高中数学新人教B版选择性必修第三册 第六章 章末整合 课件

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章末整合专题一　导数的几何意义 例1已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=- x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解:(1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13.∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)(方法一)设切点为(x0,y0),∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).解得x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).即切点为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.方法技巧导数的几何意义的解题策略(1)利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点.(2)围绕着切点有三个等量关系:切点(x0,y0),则k=f'(x0),y0=f(x0),(x0,y0)满足切线方程.变式训练1直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点(2,3),则b=　　　　　. 解析:∵y=x3+ax+1过点(2,3),∴a=-3,∴y'=3x2-3,∴k=3×4-3=9,∴b=y-kx=3-9×2=-15.答案:-15专题二　函数的单调性与导数 例2若函数f(x)=2sin xcos x-4x-msin x在[0,2π]上单调递减,则实数m的取值范围为(　　)A.(-2,2) B.[-2,2]C.(-1,1) D.[-1,1]解析:依题意,f(x)=2sin xcos x-4x-msin x=sin 2x-4x-msin x,所以f'(x)=2(2cos2x-1)-4-mcos x=4cos2x-mcos x-6≤0对任意x∈[0,2π]恒成立.设t=cos x∈[-1,1],g(t)=4t2-mt-6,则g(t)≤0在[-1,1]上恒成立,解得-2≤m≤2. 答案:B 方法技巧利用导数求解参数范围的步骤(1)对含参数的函数f(x)求导,得到f'(x).(2)若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则f'(x)≤0恒成立,得到关于参数的不等式,解出参数范围.(3)验证参数范围中取等号时,是否恒有f'(x)=0.若f'(x)=0恒成立,则函数f(x)在(a,b)上为常函数,舍去此参数值.解:f'(x)=x2-ax+a-1.令f'(x)=0,解得x=1或x=a-1.当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意.当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数.所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7.故a的取值范围是[5,7].专题三　函数的极值、最值与导数 例3已知函数f(x)=x3+ax2+b的图像上一点P(1,0),且在点P处的切线与直线3x+y=0平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[0,t](00,g(t)单调递增;当t∈(1,+∞)时,g'(t)<0,g(t)单调递减.所以g(t)的最大值为g(1)=-1,得b≥-1,所以实数b的取值范围是[-1,+∞).专题四　生活中的优化问题 例4某超市销售某种商品,据统计,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,其中4≤x≤15)满足:当4≤x≤9时,y=a(x-9)2+ (a,b为常数);当9≤x≤15时,y=-5x+85.已知当销售价格为6元/千克时,每日售出该商品170千克.(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;(2)若该商品的销售成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大.(2)由(1)知,当4≤x<9时,每日销售利润=10(x3-21x2+135x-243)+240,∴f'(x)=30(x-5)(x-9).当4≤x<5时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当5245,∴销售价格为5元/千克时,每日利润最大.方法技巧解决优化问题的步骤(1)分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域.(2)通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决.在这个过程中,导数是一个有力的工具.(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.变式训练4如图,某小区内有两条相互垂直的道路l1与l2,平面直角坐标系的第一象限有块空地OAB,其边界OAB是函数y=f(x)的图像.前一段OA是函数y=k 图像的一部分,后一段AB是一条线段,测得A到l1的距离为8米、到l2的距离为16米,OB长为32米.现要在此地建一个社区活动中心,平面图为直角梯形PQBD(其中PQ,DB为两个底边).(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)设梯形的高为t米,则当t为何值时,社区活动中心的占地面积最大.