初中数学人教版七年级上册4.2 直线、射线、线段一课一练

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专题08 线段上动点问题的三种考法

类型一、求值问题
例.数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧，．

(1)如图1，若多项式是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：
(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段（E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是的中点，N是的中点，在滑动过程中，线段的长度是否发生变化，请判断并说明理由；
(3)若点D是的中点．
①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；
②若，试求线段的长．
【答案】(1)，；(2)不变化，理由见解析；(3)①；②
【解析】(1)解：由题可知，n-1=0，7+m=2，
∴，
故答案为：，
(2)解：MN的长不发生变化，理由如下：
由题意，得点C表示的数为3，
设点E表示的数为x，则点F表示的数为
∴ ， ， ， ， ，，
∵点M是的中点，N是的中点
∴，，即

(3)解：①∵A，B表示的数分别为m，n
又点C在B的右侧，∴AB=n-m
∵，∴AC= n-m+2
∵点D是的中点，∴AD=AC= （n-m+2）
∴D表示的数为：m+ （n-m+2）=
②依题意，点C表示的数分别为
∴，
∴，
∵，即
当时．，
∵，∴不符合题意，舍去
当时．，
综上所述，线段的长为.

【变式训练1】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”．

【答案】是 7.5或
【解析】（1）若线段中点为C点，AB＝2AC，所以中点是这条线段“巧点”
（2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，
①Q为AP中点，，∴t＝7.5；
②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15，
∵AQ＝2PQ，∴15﹣t＝2（3t﹣15），∴；
③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），∴t＝97.5（舍去）．综上所述：t＝7.5或．
故答案为：（1）是；（2）7.5或．
【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）

(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)或
【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm
∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．
(2)解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，
∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，
又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=BM
故答案为：．
(3)解：由（2）可得：
∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝AB，
①当点N在线段AB上时，如图

∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN，∴BN＝AM＝AB，∴MN＝AB，即=．
②当点N在线段AB的延长线上时，如图

∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB，∴MN＝AB，∴=1,即=．
综上所述＝或
【变式训练3】如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．

【答案】1或
【解析】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，
∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；
∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；
∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：

由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，
因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
类型二、证明定值问题
例.如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若．
（1）求线段，的长；
（2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；
（3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．

【答案】（1），；（2）9；（3）②正确，，见解析
【解析】（1）由，，，
得，，所以，；
（2）当点在点的右侧时，如图，

因为点，分别为线段，的中点，，
所以，，
又因为，
所以，
当点在点的左侧时，如图，

因为点，分别为线段，的中点，
所以，，
所以
所以．
综上，线段的长为9；
（3）②正确，且．理由如下：
因为点与点重合，所以，
所以，所以，
所以．

【变式训练1】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ 　，n＝ 　；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

【解析】（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，

∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN=AC +CD+BD=AC +CD+BD+CD=(AC +CD+BD)+CD=(AB +CD)=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，

依题意有：，解得：a=2，在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点，∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时

F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0，∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t