高考数学(理数)一轮复习学案5．4《平面向量的应用》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案5．4《平面向量的应用》(含详解)，共10页。


1．用向量方法解决几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量的符号形式及图形形式的重要结论
(1)向量的和与差的模：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝___________________________________________，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝________________________．
(2)①G为△ABC重心的一个充要条件：___________________________________________；
②O为△ABC外心的一个充要条件：___________________________________________；
③P为△ABC垂心的一个充要条件：___________________________________________．
(3)不同的三点A，B，C共线⇔存在α，β∈R，使得eq \(OA,\s\up6(→))＝αeq \(OB,\s\up6(→))＋βeq \(OC,\s\up6(→))，O为平面任意一点，且____________．
3．向量坐标形式的几个重要结论
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，θ为a与b的夹角．
(1)长度或模
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝____________；eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝_______________．
(2)夹角
csθ＝____________＝__________________．
(3)位置关系
a∥b⇔____________(b≠0且λ∈R)⇔____________．
a⊥b⇔____________⇔____________．
自查自纠：
2．(1)eq \r(a2＋2a·b＋b2) eq \r(a2－2a·b＋b2)
(2)①eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0 ②eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OC,\s\up6(→))))
③eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→)) (3)α＋β＝1
3．(1)eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)) eq \r(（x4－x3）2＋（y4－y3）2)
(2)eq \f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))) eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))
(3)a＝λb x1y2－x2y1＝0 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0

设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有 ( )
A．a⊥b B．a∥b
C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|
解：f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b．
依题意知f(x)的图象是一条直线，
所以a·b＝0，即a⊥b．故选A．
(eq \a\vs4\al(2018广东惠州高三4月模拟))在△ABC中， AB＝2AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝ ( )
A．3 B．2 C．eq \f(7,3) D．eq \f(2,3)
解：因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)－eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)．故选D．
(eq \a\vs4\al(2018·东莞高三二模))已知四边形ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，点E是线段AC上一点， eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝－eq \f(4,5)，则实数λ的取值为( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(2,5) C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,5)
解：由平面向量的平行四边形法则，得eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))－eq \(AB,\s\up6(→))＝ (λ－1)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AD,\s\up6(→))，因为eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝－eq \f(4,5)，所以λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·[(λ－1)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AD,\s\up6(→))]＝－eq \f(4,5)，即λ[4(λ－1)＋λ]＝ －eq \f(4,5)，解得λ＝eq \f(2,5)．
另解：建立适当的平面直角坐标系，用向量的坐标运算求解．故选B．
已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝________．
解：由物理知识知：f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2)．故填(1，2)．
(eq \a\vs4\al(2017·北京))已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))的最大值为________．
解：设eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(AP,\s\up6(→))夹角为α，则eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝|eq \(AO,\s\up6(→))|·|eq \(AP,\s\up6(→))|csα≤|eq \(AO,\s\up6(→))|·|eq \(AP,\s\up6(→))|≤2(1＋2)＝6，所以最大值是6．故填6．
类型一 向量与平面几何
(1)eq \a\vs4\al(（2017·驻马店质检))若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状为 ( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解：因为(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))·(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→)))＝0，即eq \(CB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，因为eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，所以(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，即|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，所以△ABC是等腰三角形．故选C．
