高考数学(理数)一轮复习02《函数的概念、基本初等函数》单元测试 (含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习02《函数的概念、基本初等函数》单元测试 (含详解)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。





一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　
1．函数f(x)＝＋的定义域为 (　　)
A．[0，＋∞) B．(－∞，2]
C．[0，2] D．[0，2)
解：由可得0≤x<2，所以函数f(x)的定义域为[0，2)．故选D.
2．()下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是
(　　)
A．y＝x3 B．y＝ln
C．y＝2|x| D．y＝cosx
解：对于A，函数是奇函数，不满足题意；对于B，因为ln＝ln，所以函数是偶函数，在区间(0，＋∞)上，y＝－lnx，函数单调递减，故满足题意；对于C，因为2|－x|＝2|x|，所以函数是偶函数，在区间(0，＋∞)上，y＝2x，函数单调递增，故不满足题意；对于D，函数是偶函数，在区间(0，＋∞)上，不是单调函数，故不满足题意．故选B.
3．若f(x)是幂函数，且满足＝3，则 f＝ (　　)
A．3 B．－3 C. D．－
解：设f(x)＝xα，则＝＝2α＝3，所以 f＝＝＝.故选C.
4．()若函数f(x)＝2x－a＋1＋－a的定义域与值域相同，则a＝ (　　)
A．－1 B．1 C．0 D．±1
解：函数f(x)的定义域为[a，＋∞)．所以函数f(x)的值域为[a，＋∞)．因为函数f(x)在[a，＋∞)上是增函数，所以当x＝a时， f(a)＝2a－a＋1－a＝a，即a＝1.故选B.
5．()已知函数f(x)＝ 设a＝log，则f(f(a))＝ (　　)
A. B．2 C．3 D．－2
解：－1＜a＝log＜0，则f(f(a))＝f()＝log3＝.故选A.
6．()函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是 (　　)
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，4) D．(4，5)
解：易知函数f(x)＝＋ln ＝－ln (x－1)在(1，＋∞)上单调递减，f(2)＝1－ln1＝1，f(3)＝－ln2＝＝<0.所以f(x)的零点所在的大致区间是(2，3)．故选B.
7．当0 A．x2<2x C．log2x
解：在同一坐标系中作出函数y＝x2，y＝2x， y＝log2x，x∈(0，2)的大致图象如图所示，由图象可得当x∈(0，2)时，大小关系是log2x 另解：可取x＝1检验各项，仅C满足．故选C.
8．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是 (　　)

A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝－1 D．f(x)＝x－
解：选项B是非奇非偶函数，选项C是偶函数，选项D在(0，＋∞)上是增函数，故排除B、C、D.故选A.
9．()已知函数f(x)＝lnx＋ ln(2－x)，则 (　　)
A．f(x)在(0，2)单调递增
B．f(x)在(0，2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
解：由题意知，f(2－x)＝ln(2－x)＋lnx＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，A，B，D错误．故选C.
10．()已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)，且f(1)＝2，则f(2 018)＋f(2 019)的值为 (　　)
A．2 B．0 C．－2 D．4
解：因为f(x)为奇函数，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 018)＋f(2 019)＝f(4× 504＋2)＋f(4×504＋3)＝f(2)＋f(3)，又f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，所以f(2 018)＋f(2 019)＝－2.故选C.
11．()已知函数f(x)＝2 017x＋log2 017(＋ x)－2 017－x＋3，则关于x的不等式f(1－2x)＋f(x)>6的解集为 (　　)
A．(1，4) B．(1，＋∞)
C．(1，2) D．(－∞，1)
解：易知y1＝2017x－2017－x与y2＝ log2 017(＋x)均为R上的奇函数，且y1与y2在[0，＋∞)上均为增函数，即y1与y2又是R上的增函数，所以 g(x)＝2 017x－2 017－x＋log2 017(＋x)为奇函数且在R上单调递增，所以g(1－2x)＋3＋g(x)＋3>6，即g(x)>g(2x－1)，所以x>2x－1，x<1，所以不等式f(1－2x)＋f(x)>6的解集为(－∞，1)．故选D.
