高考数学(理数)一轮复习学案9．5《曲线与方程》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案9．5《曲线与方程》(含详解)，共9页。

9．5　曲线与方程



1．曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)____________________________________．
(2)____________________________________．
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤
(1)建立适当的__________，用有序实数对(x，y)表示曲线上____________M的坐标．
(2)写出____________的点M的集合：P＝{M|p(M)}．
(3)用__________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0．
(4)化方程f(x，y)＝0为____________形式．
(5)说明以化简后的方程的________为坐标的________都在曲线上．
注：步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以作适当说明，另外，也可以根据情况省略步骤(2)．
3．求曲线的轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系f(x，y)＝0．也就是：建系设点、列式、代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明．
(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
(3)待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其待定系数．
(4)相关点法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，首先用x，y表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得到要求的轨迹方程．
(5)交轨法：动点P(x，y)是两动直线(或曲线)的交点，解决此类问题通常是通过解方程组得到交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程．
(6)参数法：当动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得方程f(x，y)＝0．
(4)、(5)两种方法本质上也是参数法，只不过是多参数的参数方程或是隐性式的参数方程．

自查自纠：
1．(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
2．(1)坐标系　任意一点　(2)适合条件p
(3)坐标　(4)最简　(5)解　点


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
方程x2－y2＝0表示的曲线是 (　　)

A B

C D
解：y2＝x2等价于y＝±x．故选C．
“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程2＋y＝0”的 (　　)
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
解：当点M的坐标满足方程2＋y＝0时，将2＋y＝0变形得y2＝4x，即点M在曲线y2＝4x上．反之未必成立，例：点M(4，4)在曲线y2＝4x上，但其坐标不满足方程2＋y＝0．故选B．
已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是 (　　)
A．双曲线 B．双曲线左支
C．一条射线 D．双曲线右支
解：由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以A，B，D不正确，动点P的轨迹应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线．故选C．
已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是______________．
解：连接OP，则|OP|＝2，所以点P的轨迹是去掉M，N两点的圆，所以方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．故填x2＋y2＝4(x≠±2)．
已知圆x2＋y2＝4上一点M(1，)满足·＝0，则点P的轨迹方程为______________．
解：设P(x，y)，则·＝(1，)·(1－x，－y)＝1－x＋3－y＝0，即点P的轨迹方程为x＋y－4＝0．
故填x＋y－4＝0．


类型一　已知方程判断曲线
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　|y|－1＝表示的曲线是
(　　)
A．抛物线 B．一个圆
C．两个圆 D．两个半圆
解：原方程|y|－1＝等价于
得或

所以原方程表示(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)和(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)两个半圆．故选D．

点　 拨：
化简曲线方程时要注意等价性，每一步都需等价转化，对含有绝对值的式子须进行分类讨论，且分类要彻底，最后再综合起来分析．
　　
　方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是 (　　)
A．两条直线 B．两条射线
C．两条线段 D．一条直线和一条射线
解：原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．故选D．
类型二　直接法求轨迹方程
　已知动点P(x，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．
解：(1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ，整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
(2)①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；
②当－1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；
③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆，除去点(－1，0)，(1，0)．
④当λ＜－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．

点　 拨：
直接法求曲线的轨迹方程时，建立适当的坐标系非常重要．建立适当的直角坐标系一般应遵循两原则：①对称性原则：坐标轴为曲线的对称轴，坐标原点为曲线的对称中心；②过原点原则：在优先满足①的情形下，尽量让曲线经过原点，这样方程可减少一个常数项．直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系，则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性，即“去杂”．
　　
　(1)()与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0也相外切的圆的圆心的轨迹方程为______________．
解：x2＋y2－6x＝0可化为(x－3)2＋y2＝9，即圆C是以(3，0)为圆心，3为半径的圆．
当动圆在y轴右侧时，动圆圆心P到圆心C(3，0)的距离等于点P到定直线x＝－3的距离，所以P点的轨迹是以(3，0)为焦点的抛物线．其方程为y2＝12x(x＞0)．
当动圆在y轴左侧时，其圆心在x轴的负半轴上，其方程为y＝0(x＜0)．
故填y2＝12x(x＞0)或y＝0(x＜0)．
(2)()已知长为1＋的线段AB的两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，P是AB上一点，且＝，则点P的轨迹方程为______________．
解：设A(x0，0)，B(0，y0)，P(x，y)，
则＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)，
因为＝，
所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)，
得x0＝(1＋)x，y0＝(1＋)y．
因为|AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2，
所以[(1＋)x]2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2，
化简得＋y2＝1．
所以点P的轨迹方程为＋y2＝1．
故填＋y2＝1．
类型三　几何法求轨迹方程
　()△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是____________．
解：如图，令内切圆与三边的切点分别为D，E，F，