(2)(eq \a\vs4\al(2018·河南安阳高三二模))已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2eq \r(3)，动点P位于线段AB上，则当eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PO,\s\up6(→))取最小值时，向量eq \(PA,\s\up6(→))与eq \(PO,\s\up6(→))的夹角的余弦值为________．
解法一：如图，因为OA＝OB＝2，AB＝2eq \r(3)，所以∠A＝eq \f(π,6)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PO,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→)))
＝eq \(PA,\s\up6(→))2＋eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＝|eq \(PA,\s\up6(→))|2＋|eq \(PA,\s\up6(→))|·|eq \(AO,\s\up6(→))|cseq \f(5π,6)
＝|eq \(PA,\s\up6(→))|2－eq \r(3)|eq \(PA,\s\up6(→))|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|\(PA,\s\up6(→))|－\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2)－eq \f(3,4)≥－eq \f(3,4)，
当且仅当|eq \(PA,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)时取等号，
此时|eq \(OP,\s\up6(→))|＝eq \r(|\(OA,\s\up6(→))|2＋|\(AP,\s\up6(→))|2－2|\(OA,\s\up6(→))||\(AP,\s\up6(→))|csA )＝eq \r(4＋\f(3,4)－2×2×\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(7),2)．
所以向量eq \(PA,\s\up6(→))与eq \(PO,\s\up6(→))的夹角的余弦值为eq \f(\(PA,\s\up6(→))·\(PO,\s\up6(→)),|\(PA,\s\up6(→))||\(PO,\s\up6(→))|)＝eq \f(－\f(3,4),\f(\r(3),2)×\f(\r(7),2))＝－eq \f(\r(21),7)．
解法二：由已知∠AOB＝eq \f(2π,3)，以O为原点，OB为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则B(2，0)，A(－1，eq \r(3))，
令P(x，y)，eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，则(x－2，y)＝λ(－3，eq \r(3))，
所以x＝－3λ＋2，y＝eq \r(3)λ，即P(－3λ＋2，eq \r(3)λ)．则eq \(PA,\s\up6(→))＝(3λ－3，eq \r(3)－eq \r(3)λ)，eq \(PO,\s\up6(→))＝(3λ－2，－eq \r(3)λ)，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PO,\s\up6(→))＝(3λ－3)·(3λ－2)＋(eq \r(3)－eq \r(3)λ)(－eq \r(3)λ)＝12λ2－18λ＋6．
因为0≤λ≤1，所以当λ＝eq \f(3,4)时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PO,\s\up6(→))取最小值，此时eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，\f(\r(3),4)))，eq \(PO,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－\f(3\r(3),4)))，eq \(PA,\s\up6(→))与eq \(PO,\s\up6(→))夹角的余弦值为eq \f(\(PA,\s\up6(→))·\(PO,\s\up6(→)),|\(PA,\s\up6(→))||\(PO,\s\up6(→))|)＝eq \f(－\f(3,4),\f(\r(3),2)×\f(\r(7),2))＝－eq \f(\r(21),7)．故填－eq \f(\r(21),7)．
点 拨：
向量与平面几何的综合问题，往往要数形结合，借助平面几何的知识解题．根据数量积求模或参数的值(范围)问题的一般方法：①基底法，②坐标法．

(1)若O为空间中一定点，动点P在A，B，C三点确定的平面内且满足(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，则点P的轨迹一定过△ABC的 ( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解：由已知得eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0，所以AP⊥CB，所以点P的轨迹一定过△ABC的垂心．故选D．
(2)(eq \a\vs4\al(2018·安徽马鞍山高三质监二))如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝ ( )
A．eq \f(1,2) B．－eq \f(3,2)
C．eq \f(3,2) D．－eq \f(1,2)
解：菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝2×2×cs60°＝2，又因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))，所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up6(→))))·eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×4＋\f(1,2)×2－4))＝－eq \f(1,2)．
另解：连接AC，BD交于O，易知AC⊥BD，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→)))·eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝1×1× cs120°＝－eq \f(1,2)．故选D．
类型二 向量与函数、三角函数
(1) 已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(1,2)|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．
解：由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cs〈a，b〉>0，即－1≤cs〈a，b〉(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|A．eq \f(π,6) B．eq \f(\r(7),12)π C．eq \f(\r(7),6)π D．eq \f(\r(7),3)π
解：由题意知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，A))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)π，－A))，又eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(π,12)×eq \f(7,12)π－A2＝0，所以A＝eq \f(\r(7),12)π．故选B．
(3)已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，csθ)，－eq \f(π,2)＜θ＜eq \f(π,2)．
(Ⅰ)若a⊥b，求θ；
(Ⅱ)求|a＋b|的最大值．
解：(Ⅰ)若a⊥b，则sinθ＋csθ＝0，
