高考数学(理数)一轮复习学案2．7《函数与方程》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案2．7《函数与方程》(含详解)，共22页。

2．7　函数与方程


1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使_______________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的____________．
(2)函数有零点的几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔
函数y＝f(x)的图象与x轴_______________⇔
函数y＝f(x) _______________．
由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与____________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．
2．函数的零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_______________，那么，函数y＝f(x)在区间_______________内有零点，即存在c∈_______________，使得_______________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)

自查自纠：
1．(1)f(x)＝0　实数根　交点的横坐标
(2)有交点　有零点　零点　函数y＝f(x)
2．f(a)·f(b)＜0　(a，b)　(a，b)　f(c)＝0


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()函数f(x)＝x－的零点个数为
(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：f(x)在其定义域上是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝，所以f(0)f(1)<0，所以f(x)有且只有一个零点．故选B.
下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
(　　)
A．y＝cosx B．y＝sinx
C．y＝lnx D．y＝x2＋1
解：y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.
下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)

　　　 A　　　　　　　　　 　B

　　　 C　　　　　　　 　　　D
解：能用二分法求零点的函数的图象必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A，B中不存在f(x)<0，D中函数不连续．故选C.
函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上仅存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
解：因为函数f(x)的图象为直线，由题意可得 f(－1)f(1)<0，所以(－3a＋1)(1－a)<0，解得 函数f(x)＝3x|log x|－1的零点个数为________．

解：由f(x)＝0，得|logx|＝，作出函数y＝ |logx|和y＝的图象，由图象知两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点．故填2.


类型一　判断函数零点所在区间
　(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是 (　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，4) D．(4，＋∞)
解：易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)．故选C.
(2)若a (　　)
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解：易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．故选A.

点　拨：
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：①利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．需要注意的是，满足条件的零点可能不惟一；不满足条件时也可能有零点．②数形结合法：通过画函数图象，观察图象在给定区间上是否有交点来判断．
　　
　(1)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为 (　　)
A. B.
C. D.
解：因为f(x)＝ex＋4x－3，所以f′(x)＝ex＋4>0.
所以f(x)在其定义域上是单调递增函数．
因为f＝e－－4<0，f(0)＝－2<0，
f＝e－2<0，f＝e－1>0，
所以f·f<0，所以f(x)的零点所在区间为.故选C.
(2)()设x0是方程＝的解，则x0所在的范围是(　　)
A. B.
C. D.
解：构造函数f(x)＝－，f(x)是[0，＋∞)上的减函数，因为f(0)＝－＝1>0，
f＝－>0，f＝－<0，所以由零点存在性定理可得函数f(x)在上存在零点，即x0∈.故选B.
类型二　零点个数的判断
　(1)函数 f(x)＝的零点个数为 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：由得x＝－3.由得x＝e2.所以f(x)的零点个数为2.故选C.
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是 (　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
解：由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图．

观察图象可以发现它们有4个交点，即函数 y＝f(x)－log3|x|有4个零点．故选B.

点　拨：
判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理结合函数的性质；③数形结合法，即转化为两个函数图象的交点个数．
　　
　(1)函数f(x)＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为 (　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
解：由f(x)＝xcosx2＝0，得x＝0或cosx2＝0.又x∈[0，4]，所以x2∈[0，16]．由于cos＝0(k∈Z)，而在＋kπ(k∈Z)的所有取值中，只有，，，，满足在[0，16]内，故零点个数为1＋5＝6.故选C.
(2)()已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2 018x＋log2 018x，则函数f(x)的零点个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4

解：作出函数y＝2 018x和y＝－log2 018x的图象如图所示，可知函数f(x)＝2 018x＋log2 018x在x∈(0，＋∞)上只有一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在x∈(－∞，0)上只有一个零点，又f(0)＝0，所以函数f(x)的零点个数是3.故选C.
类型三　已知零点情况求参数的取值范围
　(1)()已知函数f(x)＝ 其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解：f(x)的大致图象如图所示，

若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m20，所以m>3.故填(3，＋∞)．
(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．
解：设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，
在同一直角坐标系中作出y1，y2的图象如图所示．

