2 019=a672×3+2+a673×3

=a2+a3=.

素养培优练

已知数列a1=1,a2,a3,…,an(n∈N*)的法则如下:若an为自然数,则an+1=an-2,否则an+1=an+3,则a6=　　　　　. 

解析∵a1=1是自然数,

∴a2=a1-2=1-2=-1.

∵a2=-1不是自然数,

∴a3=a2+3=-1+3=2.

∵a3=2是自然数,∴a4=a3-2=2-2=0.

∵a4=0是自然数,∴a5=a4-2=0-2=-2.

∵a5=-2不是自然数,

∴a6=a5+3=-2+3=1.

答案1