因为－eq \f(π,2)＜θ＜eq \f(π,2)，所以tanθ＝－1，所以θ＝－eq \f(π,4)．
(Ⅱ)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，csθ)，
得a＋b＝(sinθ＋1，1＋csθ)．
所以|a＋b|＝eq \r(（sinθ＋1）2＋（1＋csθ）2)
＝eq \r(3＋2（sinθ＋csθ）)
＝eq \r(3＋2\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))))．
当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝1时，|a＋b|取得最大值eq \r(3＋2\r(2))＝eq \r(（\r(2)＋1）2)＝eq \r(2)＋1．
即当θ＝eq \f(π,4)时，|a＋b|的最大值为eq \r(2)＋1．
点 拨：
向量与函数、三角函数的综合题，多通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理及数量积等来直接考查函数的基本概念，函数、三角函数的图象与性质，三角变换等内容．此类题目中，向量往往是条件的载体，题目考查的重点仍是函数、三角函数，熟练掌握向量的概念和基本运算是解决问题的前提．

(1)(eq \a\vs4\al(2017·湖北宜昌联考))在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，eq \(CO,\s\up6(→))＝xeq \(CA,\s\up6(→))＋yeq \(CB,\s\up6(→))，且x＋y＝1．若函数f(m)＝|eq \(CA,\s\up6(→))－meq \(CB,\s\up6(→))|(m∈R)的最小值为eq \f(\r(3),2)，则|eq \(CO,\s\up6(→))|的最小值为________．
解：由eq \(CO,\s\up6(→))＝xeq \(CA,\s\up6(→))＋yeq \(CB,\s\up6(→))，且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以|eq \(CO,\s\up6(→))|的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，且函数f(m)＝|eq \(CA,\s\up6(→))－meq \(CB,\s\up6(→))|的最小值为eq \f(\r(3),2)，即点A到BC边的距离为eq \f(\r(3),2)．又AC＝1，所以∠ACB＝120°，从而可得|eq \(CO,\s\up6(→))|的最小值为eq \f(1,2)．故填eq \f(1,2)．
(2)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．
解：由图象可知，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，N(xN，－1)，所以eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))·(xN，－1)＝eq \f(1,2)xN－1＝0，解得 xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))＝3．故填3．
(3)已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)sin\f(x,4)，1))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(x,4)，cs2\f(x,4)))．若m·n＝1，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))＝________．
解：m·n＝eq \r(3)sineq \f(x,4)cseq \f(x,4)＋cs2eq \f(x,4)
＝eq \f(\r(3),2)sineq \f(x,2)＋eq \f(1＋cs\f(x,2),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，
因为m·n＝1，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)．
因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－x))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)．故填－eq \f(1,2)．
类型三 向量与解析几何
已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，则a的值为 ( )
A．±1 B．±eq \r(2) C．±eq \r(3) D．±2
解：因为A，B，C均为圆x2＋y2＝2上的点，
故|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
因为eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，所以(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))2＝eq \(OC,\s\up6(→))2，
即eq \(OA,\s\up6(→))2＋2eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))2＝eq \(OC,\s\up6(→))2，
即4＋4cs∠AOB＝2，故∠AOB＝120°．
则圆心O到直线AB的距离d＝eq \r(2)·cs60°＝eq \f(\r(2),2)＝eq \f(|a|,\r(2))，则|a|＝1，即a＝±1．故选A．
点 拨：
向量在解析几何中的“两个”作用：①载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题；②工具作用，利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题常常是比较优越的方法．

(eq \a\vs4\al(2017·江苏))在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
解：设P(x，y)，由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))≤20，易得2x－y＋5≤0．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＋5＝0，,x2＋y2＝50，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝－5)) 或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝7．)) 令M(－5，－5)，N(1，7)，由2x－y＋5≤0得P点在圆左边弧eq \(MN,\s\up8(︵))上，结合限制条件－5eq \r(2)≤ x≤5eq \r(2)，可得点P横坐标的取值范围为[－5eq \r(2)，1]．故填[－5eq \r(2)，1]．
类型四 向量在物理中的简单应用
在长江南岸渡口处，江水以eq \f(25,2) km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h．渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．
解：如图所示，渡船速度为eq \(OB,\s\up6(→))，水流速度为eq \(OA,\s\up6(→))，
船实际垂直过江的速度为eq \(OD,\s\up6(→))，
依题意知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝eq \f(25,2)，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝25．
因为eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))，
所以在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，从而∠BOD＝30°，即航向为北偏西30°．故填北偏西30°．
点 拨：