由图可知方程f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于函数y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，
所以有两组不同解，
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，
所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，
解得a<1或a>9.
又由图象得a>0，所以09.故填(0，1)∪(9，＋∞)．

点　拨：
已知函数零点情况求参数取值范围的方法主要是数形结合，步骤为：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．
　　
　(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2)
解：因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)＜0，所以(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，所以0＜a＜3.故选C.
(2)()已知函数f(x)＝ F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(－∞，0] B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0，＋∞)
解：当x≤0时，F(x)＝ex－x－1，F′(x)＝ex－1≤0，F(x)单调递减且F(0)＝0，此时函数F(x)有且仅有1个零点为0.当x>0时，F(x)＝x[x＋(a－1)]，因为函数F(x)有2个零点，即当x>0时，有1个零点，所以1－a>0，所以a<1.故选C.

类型四　二分法求函数的零点
　已知自变量和函数值的对应值如下表：




x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
则方程2x＝x2的一个根位于区间(　　)
A．(0.6，1.0) B．(1.4，1.8)
C．(1.8，2.2) D．(2.6，3.0)
解：令f(x)＝2x，g(x)＝x2，因为f(1.8)＝3.482，g(1.8)＝3.24，f(2.2)＝4.595，g(2.2)＝4.84.令h(x)＝2x－x2，则h(1.8)>0，h(2.2)<0.故选C.

点　拨：
用二分法求函数f(x)满足给定的精确度的零点近似值的步骤如下：
第一步，确定初始区间[a0，b0]，验证f(a0)·f(b0)＜0，给定精确度ε；
第二步，求区间[a0，b0]的中点x0＝；
第三步，计算f(x0)：
①若f(x0)＝0，则x0就是函数的零点；
②若f(a0)·f(x0)＜0，则令a1＝a0，b1＝x0(此时零点∈[a1，b1])；
③若f(a0)·f(x0)＞0，则令a1＝x0，b1＝b0(此时零点∈[a1，b1])；
第四步，判断区间[a1，b1]是否达到精确度ε：即若|a1－b1|＜ε，则得到零点近似值a1(或b1)；否则重复第二到四步．
　　
　在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．
解：设至少需要计算n次，由题意知<0.001，即2n>100.由26＝64，27＝128，知n＝7.故填7.

1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．
2．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：
(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，有时还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．

1．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是 (　　)
A．0，2 B．0， C．0，－ D．2，－
解：由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.故选C.
2．设函数f(x)＝3x＋x，则函数f(x)存在零点的区间是 (　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(－1，0) D．(－2，－1)
解：函数f(x)为增函数，因为f(－1)＝3－1－1＝－，f(0)＝1＋0＝1，所以函数f(x)的零点所在的区间为(－1，0)．故选C.
3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为 (　　)
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
解：因为f(1)>0，f(2)<0，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又因为函数为二次函数，所以有且仅有一个零点．故选C.
4．设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是 (　　)
A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex－1
C．f(x)＝ln D．f(x)＝4x－1
解：选项A，x1＝1；选项B，x1＝0；选项C，x1＝或－；选项D，x1＝.因为g(1)＝4＋2－2>0，g＝2＋1－2>0，g＝＋－2<0，g(0)＝1－2<0，则x2∈.选项中，只有x1＝时，满足 |x1－x2|≤0.25.故选D.
5．()函数f(x)的定义域为[－1，1]，图象如图1所示；函数g(x)的定义域为 [－2，2]，图象如图2所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝
(　　)

A．14 B．12 C．10 D．8
解：由题图1可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1，由题图2可知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1，g(x)＝0时，x＝－或x＝0或x＝，g(x)＝1时，x＝2或x＝－2，故m＝7.若g(f(x))＝0，则f(x)＝－或f(x)＝或f(x)＝0，由题图1知，f(x)＝与f(x)＝－对应的x值各有2个，f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7.故m＋n＝14.故选A.
6．()已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是 (　　)
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)

解：函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数y＝f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.故选C.
7．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则g(x0)＝________.
解：f(x)是(0，＋∞)上的增函数，f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－>0，故x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.故填2.
8．设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
解：(1)若a＝1，则f(x)＝
作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.

