高考数学(理数)一轮复习学案6．1《数列的概念与简单表示法》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案6．1《数列的概念与简单表示法》(含详解)，共9页。

6．1　数列的概念与简单表示法



1．数列的概念
(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做________)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成________________，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}．
(2)通项公式：如果数列{an}的________与序号________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．
(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项______________与它的前一项______________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
(5)数列的表示方法有________、________、________、________．
2．数列的分类
(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为________、________．
(2)按项的增减规律分为________、________、________和________．递增数列⇔an＋1________an；递减数列⇔an＋1________an；常数列⇔ an＋1________an．递增数列与递减数列统称为．
3．数列前n项和Sn与an的关系
已知Sn，则an＝
4．常见数列的通项
(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝____________．
(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝____________．
(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝____________．
(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝____________．
(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝________________________________________．
(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝________________________________________．
(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝________________________________________．
(8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝________________________________________．
注：据此，很易获得数列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为(10n－1)，(10n－1)，…，(10n－1)．

自查自纠：
1．(1)项　首项　a1，a2，a3，…，an，…
(2)第n项　n　(3)函数值　(4)an　an－1
(5)通项公式法(解析式法)　列表法　图象法　递推公式法
2．(1)有穷数列　无穷数列　(2)递增数列　递减数列
摆动数列　常数列　＞　＜　＝　单调数列
3．S1　Sn－Sn－1
4．(1)n　(2)2n　(3)2n＋1　(4)2n　(5)(－1)n
(6)　(7)
(8)10n－1


　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　
数列0，－，，－，…的一个通项公式是an＝ (　　)
A．(－1)n＋1· B．(－1)n·
C．(－1)n－1· D．(－1)n·
解：奇数项符号为正，偶数项符号为负，故用 (－1)n－1或(－1)n＋1调节，变为，观察发现各项分子是立方数减1，分母是平方数加1，故得 an＝(－1)n＋1·．故选A．
()若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－1，则a1＋a3＝ (　　)
A．10 B．11 C．17 D．18
解：a1＝S1＝2－1＝1，a3＝S3－S2＝2×32－2×22＝10，所以a1＋a3＝11．故选B．
在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋ (n≥2)，则a5＝ (　　)
A． B． C． D．
解：a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋ ＝3，a5＝1＋＝．故选D．
已知Sn是数列{an}的前n项和，且 log3(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为an＝________．
解：由log3(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＝3n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝8；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2·3n，
所以数列{an}的通项公式为an＝
故填
已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝，且an＋1＝(n∈N*)，则6S100＝________．
解：由数列的递推公式可得：
a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝－2，a5＝＝＝a1，知数列{an}是周期为4的周期数列，则6S100＝6×25×＝425．故填425．


类型一　数列的通项公式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式．
(1)－1，7，－13，19，…
(2)，，，，，…
(3)，2，，8，，…
(4)5，55，555，5 555，…
(5)－1，，－，，－，，…
解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为an＝．
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，故数列的一个通项公式为an＝．
(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．
(5) 奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·．
也可写为an＝

点　 拨：
给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：
①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等．
②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．
③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号 (－1)n或(－1)n＋1来适配．
④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
⑤注意通项公式的形式不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝或an＝，甚至分段形式an＝等．

　写出下列数列的一个通项公式．
(1)－1，，－，，－，…
(2)3，5，9，17，33，…
(3)0．8，0．88，0．888，…
(4)，－1，，－，，…
(5)1，0，，0，，0，，0，…
解：(1)an＝(－1)n·；
(2)an＝2n＋1；
(3)将数列变形为(1－0．1)，(1－0．01)， (1－0．001)，…，所以an＝．
(4)由于－1＝－，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即 {n2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n＋1}，故an＝(－1)n＋1·．
(5)把数列改写成，，，，，，，，…，分母依次为1，2，3，…，而分子1，0，1，0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为an＝．
类型二　由前n项和公式求通项公式
　(1)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝________．
解：当n＝1时，a1＝S1＝1－10＝－9；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11．
当n＝1时，2×1－11＝－9＝a1．所以an＝2n－11．
故填2n－11．
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝．
解：当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1．
综上有 an＝故填
(3)已知数列{an}的首项a1＝2，其前n项和为Sn．若Sn＋1＝2Sn＋1，则an＝________．
解：由Sn＋1＝2Sn＋1，有Sn＝2Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减得an＋1＝2an，
又S2＝a1＋a2＝2a1＋1，a2＝3，
所以数列{an}从第二项开始成等比数列，
所以an＝故填

