高考数学(理数)一轮复习学案9．1《直线与方程》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案9．1《直线与方程》(含详解)，共8页。

9．1　直线与方程



1．平面直角坐标系中的基本公式
(1)数轴上A，B两点的距离
数轴上点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A，B两点间的距离|AB|＝____________．
(2)平面直角坐标系中的基本公式
①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为
d(A，B)＝|AB|＝_________________________．
②线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则
2．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴________与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．
(2)斜率
一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即k＝______(α≠______)．当直线平行于x轴或者与x轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．
(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．
3．直线方程的几种形式
(1)截距
直线l与x轴交点(a，0)的____________叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的____________叫做直线l在y轴上的截距．
注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．
(2)直线方程的五种形式

名称
方程
适用范围
点斜式
①
k存在
斜截式
②
k存在
两点式
③
④
截距式
⑤
a≠0且b≠0
一般式
⑥
平面直角坐标系内的所有直线
注：斜截式是________的特例；截距式是________的特例．
(3)过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程
①若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为____________；
②若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为____________；
③若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为____________；
④若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为____________．

自查自纠：
1．(1)|x2－x1|　(2)①
②　
2．(1)正向　平行　重合　0°≤α<180°
(2)正切值　tanα　90°　＝　>　<　90°　(3)
3．(1)横坐标a　纵坐标b　不是
(2)①y－y0＝k(x－x0)　②y＝kx＋b
③＝　④x1≠x2且y1≠y2
⑤＋＝1　⑥Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)
点斜式　两点式
(3)①x＝x1　②y＝y1　③x＝0　④y＝0



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
直线x－y＋1＝0的倾斜角为 (　　)
A．30° B．45° C．120° D．150°
解：由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tanα＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°．故选B．
如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过 (　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解：由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－＞0，在y轴上的截距－＞0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．
已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为
(　　)
A．4x－3y－3＝0 B．3x－4y－3＝0
C．3x－4y－4＝0 D．4x－3y－4＝0
解：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，
因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则 tanα＝，
所以直线l的斜率k＝tan2α＝＝＝，
所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，
即4x－3y－4＝0．故选D．
()过A(1，2)，B(2，1)的直线的斜率为________．
解：kAB＝＝－1．故填－1．
直线x＋a2y－a＝0(a>0)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值为________．
解：方程可化为＋＝1，因为a>0，所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号，故a的值为1．故填1．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　直线的倾斜角和斜率
　(1)直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的取值范围是 (　　)
A． B．
C． D．
解：直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，
因为α∈，所以≤cosα≤，
因此k＝2cosα∈[1， ]．
设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1， ]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是．故选B．
(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．

解：如图，因为kAP＝＝1，kBP＝＝－，所以直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1， ＋∞)．故填(－∞，－]∪[1，＋∞)．

点　拨：
任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R．正切函数在[0，π)不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．解题(2)要注意两点：一是斜率公式的正确计算；二是数形结合写出斜率的范围，切莫想当然认为－≤k≤1．
　　
　(1)()直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k的取值范围是 (　　)
A．(－1，)
B．(－1，)
C．(－∞，－1)∪(，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(，＋∞)
解：取B(－3，0)，C(3，0)，则kBA＝，kCA＝－1．故选D．
(2)直线l经过点A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．
解：直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tanα≥1．
又y＝tanα在(0，)上是增函数，因此≤α＜．
故填[，)．
类型二　求直线方程
　根据所给条件求直线的方程．
(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5．
解：(1)由题意知，直线的斜率存在，
设倾斜角为α，则sinα＝(α∈[0，π))，
从而cosα＝±，则k＝tanα＝±．
故所求直线的方程为y＝±(x＋4)，即x±3y＋4＝0．
(2)若截距不为0，设直线的方程为＋＝1，
因为直线过点(－3，4)，所以＋＝1，解得a＝1．
此时直线方程为x＋y－1＝0．
若截距为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－3，4)，
有4＝－3k，解得k＝－，此时直线方程为 4x＋3y＝0．
综上，所求直线方程为x＋y－1＝0或4x＋ 3y＝0．
(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0．
当直线斜率存在时，设其方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0．
由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝．
此时直线方程为3x－4y＋25＝0．
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0．

点　拨：
本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱．题(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；题(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；题(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线．

　(1)过点A(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程为________．
解：设直线的斜率为k，则k＝－4×＝－，又直线经过点A(1，3)，故所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0．故填4x＋3y－13＝0．
(2)一次函数y＝－x＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 (　　)
A．m＞1且n＜1 B．mn＜0
C．m＞0且n＜0 D．m＜0且n＜0
解：因为y＝－x＋的图象经过第一、三、四象限，故－＞0，＜0，即m＞0，n＜0为充要条件，因此mn＜0是它的一个必要不充分条件．故选B．
类型三　直线方程的应用
　(1)已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线 l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________．