(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2.当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.
综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．
故填－1；∪[2，＋∞)．
9．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．
解：显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，
0 又因为y＝x＋在(0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以y＝x＋在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，
所以1－m≥2，所以m≤－1，
故实数m的取值范围是(－∞，－1]．
10．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(1)＝－12－2×1＝－3，
所以g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即实数a的取值范围是.

11．()已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．
(1)若y＝g(x)－m有零点，求实数m的取值范围；
(2)确定实数m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解：(1)方法一：因为g(x)＝x＋≥2＝2e，当且仅当x＝e时等号成立，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，y＝g(x)－m就有零点．所以实数m的取值范围为[2e，＋∞)．
方法二：由g′(x)＝1－＝，可作出y＝g(x)的大致图象(如图1)．

可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.即实数m的取值范围是[2e，＋∞)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出y＝g(x)的大致图象(如图2)．
因为f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
如图所示，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．所以实数m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．

若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则＋的最小值为________．
解：设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B的横坐标分别为m，n(m>0，n>0)．因为y＝F(x)与y＝G(x)的图象关于直线y＝x对称，所以A，B两点关于直线y＝x对称．又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，所以m＋n＝4.又m>0，n>0，所以＋＝·＝ ≥(2＋2 )＝1，当且仅当＝，即m＝n＝2时等号成立．所以＋的最小值为1.故填1.






2．7　函数与方程


1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使_______________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的____________．
(2)函数有零点的几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔
函数y＝f(x)的图象与x轴_______________⇔
函数y＝f(x) _______________．
由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与____________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．
2．函数的零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_______________，那么，函数y＝f(x)在区间_______________内有零点，即存在c∈_______________，使得_______________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)

自查自纠：
1．(1)f(x)＝0　实数根　交点的横坐标
(2)有交点　有零点　零点　函数y＝f(x)
2．f(a)·f(b)＜0　(a，b)　(a，b)　f(c)＝0


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()函数f(x)＝x－的零点个数为
(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：f(x)在其定义域上是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝，所以f(0)f(1)<0，所以f(x)有且只有一个零点．故选B.
下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
(　　)
A．y＝cosx B．y＝sinx
C．y＝lnx D．y＝x2＋1
解：y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.
下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)

　　　 A　　　　　　　　　 　B

　　　 C　　　　　　　 　　　D
解：能用二分法求零点的函数的图象必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A，B中不存在f(x)<0，D中函数不连续．故选C.
函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上仅存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
解：因为函数f(x)的图象为直线，由题意可得 f(－1)f(1)<0，所以(－3a＋1)(1－a)<0，解得 函数f(x)＝3x|log x|－1的零点个数为________．

解：由f(x)＝0，得|logx|＝，作出函数y＝ |logx|和y＝的图象，由图象知两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点．故填2.


类型一　判断函数零点所在区间
　(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是 (　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，4) D．(4，＋∞)
解：易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)．故选C.
(2)若a (　　)
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解：易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．故选A.

点　拨：
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：①利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．需要注意的是，满足条件的零点可能不惟一；不满足条件时也可能有零点．②数形结合法：通过画函数图象，观察图象在给定区间上是否有交点来判断．
　　
　(1)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为 (　　)
A. B.
C. D.
解：因为f(x)＝ex＋4x－3，所以f′(x)＝ex＋4>0.
所以f(x)在其定义域上是单调递增函数．
因为f＝e－－4<0，f(0)＝－2<0，
f＝e－2<0，f＝e－1>0，
所以f·f<0，所以f(x)的零点所在区间为.故选C.
(2)()设x0是方程＝的解，则x0所在的范围是(　　)
A. B.
C. D.
解：构造函数f(x)＝－，f(x)是[0，＋∞)上的减函数，因为f(0)＝－＝1>0，
f＝－>0，f＝－<0，所以由零点存在性定理可得函数f(x)在上存在零点，即x0∈.故选B.
类型二　零点个数的判断
　(1)函数 f(x)＝的零点个数为 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：由得x＝－3.由得x＝e2.所以f(x)的零点个数为2.故选C.
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是 (　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
解：由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图．

观察图象可以发现它们有4个交点，即函数 y＝f(x)－log3|x|有4个零点．故选B.