点　拨：
任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an＝ 若a1适合Sn－Sn－1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S0是否为0来判断：若S0＝0，则a1适合Sn－Sn－1，否则不符合，这在解小题时比较有用．
　　
　(1)已知下列数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an．
(Ⅰ)Sn＝2n2－3n；
(Ⅱ)Sn＝3n＋b．
解：(Ⅰ)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
a1也适合此等式，所以an＝4n－5．
(Ⅱ)a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1．
当b＝－1时，a1适合此等式．
当b≠－1时，a1不适合此等式．
所以当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则an＝________．
解：因为an＋1＝SnSn＋1，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以＝－＝1，即－＝－1，又a1＝－1，即＝＝－1，所以数列是首项和公差均为－1的等差数列， 所以＝－1－1×(n－1)＝－n，所以Sn＝－．an＝Sn－Sn－1＝(n≥2)．故填

类型三　由递推公式求通项公式
　写出下面各数列{an}的通项公式．
(1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1；
(2)a1＝1，an＋1＝an；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2；
(4)a1＝2，an＋1＝．
解：(1)由题意得，当n≥2时，an－an－1＝n，
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋
＝＋1．
又a1＝2＝＋1，适合上式，
因此an＝＋1．
(2)由题设知an≠0，则＝，
×××…×＝×××…×，
＝，
又a1＝1，则an＋1＝，故 an＝．
(3)方法一：(累乘法)
an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3，
所以＝3，＝3，＝3，…，＝3．
将这些等式两边分别相乘得＝3n．
因为a1＝1，所以＝3n，
即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，
所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，
又a1＝1也适合上式，
故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1．
方法二：(迭代法)
an＋1＝3an＋2，
即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)
＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，
所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，
又a1＝1也满足上式，
故数列{an}的一个通项公式为an＝2×3n－1－1．
(4)an＋1＝，易知an≠0，两边取倒数得＝3＋，即－＝3，＝，所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，所以＝3n－，所以an＝．

点　 拨：
已知数列的递推关系求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，一般用累加法求通项；当出现＝f(n)时，一般用累乘法求通项．另外，有些递推关系可通过两边取倒数后转化为等差、等比数列．注意检验n＝1时，是否适合所求．
　　
　写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式．
(1)a1＝2，an＋1＝an＋；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan；
(3)a1＝1，an＋1＝2an＋1；
(4)a1＝，an＋1＝．
解：(1)因为当n≥2时，an－an－1＝＝－，
所以当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋(－)＋＋2＝3－．
当n＝1时，适合．故an＝3－．
(2)因为＝2n，所以＝21，＝22，…，＝2n－1，
将这n－1个等式叠乘，
得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，所以an＝2．
当n＝1时，适合．故an＝2．
(3)由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1．
(4)由an＋1＝知an≠0，两边取倒数得－＝，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×＝，an＝．
类型四　数列通项的性质
　已知数列{an}中，an＝1＋ (n∈N*，a∈R，且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
解：(1)因为a＝－7，所以an＝1＋．
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．
所以数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0．
(2)an＝1＋＝1＋．
因为对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，知5<<6，所以－10 故a的取值范围为(－10，－8)．

点　拨：
数列是特殊的函数，故研究其前n项和或通项的性质时，可充分借助函数，要具备能将公式转化为我们熟知的函数的能力．
　　
　设函数f(x)＝ an＝f(n)，若数列{an}是递减数列，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，2) B．
C． D．
解：由题意，知f(x)＝(a－2)x在(2，＋∞)上是减函数，且a1＞a2，所以 即 解得a＜．故选C．


1．已知数列的前几项求数列的通项公式
(1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或 (－1)n＋1来调节．
(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决．
(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．
此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决．
2．an＝注意an＝Sn－Sn－1的条件是n≥2，还须验证a1是否符合an(n≥2)，是则合并，否则写成分段形式．
3．已知递推关系求通项
掌握先由a1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及“累加法”“累乘法”等．
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可以用“累加法”得：
an＝a1＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)＋f(n)．
(2)已知a1且＝f(n)，可以用“累乘法”得：
an＝a1·f(2)·f(3)·…·f(n－1)·f(n)．
注：以上两式均要求{f(n)}易求和或积．
4．数列的简单性质
(1)单调性：若an＋1＞an，则{an}为递增数列；若an＋1＜an，则{an}为递减数列．
(2)周期性：若an＋k＝an(n∈N*，k为非零正整数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．
(3)最大值与最小值：若 则an最大；若 则an最小．