12．已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈ (－1，1)时，均有f(x)<，则实数a的取值范围是(　　)
A.∪[2，＋∞) B.∪(1，4]
C.∪(1，2] D.∪[4，＋∞)
解：将f(x)<化为x2－1和0
结合图象得或
解得1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若已知函数f(x)＝ 则f(f(1))＋f 的值是________．
解：f(1)＝log21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.因为log3<0，所以f＝9－log3＋1＝4＋1＝5，所以f(f(1))＋f＝2＋5＝7.故填7.
14．()已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1) 解：因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
f(2x－1) 15．()若函数f(x)＝ (a>0且a≠1)在R上单调递减，则实数a的取值范围是________．
解：由题意得解得≤a<1，即实数a的取值范围是.故填.
16．()已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且f(2)＝4，则f(22)＝________.
解：因为y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，即函数f(x)为奇函数，由f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，f(x＋12)＋f(x＋6)＝2f(3)，所以f(x＋12)＝f(x)，函数f(x)的周期为12，因此f(22)＝f(－2)＝－f(2)＝－4.故填－4.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)计算：(1)；
(2)2××.
解：(1)原式＝＝＝＝1.
(2)原式＝2××＝2＝2＝2＝2×3＝6.
另解：原式＝2×3×12×＝2×3×3×4×3×2－＝2×3×3×2×3×2－＝2×3＝6.
18．(12分)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象过点(0，1)和(1，4)，且对于任意的实数x，不等式f(x)≥4x恒成立．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)设g(x)＝kx＋1，若F(x)＝log2[g(x)－f(x)]在区间[1，2]上是增函数，求实数k的取值范围．
解：(1)依题意，f(0)＝c＝1，f(1)＝a＋b＋c＝4，
所以f(x)＝ax2＋(3－a)x＋1.f(x)≥4x即ax2－(a＋1)x＋1≥0恒成立，得解得 a＝1.所以f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)F(x)＝log2[g(x)－f(x)]＝log2[－x2＋(k－2)x]．
由F(x)在区间[1，2]上是增函数，
得h(x)＝－x2＋(k－2)x在区间[1，2]上为增函数且恒为正实数，
所以解得k≥6.
所以实数k的取值范围为[6，＋∞)．
19．(12分)已知函数f(x)＝，a∈R.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令t＝－x2－4x＋3，
由于函数t＝－x2－4x＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
而y＝在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
20．(12分)()已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．
解：(1)证明：设x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．
又因为x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，
所以f(x1－x2)<0，即f(x1) 所以f(x)在R上是减函数．
(2)因为f(x)在R上是减函数，
所以f(x)在[－3，3]上也是减函数，
所以f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．
而f(3)＝3f(1)＝－2，且f(0)＋f(0)＝f(0)，
所以f(0)＝0，又f(－3)＋f(3)＝f(－3＋3)＝0，
所以f(－3)＝－f(3)＝2.
所以f(x)在[－3，3]上的最大值为2，最小值为－2.
21．(12分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200 (1≤t≤50，t∈N)．前30天价格为g(t)＝t＋30 (1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45 (31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S(元)与时间t的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值．
解：(1)依题意得，
S＝
即S＝
(2)①当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6 400，
所以当t＝20时，S取得最大值为6 400.
②当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9 000为减函数，所以当t＝31时，S取得最大值为6 210.
综上，当t＝20时，日销售额S有最大值6 400.
22．(12分)()已知函数f(x)＝log为奇函数，a为常数．
(1)确定a的值；
(2)求证：f(x)是(1，＋∞)上的增函数；
(3)若对于区间[3，4]上的每一个x值，不等式f(x)>＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即log＝－log，所以＝，整理得1－x2＝1－a2x2，所以a2＝1，解得a＝±1，当a＝1时，＝－1，不合题意舍去， 所以a＝－1.
(2)证明：由(1)可得f(x)＝log，
设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1 则－＝
＝
，
因为x2>x1>1，所以x1－x2<0，(x2－1)(x1－1)>0，
所以<0，所以<，
所以log>log，即f(x2)>f(x1)，
所以f(x)是(1，＋∞)上的增函数．
(3)依题意得m