可知|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝|AE|－|BE|＝8－2＝6<|AB|＝10．
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为－＝1(x>3)．
故填－＝1(x>3)．

点　拨：
利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，从而得出动点的轨迹方程的方法叫几何法．几何法通过挖掘图形的几何属性，联想有关的定义和性质，建立适当的等量关系，开阔了思维视野，提高了解题的灵活性，简化了思维过程，减少了计算量．
　　
　()如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，若tan∠ADP＋2tan∠BCP＝10，则点P在平面α内的轨迹是 (　　)

A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
解：由题意知＋2×＝10，则PA＋PB＝40>AB＝6，又因为P，A，B三点不共线，故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆的一部分．故选B．
类型四　定义法求轨迹方程
　已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则C的方程为___________．
解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3．设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R．
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2．
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，则a＝2，c＝1，故b2＝a2－c2＝3．所以C的方程为＋＝1(x≠－2)．故填＋＝1(x≠－2)．

点　拨：
①求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．②理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．③利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线等，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
　　
　已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4．动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．

解：如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
由|O1O2|＝4，得O1(－2，0)、O2(2，0)．设动圆M的半径为r，
则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；
由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2．所以|MO2|－|MO1|＝3<|O1O2|．
所以点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．
所以a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝．
所以点M的轨迹方程为－＝1．
类型五　相关点法求轨迹方程
　(1)()动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是________．
解：设中点M(x，y)，由中点坐标公式，可得A(2x－3，2y)，因为点A在圆上，将点A的坐标代入圆的方程，所以中点M的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1，即(x－)2＋y2＝．故填(x－)2＋y2＝．
(2)设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为______________．
解：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，则＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)．因为⊥，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，即x0＋y＝0．
由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
所以即
代入x0＋y＝0得－x＋＝0，即y2＝4x．
故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x．
故填y2＝4x．

点　拨：
相关点法求轨迹方程的步骤：①设主动点(已知曲线上的动点)P(x0，y0)、被动点(所求轨迹的动点)M(x，y)．②寻求关系式x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)．③将x0，y0代入已知曲线方程．
　　
　已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(　　)
A．＋＝1(y≠0) B．＋y2＝1(y≠0)
C．＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0)
解：依题意知F1(－1，0)，F2(1，0)，设P(x0，y0)，
G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得
即代入＋＝1，
得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．故选C．


1．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为寻求动点的横坐标与纵坐标之间的关系．在求与圆锥曲线有关的轨迹方程时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得出方程．
2．要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标或特殊曲线的方程．
3．求轨迹方程与求轨迹是有区别的，若求轨迹，则不仅要求出方程，而且还需要说明所求轨迹是什么曲线，即曲线的形状、位置、大小都需说明．
4．根据问题给出的条件不同，求轨迹的方法也不同，一般有如下规律：
(1)单点的轨迹问题——直接法＋待定系数法．
(2)双动点的轨迹问题——相关点法．
(3)多动点的轨迹问题——参数法＋交轨法．
5．利用参数法求动点轨迹时要注意：①参数的选择要合理；②消参的方法灵活多样；③对于所选的参数，要注意取值范围，并注意参数范围对x，y的取值范围的制约．
6．曲线关于点中心对称、关于直线轴对称问题，通常是转化为点的中心对称或轴对称，一般结论如下：
(1)曲线f(x，y)＝0关于已知点A(a，b)的对称曲线的方程是f(2a－x，2b－y)＝0．
(2)曲线f(x，y)＝0关于y＝kx＋b的对称曲线的求法：
设曲线f(x，y)＝0上任意一点为P(x0，y0)，点P关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x，y)，则由轴对称的条件知，P与P′的坐标满足从中解出x0，y0，将其代入已知曲线f(x，y)＝0，就可求出曲线f(x，y)＝0关于直线y＝kx＋b对称的曲线方程．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．到两定点A(0，0)，B(3，4)距离之和为5的点的轨迹是 (　　)
A．椭圆 B．AB所在的直线
C．线段AB D．无轨迹
解：因为|AB|＝5，所以到A、B两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB．故选C．
2．方程(x2－y2－1)＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分) (　　)