解：设点A1(x1，y1)与A(4，－1)关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，所以|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝ |PA|．所以|PA|＋|PB|＝|PA1| ＋|PB|≥|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|．
当P点运动到P0点时，|PA|＋|PB|取到最小值|A1B|．
因为点A，A1关于直线l对称，所以由对称的充要条件知，
解得 即A1(0，3)．
所以(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝＝．
故填．

点 　拨：
平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础．求A关于l的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据．

(2)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则△AOB面积的最小值为．
解法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A(2－，0)，B(0，1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)(2－)
＝≥(4＋4)＝4．
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
即△AOB面积的最小值为4．
解法二：设直线l：＋＝1，且a＞0，b＞0，
因为直线l过点M(2，1)，则＋＝1，则1＝ ＋≥2，故ab≥8，故S△AOB＝ab≥×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2．故填4．

点　 拨：
直线方程综合问题的两大类型及解法：①与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决；②与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．
　　
　(1)过点P(－2，2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有 (　　)
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
解：设直线l在x，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则l的方程为＋＝1，
又点P(－2，2)在l上，所以＋＝1，
即2a－2b＝ab，①
又直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，则－ab＝8，②
且a＜0，b＞0，③
由①②③得a＝－4，b＝4，故符合条件的直线只有1条．故选C．
(2)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA为文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？

解：如图所示，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则E(30，0)，F(0，20)，
所以线段EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．
①DF·AB＝6 000，EB·BC＝5 600．
②在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．
又＋＝1(0≤m≤30)，所以n＝20－m．
所以S＝(100－m)(80－20＋m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．
所以当m＝5时，S有最大值，这时＝5∶1．
所以综合①②可知，当草坪矩形的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．


1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k＝tanα的图象(如图)来解决．这里，α∈[0，π)，k的范围是两个不连续的区间．这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在分类进行讨论．

2．直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况．
3．在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单．
4．对于直线方程来说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目．在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形．如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A2＋B2≠0而出现增解．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为
(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
解：直线的斜率为k＝tan α＝，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°．故选B．
2．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是 (　　)
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
解：由题意知a≠0，得a＋2＝，所以a＝－2或a＝1．故选D．
3．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是 (　　)
A．[0，] B．[，π)
C．[0，]∪(，π) D．[，)∪[，π)
解：因为直线的斜率k＝－，所以－1≤ k＜0，则倾斜角的取值范围是[，π)．故选B．
4．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为 (　　)
A． B．－ C．－ D．
解：依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－．故选B．
5．()在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为 (　　)
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y－10＝0
C．3x－y＝0 D．3x＋y－6＝0
解：因为AO＝AB，所以∠AOB＝∠ABO，即kAB＝－kOA＝－3．所以直线AB的方程为y－3＝ －3(x－1)，即3x＋y－6＝0．故选D．
6．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－4]∪ B．
C． D．
解：如图所示，因为kPN＝＝，

kPM＝＝－4．
所以要使直线l与线段MN相交，
当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，
由已知得k≥或k≤－4．故选A．
7．过点(，－2)的直线l经过圆x2＋y2－ 2y＝0的圆心，则直线l倾斜角的大小为________．
解：依题意可知圆心坐标为(0，1)，则斜率k＝tanα＝＝－，所以倾斜角α＝120°．故填120°．
8．已知直线l过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b，则直线l的方程为．
解：①若a＝3b＝0，则直线过原点(0，0)，此时直线斜率k＝－，直线方程为x＋2y＝0．
②若a＝3b≠0，设直线方程为＋＝1，即＋＝1．由于点P(2，－1)在直线上，所以b＝－．
从而直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0．
综上所述，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0．
故填x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0．
9．已知在第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝，∠B＝．求：

(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC和BC边所在直线的方程．
解：(1)AB边所在直线的方程为y＝1．
(2)因为∠A＝，AB∥x轴，
所以直线AC的倾斜角为，斜率为，所以AC所在直线的方程为x－y＋1－＝0，
因为∠B＝，所以直线BC的倾斜角为，所以斜率为－1，所以BC所在直线的方程为x＋y－ 6＝0．
10．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零．
所以a＝2，方程即为3x＋y＝0．
当直线不过原点时，a≠2，由截距存在且均不为0，
所以＝a－2，即a＋1＝1．
所以a＝0，方程即为x＋y＋2＝0．
因此直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0．
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
所以所以a≤－1．
综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．
11．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解：(1)证明：将直线l的方程变形得k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
所以无论k取何值，直线l过定点(－2，1)．
(2)当直线l的倾斜角θ∈[0°，90°]时，直线l不经过第四象限，所以k≥0．
(3)由l的方程，得A，B(0，1＋2k)．
依题意得解得k>0．
因为S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
当且仅当4k＝且k>0，即k＝时等号成立，
所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和Sn＝，则直线＋＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A．36 B．45 C．50 D．55
解：由an＝可知an＝－，
所以Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－，
又知Sn＝，所以1－＝，所以n＝9．
所以直线方程为＋＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，
所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ×10×9＝45．故选B．