1．数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝(n∈N*)
B．an＝(n∈N*)
C．an＝(n∈N*)
D．an＝(n∈N*)
解法一：特例淘汰法．
令n＝1，淘汰D选项，令n＝2淘汰A，B选项．
解法二：数列变形为，，，，…分子、分母都是等差数列，分子2(n－1)分母2n－1．故选C．
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝ (　　)
A．36 B．35 C．34 D．33
解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3；当n＝1时，a1＝S1＝－1，所以an＝2n－3(n∈N*)，所以a2＋a18＝34．故选C．
3．若数列{an}满足a1＝2, a＋a＝2an＋1·an，则数列{an}的前32项和为 (　　)
A．16 B．32 C．64 D．128
解：根据题意，由a＋a＝2an＋1·an(n∈N*)，得(an＋1－an)2＝0，即an＋1＝an．由a1＝2，得an＝2，则数列{an}前32项和S32＝2×32＝64．故选C．
4．()设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝ (　　 )
A．3(3n－2n) B．3n＋2 C．3n D．3·2n－1
解：当n＝1时，a1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得到an＝3an－1，所以an＝3n．故选C．
5．若数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝ an＋1－an，则a2 020＝ (　　)
A．－3 B．3 C．－6 D．6
解：因为an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－ an＋1，两式相加可得an＋3＝－an，于是an＋6＝an，{an}是以6为周期的周期数列，a3＝a2－a1＝3，a4＝ a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，故a2 020＝a4＝－3．故选A．
6．已知{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则的最小值为 (　　)
A．21 B．10 C． D．
解：由已知条件可知，当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n2－n＋33．
又n＝1时，a1＝33满足此式．
所以＝n＋－1．
令f(n)＝＝n＋－1，则f(n)在[1，5]上为减函数，
在[6，＋∞)上为增函数，又f(5)＝，f(6)＝，
则f(5)＞f(6)，故f(n)＝的最小值为．故选D．
7．在数列－1，0，，，…，，…中，0．08是它的第________项．
解：令＝0．08，得2n2－25n＋50＝0，即(2n－5)(n－10)＝0．解得n＝10或n＝(舍去)．即0．08是该数列的第10项．故填10．
8．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝________．
解：当n为奇数时，an＋an＋1＝n2－(n＋1)2－(n＋1)2＋(n＋2)2＝2，为定值，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝2×＝2 020．故填2 020．
9．根据数列{an} 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式．
(1)7，77，777，7 777，…
(2)4，－，2，－，，…
(3)3，5，3，5，…
(4)1，2，2，4，3，8，4，16，…
解：(1)将各项改写如下
(10－1)，(102－1)，(103－1)，(104－1)，…
易知an＝(10n－1)．
(2)将各项绝对值改写如下
，，，，，…
综合考查分子、分母，以及各项符号可知an＝(－1)n－1．
(3)an＝ 或an＝＝4＋(－1)n．
(4)观察数列{an}可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，所以an＝
10．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4．
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；
(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．
解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1 因为n∈N*，所以n＝2，3，
所以数列中有两项是负数，即为a2，a3．
因为an＝n2－5n＋4＝－，
由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2．
(2)由对于n∈N*，都有an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3．
所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．
11．Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
解：(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3．
可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即
2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由于an＞0，可得an＋1－an＝2．
又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3．
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1．
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝＝
＝．
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝．
设Sn为数列{an}的前n项和，2an－ an－1＝3·2n－1(n≥2)，且3a1＝2a2．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记Tn为数列的前n项和，若∀n∈N*，Tn 解：(1)证明：由2an－an－1＝3·2n－1(n≥2)，得 ＝·＋，所以－1＝(n≥2)．
由2an－an－1＝3·2n－1(n≥2)，且3a1＝2a2，可得2a2－a1＝6，即2a1＝6，得a1＝3．
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知－1＝·＝，所以an＝2n(21－2n＋1)＝21－n＋2n．
所以Sn＝＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋＝2·2n－21－n，
＝＝，
所以Tn＝＝<，
因为对∀n∈N*，Tn