2021学年第五章 数列5.5 数学归纳法示范课ppt课件

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往一匹健壮的马身上放一根稻草,马毫无反应;再添加一根稻草,马还是丝毫没有感觉……一直往马身上添加稻草,当最后一根轻飘飘的稻草放到了马身上后,马竟不堪重负瘫倒在地.这在社会学里,取名为“稻草原理”.这也是多米诺骨牌效应的一个体现,这其中更蕴含着一种递推的数学思想,下面我们来学习一下这种数学思想.
数学归纳法的定义一个与自然数有关的命题,如果(1)当n=n0时,命题成立;(2)在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下,能够推出n=k+1时命题也成立.那么,这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
名师点析 用数学归纳法论证问题的步骤(1)验证当n=n0(n0∈N+)时,命题p(n0)成立;(2)假设n=k(k∈N+,k≥n0)时,命题p(k)成立,并由此假设出发,推出命题p(k+1)也成立.由(1)(2)断定命题对于从n0开始的一切正整数n都成立.
微思考数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示:不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)×180°,第一个值n0=3.
用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明:
即当n=k+1时等式也成立.由①②可得对于任意的n∈N+等式都成立.
反思感悟 用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况.(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项.(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
所以n=k+1时,等式也成立.综上所述,对于任何n∈N+,等式都成立.
用数学归纳法证明不等式
思路分析按照数学归纳法的步骤证明,由n=k到n=k+1的推证过程可应用放缩技巧,使问题简单化.
即当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,命题对所有的n∈N+都成立.
反思感悟 用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)先凑假设,作等价变换.(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地放缩、分析直到凑出结论.
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.
反思感悟 1.“归纳—猜想—证明”的一般环节
2.“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式,求通项或前n项和.(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.(3)给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
变式训练2数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.
下面证明猜想:(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.(2)假设当n=k时猜想成立,
数学归纳法在比较大小中的应用
解:(1)当n=1,2时,Pn=Qn.(2)当n≥3时(以下再对x进行分类),①若x∈(0,+∞),显然有Pn>Qn;②若x=0,则Pn=Qn;③若x∈(-1,0),则P3-Q3=x3