点　拨：
判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理结合函数的性质；③数形结合法，即转化为两个函数图象的交点个数．
　　
　(1)函数f(x)＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为 (　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
解：由f(x)＝xcosx2＝0，得x＝0或cosx2＝0.又x∈[0，4]，所以x2∈[0，16]．由于cos＝0(k∈Z)，而在＋kπ(k∈Z)的所有取值中，只有，，，，满足在[0，16]内，故零点个数为1＋5＝6.故选C.
(2)()已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2 018x＋log2 018x，则函数f(x)的零点个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4

解：作出函数y＝2 018x和y＝－log2 018x的图象如图所示，可知函数f(x)＝2 018x＋log2 018x在x∈(0，＋∞)上只有一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在x∈(－∞，0)上只有一个零点，又f(0)＝0，所以函数f(x)的零点个数是3.故选C.
类型三　已知零点情况求参数的取值范围
　(1)()已知函数f(x)＝ 其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解：f(x)的大致图象如图所示，

若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m20，所以m>3.故填(3，＋∞)．
(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．
解：设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，
在同一直角坐标系中作出y1，y2的图象如图所示．

由图可知方程f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于函数y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，
所以有两组不同解，
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，
所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，
解得a<1或a>9.
又由图象得a>0，所以09.故填(0，1)∪(9，＋∞)．

点　拨：
已知函数零点情况求参数取值范围的方法主要是数形结合，步骤为：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．
　　
　(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2)
解：因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)＜0，所以(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，所以0＜a＜3.故选C.
(2)()已知函数f(x)＝ F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(－∞，0] B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0，＋∞)
解：当x≤0时，F(x)＝ex－x－1，F′(x)＝ex－1≤0，F(x)单调递减且F(0)＝0，此时函数F(x)有且仅有1个零点为0.当x>0时，F(x)＝x[x＋(a－1)]，因为函数F(x)有2个零点，即当x>0时，有1个零点，所以1－a>0，所以a<1.故选C.

类型四　二分法求函数的零点
　已知自变量和函数值的对应值如下表：




x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
则方程2x＝x2的一个根位于区间(　　)
A．(0.6，1.0) B．(1.4，1.8)
C．(1.8，2.2) D．(2.6，3.0)
解：令f(x)＝2x，g(x)＝x2，因为f(1.8)＝3.482，g(1.8)＝3.24，f(2.2)＝4.595，g(2.2)＝4.84.令h(x)＝2x－x2，则h(1.8)>0，h(2.2)<0.故选C.

点　拨：
用二分法求函数f(x)满足给定的精确度的零点近似值的步骤如下：
第一步，确定初始区间[a0，b0]，验证f(a0)·f(b0)＜0，给定精确度ε；
第二步，求区间[a0，b0]的中点x0＝；
第三步，计算f(x0)：
①若f(x0)＝0，则x0就是函数的零点；
②若f(a0)·f(x0)＜0，则令a1＝a0，b1＝x0(此时零点∈[a1，b1])；
③若f(a0)·f(x0)＞0，则令a1＝x0，b1＝b0(此时零点∈[a1，b1])；
第四步，判断区间[a1，b1]是否达到精确度ε：即若|a1－b1|＜ε，则得到零点近似值a1(或b1)；否则重复第二到四步．
　　
　在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．
解：设至少需要计算n次，由题意知<0.001，即2n>100.由26＝64，27＝128，知n＝7.故填7.

1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．
2．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：
(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，有时还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．

1．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是 (　　)
A．0，2 B．0， C．0，－ D．2，－
解：由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.故选C.
2．设函数f(x)＝3x＋x，则函数f(x)存在零点的区间是 (　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(－1，0) D．(－2，－1)
解：函数f(x)为增函数，因为f(－1)＝3－1－1＝－，f(0)＝1＋0＝1，所以函数f(x)的零点所在的区间为(－1，0)．故选C.
3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为 (　　)
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
解：因为f(1)>0，f(2)<0，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又因为函数为二次函数，所以有且仅有一个零点．故选C.
4．设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是 (　　)
A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex－1
C．f(x)＝ln D．f(x)＝4x－1
解：选项A，x1＝1；选项B，x1＝0；选项C，x1＝或－；选项D，x1＝.因为g(1)＝4＋2－2>0，g＝2＋1－2>0，g＝＋－2<0，g(0)＝1－2<0，则x2∈.选项中，只有x1＝时，满足 |x1－x2|≤0.25.故选D.
5．()函数f(x)的定义域为[－1，1]，图象如图1所示；函数g(x)的定义域为 [－2，2]，图象如图2所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝
(　　)