在使用向量解决物理问题的一般步骤：①认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系；②通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；④利用这个结果，对原物理现象作出合理解释．

一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为____________．
解：F1＋F2＝－F3，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F3))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1＋F2))eq \s\up12(2)＝4＋16＋2×2×4×eq \f(1,2)＝28，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1＋F2))＝2eq \r(7)．故填2eq \r(7)．
1．充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，重视向量的工具作用．
2．利用向量解题的基本思路有两种，一是几何法，利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法，建立适当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题．
3．向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本知识求解，其中涉及到的有关向量的知识有：①向量的坐标表示及加、减法，数乘运算；②向量的数量积；③向量平行、垂直的充要条件；④向量的模、夹角等．
4．注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题．如向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形“四心”的向量结论等．
5．应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结论，选择使用向量的性质解决相应的问题．如用数量积解决垂直、夹角问题；用三角形法则、向量长度的计算公式解决平面几何中线段的长度问题；用向量共线解决三点共线问题；用向量的线性运算解决力、速度的问题等．如果题设条件中有向量，则可以联想向量的有关概念和性质直接使用；如果没有向量，则需要有向量的工具意识和应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题．

1．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2－6，则点P的轨迹是 ( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解：因为eq \(PA,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(3－x， －y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D．
2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝ ( )
A．300 J B．100eq \r(2) J
C．200eq \r(2) J D．3000eq \r(2) J
解：W＝F·s＝|F||s|cs〈F，s〉＝6×100× cs60°＝300(J)．故选A．
3．已知O是坐标原点，点A(－2，1)，若点M(x，y)为平面区域eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))内的一个动点，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))的取值范围是 ( )
A．[－1，0] B．[－1，2]
C．[0，1] D．[0，2]
解：eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))＝－2x＋y，画出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))表示的平面区域如图所示．
平移直线y＝2x易知，当点M的坐标为(1，1)时，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))取最小值－1，当点M的坐标为(0，2)时，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))取最大值2．故选B．
4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))＝ ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解：取AD的中点O，连接MO，易知AD＝1，MO＝eq \f(3,2)，所以eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MD,\s\up6(→))＝(eq \(MO,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→)))(eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))＝ eq \(MO,\s\up6(→))2－eq \(OD,\s\up6(→))2＝2．故选B．
5．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足eq \(AB,\s\up6(→))＝2a，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，则下列结论正确的是 ( )
A．|b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥eq \(BC,\s\up6(→))
解：因为eq \(AB,\s\up6(→))＝2a，eq \(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，所以a＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，b＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))．因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以|b|＝2；a·b＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－1，故a，b不垂直；4a＋b＝2eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，故(4a＋b)·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－2＋2＝0，所以(4a＋b)⊥eq \(BC,\s\up6(→))．故选D．
6．已知函数f(x)＝eq \r(3)sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，则函数 f(x＋1)是 ( )
A．周期为4的奇函数
B．周期为4的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
解：由题图可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2ω)，\r(3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2ω)，－\r(3)))，由eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0得eq \f(3π2,4ω2)－3＝0，又ω>0，所以ω＝eq \f(π,2)，所以f(x)＝eq \r(3)sineq \f(π,2)x，
所以f(x＋1)＝eq \r(3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)（x＋1）))＝eq \r(3)cseq \f(π,2)x，它是周期为4的偶函数．故选B．
