高考数学(理数)一轮复习学案2．5《指数函数》(含详解)

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2．5　指数函数


1．根式
(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的______________，其中n＞1，且n∈N*.
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个______________数，负数的n次方根是一个______________数，这时a的n次方根用符号__________________表示．
②当n为偶数时，正数的n次方根有________________个，这两个数互为________________．这时，正数a的正的n次方根用符号__________________表示，负的n次方根用符号表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成__________________．
③负数没有偶次方根．
④0的n(n∈N*)次方根是__________________，记作__________________．
(2)根式：式子叫做根式，这里n叫做__________________，a叫做__________________．
(3)根式的性质：n为奇数时，＝__________________；
n为偶数时，＝__________________.
2．幂的有关概念及运算
(1)零指数幂：a0＝__________________.这里a__________________0.
(2)负整数指数幂：a－n＝__________________ (a≠0，n∈N*)．
(3)正分数指数幂：a＝__________________ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
(4)负分数指数幂：a－＝__________________ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
(5)0的正分数指数幂等于__________________，0的负分数指数幂__________________．
(6)有理指数幂的运算性质

3．指数函数的图象及性质
定义
一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数
图
象
a＞1
0＜a＜1


定义域
__________
值域
__________
性
质
过定点__________
在R上是_______
在R上是_________

自查自纠：
1．(1)n次方根　①正　负　
②两　相反数　　－　±　④0　＝0
(2)根指数　被开方数　(3)a　|a|
2．(1)1　≠　(2)　(3)　(4)
(5)0　没有意义　(6)ar＋s　ars　arbr
3．R　(0，＋∞)　(0，1)　增函数　减函数


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()化简(a>0，b>0)的结果是 (　　)
A. B．ab C．a2b D.
解：原式＝＝＝＝ ab－1＝.故选D.
()已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为
(　　)
A．(0，1) B．(2，3)
C．(3，2) D．(2，2)
解：由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时， f(2)＝3，即图象必过定点(2，3)．故选B.
()若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有
(　　)
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
解：设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数，又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.故选B.
函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
解：因为x≥0，所以－x≤0，所以3－x≤3，所以0<23－x≤23＝8，所以0≤8－23－x<8，所以函数 y＝8－23－x的值域为[0，8)．故填[0，8)．
设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
解：当a<0时，不等式f(a)<1可化为－7<1，即<8，即<，所以a>－3.又a<0，所以－3 综上，a的取值范围为(－3，1)．故填(－3，1)．


类型一　指数幂的运算
　(1)＋(0.002) －10(－2)－1＋(－)0＝________.
解：原式＝＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.故填－.
(2)化简：·＝________.
解：原式＝2×＝21＋3×10－1＝.故填.
(3)已知a＋a－＝3，求下列各式的值．
(Ⅰ)a＋a－1；(Ⅱ)a2＋a－2；(Ⅲ).
解：(Ⅰ)将a＋a＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.
(Ⅱ)将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)可得＝＝6.

点　拨：
指数幂运算的一般原则：①指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．②先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．③底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．④运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
　　
　(1)×＋8×－＝________.
解：原式＝×1＋2×2－＝2.故填2.
(2)化简：4ab÷＝________.
解：原式＝(－6)·＝－6a.故填－6a.
(3)已知x＋y＝12，xy＝9，且x 解：因为＝＝，又x＋y＝12，xy＝9，且x
类型二　指数函数的图象及应用
　(1)函数y＝ax－a－1(a>0且a≠1)的图象可能是(　　)

　 A　　　　　　　　　　B

　　 C　　　　　　　　　　D
解：函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A项显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当01，平移距离大于1，所以C项错误．故选D.

(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．

解：令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，令y＝|2x－2|，y＝b，其函数图象有两个交点，结合函数图象可知，0
点　拨：
①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
　　
　(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是
(　　)

　　　　　A　　　　　　　 　　　B

　　　　　C　　　　　　　 　　　D
解：f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，因此排除B、C、D，只有A满足．故选A.

(2)()设函数f(x)＝若互不相等的实数a，b，c满足 f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是(　　)
A．(16，32) B．(18，34)
C．(17，35) D．(6，7)
解：画出函数f(x)的图象如图所示．