A．14 B．12 C．10 D．8
解：由题图1可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1，由题图2可知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1，g(x)＝0时，x＝－或x＝0或x＝，g(x)＝1时，x＝2或x＝－2，故m＝7.若g(f(x))＝0，则f(x)＝－或f(x)＝或f(x)＝0，由题图1知，f(x)＝与f(x)＝－对应的x值各有2个，f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7.故m＋n＝14.故选A.
6．()已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是 (　　)
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)

解：函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数y＝f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.故选C.
7．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则g(x0)＝________.
解：f(x)是(0，＋∞)上的增函数，f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－>0，故x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.故填2.
8．设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
解：(1)若a＝1，则f(x)＝
作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.

(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2.当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.
综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．
故填－1；∪[2，＋∞)．
9．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．
解：显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，
0 又因为y＝x＋在(0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以y＝x＋在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，
所以1－m≥2，所以m≤－1，
故实数m的取值范围是(－∞，－1]．
10．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(1)＝－12－2×1＝－3，
所以g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即实数a的取值范围是.

11．()已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．
(1)若y＝g(x)－m有零点，求实数m的取值范围；
(2)确定实数m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解：(1)方法一：因为g(x)＝x＋≥2＝2e，当且仅当x＝e时等号成立，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，y＝g(x)－m就有零点．所以实数m的取值范围为[2e，＋∞)．
方法二：由g′(x)＝1－＝，可作出y＝g(x)的大致图象(如图1)．

可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.即实数m的取值范围是[2e，＋∞)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出y＝g(x)的大致图象(如图2)．
因为f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
如图所示，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．所以实数m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．

若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则＋的最小值为________．
解：设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B的横坐标分别为m，n(m>0，n>0)．因为y＝F(x)与y＝G(x)的图象关于直线y＝x对称，所以A，B两点关于直线y＝x对称．又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，所以m＋n＝4.又m>0，n>0，所以＋＝·＝ ≥(2＋2 )＝1，当且仅当＝，即m＝n＝2时等号成立．所以＋的最小值为1.故填1.






2．7　函数与方程


1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使_______________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的____________．
(2)函数有零点的几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔
函数y＝f(x)的图象与x轴_______________⇔
函数y＝f(x) _______________．
由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与____________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．
2．函数的零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_______________，那么，函数y＝f(x)在区间_______________内有零点，即存在c∈_______________，使得_______________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)

自查自纠：
1．(1)f(x)＝0　实数根　交点的横坐标
(2)有交点　有零点　零点　函数y＝f(x)
2．f(a)·f(b)＜0　(a，b)　(a，b)　f(c)＝0


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()函数f(x)＝x－的零点个数为
(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：f(x)在其定义域上是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝，所以f(0)f(1)<0，所以f(x)有且只有一个零点．故选B.
下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
(　　)
A．y＝cosx B．y＝sinx
C．y＝lnx D．y＝x2＋1
解：y＝cosx是偶函数且有无数多个零点，y＝sinx为奇函数，y＝lnx既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.
下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)

　　　 A　　　　　　　　　 　B

　　　 C　　　　　　　 　　　D
解：能用二分法求零点的函数的图象必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A，B中不存在f(x)<0，D中函数不连续．故选C.
函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上仅存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
解：因为函数f(x)的图象为直线，由题意可得 f(－1)f(1)<0，所以(－3a＋1)(1－a)<0，解得 函数f(x)＝3x|log x|－1的零点个数为________．

解：由f(x)＝0，得|logx|＝，作出函数y＝ |logx|和y＝的图象，由图象知两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点．故填2.