7．过点P(1，eq \r(3))作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝________．
解：在平面直角坐标系xOy中作出圆x2＋y2＝1及其切线PA，PB，如图所示．连接OA，OP，由图可知|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，|eq \(PA,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(3)， ∠APO＝∠BPO＝eq \f(π,6)，则eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,3)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝|eq \(PA,\s\up6(→))||eq \(PB,\s\up6(→))|cseq \f(π,3)＝eq \r(3)×eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)．故填eq \f(3,2)．
8．(eq \a\vs4\al(2018·上海))在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，E、F是y轴上的两个动点，且|eq \(EF,\s\up6(→))|＝2，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))的最小值为________．
解：设E(0，m)．依题意，①当F(0，m＋2)时，eq \(AE,\s\up6(→))＝(1，m)，eq \(BF,\s\up6(→))＝(－2，m＋2)，eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))＝m2＋2m－2＝(m＋1)2－3，最小值为－3；②当F(0，m－2)时，最小值仍为－3．故填－3．
9．已知平面向量a＝(4，5csα)，b＝(3，－4tanα)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，a⊥b，求：
(1)|a＋b|；
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值．
解：(1)因为a⊥b，所以a·b＝4×3＋5csα× (－4tanα)＝0，解得sinα＝eq \f(3,5)．又因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以csα＝eq \f(4,5)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(3,4)，
所以a＝(4，4)，b＝(3，－3)，所以a＋b＝(7，1)，
因此|a＋b|＝eq \r(72＋12)＝5eq \r(2)．
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝csαcseq \f(π,4)－sinαsineq \f(π,4)
＝eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),10)．
10．已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其所对边长，向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)sin\f(A,2)，cs2\f(A,2)))，n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(A,2)，－2))，m⊥n．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，csB＝eq \f(\r(3),3)，求b的长．
解：(1)已知m⊥n，所以m·n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)sin\f(A,2)，cs2\f(A,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(A,2)，－2))＝eq \r(3)sinA－(csA＋1)＝0，
即eq \r(3)sinA－csA＝1，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)．
因为0所以A－eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，所以A＝eq \f(π,3)．
(2)在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，a＝2，csB＝eq \f(\r(3),3)，
sinB＝eq \r(1－cs2B)＝eq \r(1－\f(1,3))＝eq \f(\r(6),3)．
由正弦定理知eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，
所以b＝a·eq \f(sinB,sinA)＝eq \f(2×\f(\r(6),3),\f(\r(3),2))＝eq \f(4\r(2),3)．
11．△ABC的外接圆圆心为O，半径为2， eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，求eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))方向上的投影．
解：如图，由题意可设D为BC的中点，由 eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0，得eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))＝0，即eq \(AO,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，所以A，O，D共线且|eq \(AO,\s\up6(→))|＝2|eq \(AD,\s\up6(→))|，又O为△ABC的外心，所以AO为BC的中垂线，所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝ |eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(OA,\s\up6(→))|＝2，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1，所以|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(3)，所以eq \(CA,\s\up6(→))在eq \(CB,\s\up6(→))方向上的投影为eq \r(3)．
(eq \a\vs4\al(河北衡水武邑中学2018届高三下学期六模))已知F为抛物线M：y2＝4x的焦点， A，B，C为抛物线M上三点，当eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0时，称△ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 ( )
A．0个 B．1个
C．3个 D．无数个
解：抛物线方程为y2＝4x，A，B，C为曲线M上三点，
当eq \(FA,\s\up6(→))＋eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝0时，F为△ABC的重心，
用如下办法构造△ABC，
连接AF并延长至D，使FD＝eq \f(1,2)AF，
当D在抛物线内部时，
设D(x0，y0)，若存在以D为中点的弦BC，
设B(m1，n1)，C(m2，n2)，
则m1＋m2＝2x0，n1＋n2＝2y0，eq \f(n1－n2,m1－m2)＝kBC，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(neq \\al(2,1)＝4m1，,neq \\al(2,2)＝4m2，))两式相减化为(n1＋n2)·eq \f(n1－n2,m1－m2)＝4，
kBC＝eq \f(n1－n2,m1－m2)＝eq \f(2,y0)，
所以总存在以D为中点的弦BC，
所以这样的三角形有无数个．故选D．