A B

C D
解：原方程等价于或x－y－1＝0，前者表示等轴双曲线x2－y2＝1位于直线x－y－1＝0下方的部分，后者为直线x－y－1＝0，这两部分合起来即为所求．故选B．
3．()设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为 (　　)
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
解：因为M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5＞|AC|＝2，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，所以M的轨迹方程为＋＝1．故选D．
4．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是(　　)
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4
C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
解：如图，

设P(x，y)，圆心为M(1，0)，连接MA，PM，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又因为|PA|＝1，所以|PM|＝＝，即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2．故选D．
5．已知定点A(2，0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为 (　　)
A．y2＝2(x－1) B．y2＝4(x－1)
C．y2＝x－1 D．y2＝(x－1)
解：：设P(x0，y0)，M(x，y)，
则所以由于y＝x0，所以4y2＝2x－2，即y2＝(x－1)．故选D．
6．平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)， B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线
解： 设C(x，y)，因为＝λ1＋λ2，
所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即
解得又λ1＋λ2＝1，
所以＋＝1，即x＋2y－5＝0 ，
所以点C的轨迹为直线．故选A．
7．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是______________．
解：设抛物线的焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4＞|AB|，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．即轨迹方程为＋＝1(y≠0)．故填＋＝1(y≠0)．
8．()在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B(－，0)，C(，0)(a＞0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是______________．
解：由正弦定理得|AB|－|AC|＝|BC|＝，故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支(除去顶点)．
即动点A的轨迹方程为－＝1(x＞0且y≠0)．
故填－＝1(x＞0且y≠0)．
9．如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M．求曲线M的方程．

解：由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，
所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x轴的交点)．
设曲线M：＋＝1(a＞b＞0，y≠0)，
则a＝2，c＝1，所以b＝．
所以曲线M的方程为＋＝1(y≠0)．
10．()已知点C(1，0)，点A，B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．

(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于它到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)连接CP，OP，由·＝0，知AC⊥BC，

所以|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，
又|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，
即|OP|2＋|CP|2＝9，
设点P(x，y)，则有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，
化简，得x2－x＋y2＝4．
(2)存在．根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1，0)的距离的点都在抛物线y2＝2px(p＞0)上，其中＝1，所以p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．
由方程组得x2＋3x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－4，因为x≥0，所以x＝1，此时y＝±2．
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1，2)．
11．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．

(1)求BC边所在直线方程；
(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．
解：(1)因为kAB＝－，AB⊥BC，
所以kCB＝．所以BC：y＝x－2．
(2)在上式中，令y＝0，得C(4，0)，
所以圆心M(1，0)．
又因为|AM|＝3，所以外接圆的方程为(x－1)2＋y2＝9．
(3)因为圆N过点P(－1，0)，所以PN是该圆的半径．
又因为动圆N与圆M内切，所以|MN|＝3－|PN|，即
|MN|＋|PN|＝3>|PM|．
所以点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆．
所以a＝，c＝1，b＝＝．
所以轨迹方程为＋＝1．
在平面直角坐标系中，已知A1(－，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，－2)，若实数λ使得λ2·＝·(O为坐标原点)，求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型．
解：＝(x，1)，＝(x，－2)，
＝(x＋，y)，＝(x－，y)．
因为λ2·＝·，
所以λ2(x2－2)＝x2－2＋y2，
整理得(1－λ2)x2＋y2＝2(1－λ2)．
①当λ＝±1时，方程为y＝0，轨迹为一条直线；
②当λ＝0时，方程为x2＋y2＝2，轨迹为圆；
③当λ∈(－1，0)∪(0，1)时，方程为＋＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；
④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为－＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．