不妨令a 类型三　指数函数的综合问题
　(1)()已知α∈，a＝(cosα)cosα，b＝(sinα)cosα，c＝(cosα)sinα，则 (　　)
A．a C．b 解：因为α∈，所以0(cosα)cosα，根据指数函数的性质，可得(cosα)cosα>(cosα)sinα，所以b>a>c.故选D.
(2)函数y＝的单调递增区间是________．
解：令t＝－x2＋x＋2≥0，得函数的定义域为 [－1，2]，所以t＝－x2＋x＋2在上单调递增，在上单调递减，根据“同增异减”的原则，函数y＝的单调递增区间是.故填.
(3)()若xlog52≥－1，则函数 y＝4x－2x＋1－3的最小值为 (　　)
A．－4 B．－3 C．－1 D．0
解：由xlog52≥－1得log52x≥log5，即2x≥，令t＝2x，则有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，因为t≥，所以当t＝1，即x＝0时，函数取得最小值为－4.故选A.
点　拨：
解决指数函数的综合问题，首先要熟练掌握指数函数的基本性质，如函数值恒正，在R上单调，过定点等；对于底数a与1的大小关系不明确的，要分类讨论；涉及零点问题往往要数形结合；不同底的往往要化同底，并注意换元思想的应用．
　　
　(1)()已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有>0，记a＝，b＝，c＝，则 (　　)
A．a C．c 解：由题意得，x1－x2与x2f(x1)－x1f(x2)同号，则x1－x2与(即－)同号，所以函数是(0，＋∞)上的增函数，因为1<30.2<2，0<0.32<1，log25>2，所以0.32<30.2 (2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
解：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．故填(－∞，4]．
(3)()当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解：原不等式变形为m2－m<，因为函数 y＝在(－∞，－1]上是减函数，所以≥＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立等价于m2－m<2，解得－1
1．指数函数的图象、性质在应用时，如果底数a的取值范围不确定，则要对其进行分类讨论．
2．比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同．如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用中间量．
3．作指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点，(0，1)，(1，a)．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．()设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则 x＋y的值为 (　　)
A．18 B．21 C．24 D．27
解：因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，因为9y＝32y＝3x－9，所以x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.故选D.
2．()已知函数f(x)＝4＋ 2ax－1(a＞0且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是 (　　)
A．(1，6) B．(1，5) C．(0，5) D．(5，0)
解：当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过点P(1，6)．故选A.
3．()已知a＝，b＝， c＝，则 (　　)
A．a C．c 解：因为y＝在R上为减函数，>，所以b，所以a>c，所以b 4．已知函数f(x)＝的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－3] B．[－3，0)
C．[－3，－1] D．{－3}
解：当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，当a≤x<0时，f(x)∈，所以是[－8，1]的子集，即－8≤－<－1，即－3≤a<0，所以实数a的取值范围是[－3，0)．故选B.
5．()已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0，4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为 (　　)

　　　　　A　　　　　　　 　　B

　　　　　C　　　　　　　 　　D
解：因为x∈(0，4)，所以x＋1>1，所以f(x)＝ x＋1＋－5≥6－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时，取等号．所以a＝2，b＝1.因此g(x)＝ 2|x＋1|，该函数图象由y＝2|x|向左平移一个单位得到，结合图象知A正确．故选A.
6．()函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是(　　)
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定
解：由f(x＋1)＝f(1－x)知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以b＝2，由f(0)＝3知，c＝3.所以f(bx)＝f(2x)，f(cx)＝f(3x)．当x>0时，3x>2x>1，结合函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，知f(3x)>f(2x)，即f(bx)f(2x)，即f(bx) 综上，f(bx)≤f(cx)．故选A.
7．()已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝________.

解：依题意，f(1)＝，所以a＝，所以f(x)＝ ，x>0.当x<0时，－x>0.所以g(x)＝－f(－x)＝ －＝－2x.故填－2x(x<0)．
8．()若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是________．

解：不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<.在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x－a与y＝的图象如图．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a<1，所以a>－1.故填(－1，＋∞)．
9．设a＞0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在 [－1，1]上的最大值是14，求a的值．
解：令t＝ax(a＞0且a≠1)，
则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t＞0)．
①当0＜a＜1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈，
此时f(t)在上为增函数．
所以f(t)max＝f＝－2＝14.
解得a＝.
②当a＞1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈，
此时f(t)在上为增函数．
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝或3.
10．已知f(x)＝x3(a>0，且a≠1)．
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．
解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3＝x3＝f(x)．
所以f(x)是偶函数．
(2)由(1)知f(x)为偶函数，
所以只需讨论x>0时的情况．
当x>0时，要使f(x)>0，即x3>0，
即＋>0，即>0，则ax>1.
又因为x>0，所以a>1.因此a>1时，f(x)>0.
故a的取值范围为(1，＋∞)．
11．()已知定义在R上的函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x<0时，f(x)＝0，此时f(x)＝无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·(2x)2－3·2x－2＝0，
看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，因为2x>0，所以x＝1.
(2)当t∈ [1，2]时，不等式为2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为t∈[1，2]，所以22t－1>0，
所以m≥－(22t＋1)．
而t∈[1，2]时，－(22t＋1)∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．
已知函数f(x)＝ 设a>b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________．
解：画出函数图象如图所示，

由图象可知要使a>b≥0，f(a)＝f(b)同时成立，则≤b<1，bf(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)＝b2＋b＝－，所以≤b·f(a)<2.故填.