类型一　判断函数零点所在区间
　(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是 (　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，4) D．(4，＋∞)
解：易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)．故选C.
(2)若a (　　)
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
解：易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．故选A.

点　拨：
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：①利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．需要注意的是，满足条件的零点可能不惟一；不满足条件时也可能有零点．②数形结合法：通过画函数图象，观察图象在给定区间上是否有交点来判断．
　　
　(1)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为 (　　)
A. B.
C. D.
解：因为f(x)＝ex＋4x－3，所以f′(x)＝ex＋4>0.
所以f(x)在其定义域上是单调递增函数．
因为f＝e－－4<0，f(0)＝－2<0，
f＝e－2<0，f＝e－1>0，
所以f·f<0，所以f(x)的零点所在区间为.故选C.
(2)()设x0是方程＝的解，则x0所在的范围是(　　)
A. B.
C. D.
解：构造函数f(x)＝－，f(x)是[0，＋∞)上的减函数，因为f(0)＝－＝1>0，
f＝－>0，f＝－<0，所以由零点存在性定理可得函数f(x)在上存在零点，即x0∈.故选B.
类型二　零点个数的判断
　(1)函数 f(x)＝的零点个数为 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解：由得x＝－3.由得x＝e2.所以f(x)的零点个数为2.故选C.
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是 (　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
解：由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如图．

观察图象可以发现它们有4个交点，即函数 y＝f(x)－log3|x|有4个零点．故选B.

点　拨：
判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理结合函数的性质；③数形结合法，即转化为两个函数图象的交点个数．
　　
　(1)函数f(x)＝xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为 (　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
解：由f(x)＝xcosx2＝0，得x＝0或cosx2＝0.又x∈[0，4]，所以x2∈[0，16]．由于cos＝0(k∈Z)，而在＋kπ(k∈Z)的所有取值中，只有，，，，满足在[0，16]内，故零点个数为1＋5＝6.故选C.
(2)()已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2 018x＋log2 018x，则函数f(x)的零点个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4

解：作出函数y＝2 018x和y＝－log2 018x的图象如图所示，可知函数f(x)＝2 018x＋log2 018x在x∈(0，＋∞)上只有一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在x∈(－∞，0)上只有一个零点，又f(0)＝0，所以函数f(x)的零点个数是3.故选C.
类型三　已知零点情况求参数的取值范围
　(1)()已知函数f(x)＝ 其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
解：f(x)的大致图象如图所示，

若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m20，所以m>3.故填(3，＋∞)．
(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．
解：设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，
在同一直角坐标系中作出y1，y2的图象如图所示．

由图可知方程f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于函数y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，
所以有两组不同解，
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，
所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，
解得a<1或a>9.
又由图象得a>0，所以09.故填(0，1)∪(9，＋∞)．

点　拨：
已知函数零点情况求参数取值范围的方法主要是数形结合，步骤为：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．
　　
　(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2)
解：因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)＜0，所以(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，所以0＜a＜3.故选C.
(2)()已知函数f(x)＝ F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(－∞，0] B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0，＋∞)
解：当x≤0时，F(x)＝ex－x－1，F′(x)＝ex－1≤0，F(x)单调递减且F(0)＝0，此时函数F(x)有且仅有1个零点为0.当x>0时，F(x)＝x[x＋(a－1)]，因为函数F(x)有2个零点，即当x>0时，有1个零点，所以1－a>0，所以a<1.故选C.

类型四　二分法求函数的零点
　已知自变量和函数值的对应值如下表：




x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
则方程2x＝x2的一个根位于区间(　　)
A．(0.6，1.0) B．(1.4，1.8)
C．(1.8，2.2) D．(2.6，3.0)
解：令f(x)＝2x，g(x)＝x2，因为f(1.8)＝3.482，g(1.8)＝3.24，f(2.2)＝4.595，g(2.2)＝4.84.令h(x)＝2x－x2，则h(1.8)>0，h(2.2)<0.故选C.

