北师大版高中数学必修第二册第二章平面向量及其应用检测试题含答案

第二章　检测试题

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.化简+++的结果等于(　B　)

(A)    (B)    (C)    (D)

解析:+++=(+)+(+)=+0=.故选B.

2.已知向量a=(1,m),b=(3,-1),且a∥b,则m等于(　B　)

(A)-3   (B)-   (C)   (D)3

解析:因为a∥b,所以-1-3m=0,得m=-.故选B.

3.在平行四边形ABCD中,A(0,0),B(5,0),D(2,4),对角线AC,BD交于点M,则的坐标是(　A　)

(A)(,-2)      (B)(,2)

(C)(-,-2)   (D)(-,2)

解析:在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点M,则M为DB的中点,

由已知条件可得=-=(5,0)-(2,4)=(3,-4),

因此,==(,-2).故选A.

4.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是(　A　)

(A)A,B,D    (B)A,B,C

(C)B,C,D    (D)A,C,D

解析:因为=-5a+6b,=7a-2b,

所以=+=2a+4b,

又=a+2b,

所以=2,即∥,

而,有公共点B,

所以A,B,D三点共线,A选项正确.

=-4a+8b,显然,,两两不共线,

选项B,C,D都不正确.故选A.

5.在△ABC中,BC边上的中线为AD,点O满足=-2,则 等于(　A　)

(A)-+ (B)-

(C)-    (D)-+

解析:因为在△ABC中,BC边上的中线为AD,

所以=(+).

因为=-2.

所以=2,

所以==×(+)=(+),

所以=-=--=-+.故选A.

6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(m,1).若c⊥(2a+b),则m等于(　D　)

(A)2   (B)-2   (C)   (D)-

解析:2a+b=(4,2),

因为c⊥(2a+b),

所以c·(2a+b)=0.

所以4m+2=0,解得m=-.故选D.

7.已知非零向量a,b满足|a|=4|b|,且(a-2b)⊥b,则a与b的夹角θ为(　B　)

(A)   (B)   (C)   (D)

解析:由(a-2b)⊥b,可得(a-2b)·b=0,

即a·b-2|b|2=0.

可得cos θ==,θ∈[0,π],

故θ=.故选B.

8.已知船在静水中的速度大小为5 m/s,且知船在静水中的速度大小大于水流的速度大小,河宽为20 m,船垂直到达对岸用的时间为5 s,则水流的速度大小为(　A　)

(A)3 m/s   (B)4 m/s   (C)5 m/s   (D)6 m/s

解析:设船在静水中的速度为v1,水流速度为v2,船的实际速度为v3,建立如图所示的平面直角坐标系.

|v1|=5 m/s,|v3|==4(m/s),

则v3=(0,4),v1=(-3,4),

v2=v3-v1=(0,4)-(-3,4)=(3,0).

所以|v2|=3 m/s,

即水流的速度大小为3 m/s.故选A.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)

9.在△ABC中,下列判断正确的是(　BCD　)

(A)若sin 2A=sin 2B,则△ABC为等腰三角形

(B)若A>B,则sin A>sin B

(C)若△ABC为锐角三角形,则sin A>cos B

(D)若sin A>sin B,则A>B

解析:在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,

则2A=2B或2A+2B=π,

所以A=B或A+B=,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,故A不正确;

在△ABC中,若A>B,则a>b,

由正弦定理可得2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆半径),

即sin A>sin B,故B正确;

若△ABC为锐角三角形,则A+B>,

所以>A>-B>0,

所以sin A>sin(-B)=cos B,故C正确;

在△ABC中,若sin A>sin B,

由正弦定理可得>(R为△ABC外接圆半径),

即a>b,所以A>B,故D正确.

故选BCD.

10.已知向量a=(2,1),b=(-3,1),则下列说法正确的有(　BCD　)

(A)(a+b)∥a

(B)向量a在向量b方向上的投影向量为-b

(C)a与a-b的夹角余弦值为

(D)若c=(,-),则a⊥c

解析:a+b=(-1,2).因为=-1×1≠2×2,

所以a+b与a不共线,A选项错误;

设向量a在向量b方向上的投影向量为λb,

则a·b=λb2,即2×(-3)+12=10λ,

解得λ=-,

故向量a在向量b方向上的投影向量为-b,B选项正确;

a-b=(5,0),cos <a,a-b>===,C选项正确;

若c=(,-).

则a·c=2×+1×(-)=0,

所以a⊥c,D选项正确.故选BCD.

11.下列说法正确的是(　AD　)

(A)若点G是△ABC的重心,则=+

(B)已知a=(-1,2),b=(x,x-1),若(b-2a)∥a,则x=-1

(C)已知A,B,C三点不共线,B,C,M三点共线,若=x+(2x-1),则x=

(D)已知正方形ABCD的边长为1,点M满足=,则·=

解析:对于A,由题意=(+)=+,故A正确;

对于B,因为b-2a=(x+2,x-5),(b-2a)∥a,

所以-(x-5)=2(x+2),解得x=,故B错误;

对于C,B,C,M三点共线,

则存在实数λ,使得=λ,

所以-=λ(-)

即=λ+(1-λ).

又=x+(2x-1),

所以解得x=,故C错误;

对于D,在正方形中·=0,

由=,可得=,

所以·=(+)·(+)=

(+)·(+)=+·+=,故D正确.故选AD.

