高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律教课内容课件ppt

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1.掌握向量数量积的运算律,并要注意运算律的适用范围以及与实数乘法运算律的区别.2.会应用运算律进行相关的计算或证明等问题.
没有规矩不成方圆,国家法律保障每个公民的权利不受侵害,校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见,世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存.初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律,那么向量的数量积又满足哪些运算律呢?
知识点:向量数量积的运算律已知向量a,b,c与实数λ,则
名师点析 (1)在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0.但是在向量数量积的运算中,不能由a·b=0推出a=0或b=0.事实上,当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量,这是因为对任意一个与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.实际上,由a·b=0可推出以下四种结论:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b.(2)已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c a=c,因为a·b=b·c(b≠0)表示向量c,a在向量b方向上的投影的数量相等,并不能说明a=c.如图所示,虽然a·b=b·c,但a≠c.(3)对于实数a,b,c,有(a·b)c=a(b·c).但对于向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)未必成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)未必成立.
微练习已知|a|=2,|b|=5,=120°,求(2a-b)·a.答案13
微判断(1)(a·b)·c=a·(b·c).(　　)(2)若a⊥b,则a·b=0.(　　)(3)若a∥b,则a·b>0.(　　)(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).(　　)答案(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
向量数量积的计算例1已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°,求:(1)e1·e2;(2)(2e1-e2)·(-3e1+2e2);(3)(e1+e2)2.
反思感悟 求向量的数量积时,常用到的结论(1)a2=|a|2;(2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则;(3)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.同时还要注意几何性质的应用,将向量适当转化,转化的目的是用上已知条件.
向量的夹角和垂直问题例2已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)
分析利用夹角公式计算.
解析设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,答案B
延伸探究若将本例条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余弦值.解设a与b夹角为θ,因为|a|=3|b|,所以|a|2=9|b|2.又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b=|a|2+4|b|2+4|a||b|cs θ=13|b|2+12|b|2cs θ,即9|b|2=13|b|2+12|b|2cs θ,
分析利用向量垂直的充要条件求参数.
解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m||n|cs θ+|n|2所以t=-4.答案B
2.两个向量的夹角与其数量积的关系(1)向量a,b夹角为锐角的等价条件是a·b>0,且a与b不同向共线.(2)a,b夹角为钝角的等价条件是a·b<0,且a与b不反向共线.(3)a与b垂直的等价条件是a·b=0.
反思感悟 向量数量积在平面几何应用中的解题策略(1)利用运算律结合图形先化简再运算.(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).
变式训练2如图,半圆的直径AB=4,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则 的最小值等于(　　)A.2B.0C.-1D.-2
平方转化法求向量的模
典例 已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为 ,求|a+b|,|a-b|.提示一先利用|a+b|2=(a+b)2,|a-b|2=(a-b)2求出后再开方.提示二利用向量加法的平行四边形法则,a+b,a-b分别是平行四边形的对角线对应的向量,利用向量的几何意义在三角形中求解.
方法点睛 求向量的模的常见解法有两种,一种是利用a2=|a|2求解,特别注意不要忘记开方.另一种是把向量求模问题转化到平面几何中的长度计算上来.
1.已知|a|=2,b是单位向量,且a与b夹角为60°,则a·(a-b)等于(　　)解析a·(a-b)=a2-a·b=4-2×1×cs 60°=3.答案C
2.已知a,b是非零向量,且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则=(　　)
3.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=　　　　.