点　拨：
用二分法求函数f(x)满足给定的精确度的零点近似值的步骤如下：
第一步，确定初始区间[a0，b0]，验证f(a0)·f(b0)＜0，给定精确度ε；
第二步，求区间[a0，b0]的中点x0＝；
第三步，计算f(x0)：
①若f(x0)＝0，则x0就是函数的零点；
②若f(a0)·f(x0)＜0，则令a1＝a0，b1＝x0(此时零点∈[a1，b1])；
③若f(a0)·f(x0)＞0，则令a1＝x0，b1＝b0(此时零点∈[a1，b1])；
第四步，判断区间[a1，b1]是否达到精确度ε：即若|a1－b1|＜ε，则得到零点近似值a1(或b1)；否则重复第二到四步．
　　
　在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．
解：设至少需要计算n次，由题意知<0.001，即2n>100.由26＝64，27＝128，知n＝7.故填7.

1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．
2．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：
(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，有时还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．

1．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是 (　　)
A．0，2 B．0， C．0，－ D．2，－
解：由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.故选C.
2．设函数f(x)＝3x＋x，则函数f(x)存在零点的区间是 (　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(－1，0) D．(－2，－1)
解：函数f(x)为增函数，因为f(－1)＝3－1－1＝－，f(0)＝1＋0＝1，所以函数f(x)的零点所在的区间为(－1，0)．故选C.
3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为 (　　)
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
解：因为f(1)>0，f(2)<0，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又因为函数为二次函数，所以有且仅有一个零点．故选C.
4．设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是 (　　)
A．f(x)＝(x－1)2 B．f(x)＝ex－1
C．f(x)＝ln D．f(x)＝4x－1
解：选项A，x1＝1；选项B，x1＝0；选项C，x1＝或－；选项D，x1＝.因为g(1)＝4＋2－2>0，g＝2＋1－2>0，g＝＋－2<0，g(0)＝1－2<0，则x2∈.选项中，只有x1＝时，满足 |x1－x2|≤0.25.故选D.
5．()函数f(x)的定义域为[－1，1]，图象如图1所示；函数g(x)的定义域为 [－2，2]，图象如图2所示，方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＋n＝
(　　)

A．14 B．12 C．10 D．8
解：由题图1可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1，由题图2可知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1，g(x)＝0时，x＝－或x＝0或x＝，g(x)＝1时，x＝2或x＝－2，故m＝7.若g(f(x))＝0，则f(x)＝－或f(x)＝或f(x)＝0，由题图1知，f(x)＝与f(x)＝－对应的x值各有2个，f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7.故m＋n＝14.故选A.
6．()已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是 (　　)
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)

解：函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数y＝f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.故选C.
7．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－的零点，则g(x0)＝________.
解：f(x)是(0，＋∞)上的增函数，f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－>0，故x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.故填2.
8．设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
解：(1)若a＝1，则f(x)＝
作出函数y＝f(x)的图象，如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.

(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2.当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.
综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．
故填－1；∪[2，＋∞)．
9．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．
解：显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，
0 又因为y＝x＋在(0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以y＝x＋在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，
所以1－m≥2，所以m≤－1，
故实数m的取值范围是(－∞，－1]．
10．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g(f(1))的值；
(2)若方程g(f(x))－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(1)＝－12－2×1＝－3，
所以g(f(1))＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即实数a的取值范围是.

11．()已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．
(1)若y＝g(x)－m有零点，求实数m的取值范围；
(2)确定实数m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
解：(1)方法一：因为g(x)＝x＋≥2＝2e，当且仅当x＝e时等号成立，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，y＝g(x)－m就有零点．所以实数m的取值范围为[2e，＋∞)．
方法二：由g′(x)＝1－＝，可作出y＝g(x)的大致图象(如图1)．

可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.即实数m的取值范围是[2e，＋∞)．
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出y＝g(x)的大致图象(如图2)．
因为f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
如图所示，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．所以实数m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．

若a>1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，函数g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则＋的最小值为________．
解：设F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B的横坐标分别为m，n(m>0，n>0)．因为y＝F(x)与y＝G(x)的图象关于直线y＝x对称，所以A，B两点关于直线y＝x对称．又因为y＝x和h(x)＝4－x交点的横坐标为2，所以m＋n＝4.又m>0，n>0，所以＋＝·＝ ≥(2＋2 )＝1，当且仅当＝，即m＝n＝2时等号成立．所以＋的最小值为1.故填1.