12.如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成θ(θ≠)角的两条数轴,e1,

e2分别是与x轴,y轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy为θ反射坐标系,若=xe1+y e2,则把有序数对(x,y)叫作向量的反射坐标,记为=(x,y).在θ=的反射坐标系中,a=(1,2),b=(2,-1).则下列结论正确的是(　ABD　)

(A)a-b=(-1,3)

(B)|a|=

(C)a⊥b

(D)向量a在向量b方向上的投影数量为-

解析:对于A,a-b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2,则a-b=(-1,3),故A正确;

对于B,|a|====,故B正确;

对于C,a·b=(e1+2e2)·(2e1-e2)=2+3e1·e2-2=-,故C错误;

对于D,由于|b|===,故向量a在向量b方向上的投影数量为==-,故D正确.故选ABD.

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.与向量a=(12,5)反向的单位向量是　　    　　. 

解析:a=(12,5)的反向的单位向量是-=-=(-,-).

答案:(-,-)

14.已知e1,e2为平面内两个不共线向量,=2e1+4e2,=e1+λe2,

若M,N,P三点共线,则 λ=　　　　. 

解析:因为M,N,P三点共线,所以存在实数k使得=k,

所以2e1+4e2=k(e1+λe2),

即解得

答案:2

15.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|a-b|=,则|b|=　　　　.

解析:由题意,向量a,b的夹角为60°,

|a|=2,|a-b|=,可得a2+b2-2a·b=4+|b|2-2×2·|b|cos 60°=3,

即|b|2-2·|b|+1=0,解得|b|=1.

答案:1

16.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家,托勒密定理就是由其名字命名,该定理指出:圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上,AC,BD是其两条对角线,AB=AD,∠BAD=120°,AC=6,则四边形ABCD的面积为　　　　. 

解析:在△ABD中,设AB=a,由余弦定理得

BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=3a2,

所以BD=a,

由托勒密定理可得a(BC+CD)=AC·a,

即BC+CD=AC,

又∠ACB=∠ACD=30°,

所以四边形ABCD的面积S=BC·ACsin 30°+CD·AC·sin 30°

=(BC+CD)·AC=·AC2=9.

答案:9

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

已知a=(1,0),b=(2,1).

(1)当k为何值时,ka+b与a+2b共线?

(2)当k为何值时,ka+b与a+2b垂直?

(3)当k为何值时,ka+b与a+2b的夹角为锐角?

解:(1)ka+b=(k+2,1),a+2b=(5,2).

因为ka+b与a+2b平行,

所以(k+2)×2-1×5=0,解得k=.

(2)因为ka+b与a+2b垂直,

所以(ka+b)·(a+2b)=0,

即5×(k+2)+2×1=0,解得k=-.

(3)由题意可得5×(k+2)+2×1>0,且ka+b与a+2b不共线,

解得k>-且k≠.

18.(本小题满分12分)

已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,且=.

(1)求B的值;

(2)若b=2,求△ABC的面积的最大值.

解:(1)由=,得a2+c2-b2=-ac,

所以cos B==-,

又B∈(0,π),则B=.

(2)因为b2=a2+c2-2accos B,

所以8=a2+c2+2ac×≥2ac+2ac×,

即ac≤4(2-),当且仅当a=c时等号成立.

所以△ABC的面积S=acsin B≤×4×(2-)×=2-2.

故△ABC的面积的最大值为2-2.

19.(本小题满分12分)

如图所示,在矩形ABCD中,BC=3AB=6,E为AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点,AF与DE交于点G.设=a,=b.

(1)求∠EGF的余弦值.

(2)用a和b表示.

解:(1)如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,依题意知,A(0,0),B(2,0),C(2,6),D(0,6),

E(1,0),F(2,2),

所以=(2,2),=(1,-6),

所以·=2×1-2×6=-10,

||==2,

||==,

所以cos <,>===-.

由图可知∠EGF即为与所成的角,

所以cos ∠EGF=-.

(2)依题意设=λ,

所以=λ(+)=λ(+)=λ+λ.

因为D,G,E三点共线,所以=x+(1-x)·=x+(1-x).

所以解得

所以=+.

又=a,=b,所以=a+b.

20.(本小题满分12分)

某轮船以v km/h的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东60°.轮船从A处向北航行30 min后到达B处,测得油井P在南偏东15°,且BP=10 km.轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60 min 后到达C点.

(1)求轮船的速度v;

(2)求P,C两点间的距离(精确到1 km).

解:(1)在△ABP中,由正弦定理得,=,

即=,

解得v==40(km/h).

所以v=40 km/h.

(2)在△CBP中,由余弦定理得PC2=PB2+BC2-2PB·BC·cos∠PBC=

(10)2+(40)2-2×10×40·cos(180°-15°-45°)=2 200+400,所以PC≈56 km.

21.(本小题满分12分)

如图所示,以△ABC两边AB,AC为边向外作正方形ABGF和ACDE,M为BC的中点.用向量方法证明:AM⊥EF.

证明:因为M是BC的中点,所以=(+).

又因为=-,

所以·=(+)·(-)

=(·+·-·-·)

=(0+·-·-0)

=(·-·)

=[||·||cos(+∠BAC)-||·||·cos(+∠BAC)]=0,

所以⊥,即AM⊥EF.

22.(本小题满分12分)

在△ABC中,AB=3,AC=6,∠BAC=,D为边BC的中点,M为中线AD的

中点.

(1)求中线AD的长;

(2)求与 的夹角θ的余弦值.

解:(1)由已知,·=3×6cos =-9,

又=(+),

所以||2=(||2+2·+||2)=×(9-18+36)=,

所以AD=.

(2)由(1)知,=-=(+)-=-+,

所以||2=×9-×(-9)+×36=,从而||=.

·=(-+)·(+)=-×9-×(-9)+×36=,

所以cos θ==××=.