高考数学(理数)一轮复习学案9．7《双曲线》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案9．7《双曲线》(含详解)，共9页。
9．7　双　曲　线



1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
　※(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修2－1 P59例5)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的________．
(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做____________．“离心率e＝”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
2．双曲线的标准方程及几何性质


焦点在x轴上
焦点在y轴上
(1)图形


(2)标准
方程

－＝1
(a＞0，b＞0)
(3)范围
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
(4)中心
原点O(0，0)
(5)顶点
A1(－a，0)，
A2(a，0)

(6)对称轴
x轴，y轴
(7)焦点

F1(0，－c)，
F2(0，c)
(8)焦距
2c＝2
(9)离心率

(10)渐近线方程

y＝±x

自查自纠：
1．(1)绝对值　＜　焦点　焦距　(2)离心率
(3)等轴双曲线　充要　垂直
2．(2)－＝1(a＞0，b＞0)　(5)A1(0，－a)，A2(0，a) (7)F1(－c，0)，F2(c，0)　(9)e＝(e＞1)　(10)y＝±x


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是 (　　)
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
解：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2，1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1．故选B．
若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为
(　　)
A． B．5 C． D．2
解：由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，所以 5a2＝c2．所以e2＝＝5，所以e＝．故选A．
()已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则n的取值范围是 (　　)
A．(－1，3)　　 B．(－1，)　　
C．(0，3)　　 D．(0，)
解：因为方程－＝1表示双曲线，所以(m2＋n)·(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，所以焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，所以－1＜n＜3．故选A．
()在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是____________．
解：易知a2＝7，b2＝3，则c2＝a2＋b2＝7＋ 3＝10，即c＝，则焦距2c＝2．故填2．
()在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是__________．
解：因为双曲线的焦点F(c，0)到渐近线y＝ ±x即bx±ay＝0的距离为＝＝b，所以 b＝c，
因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，e＝2．故填2．



类型一　双曲线的定义及标准方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A．若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为 (　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解：因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a＝2，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1．故选A．
(2)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3，0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为____________．
解：设动圆M的半径为r，则|MC|＝2＋r，|MA|＝r，所以|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，所以b2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．故填x2－＝1(x≤－1)．
(3)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．

解：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B．
根据两圆外切的条件，
有|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6．
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8．
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
故填x2－＝1(x≤－1)．

点　 拨：
①求双曲线的标准方程一般用待定系数法； ②当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0)，这样可以简化运算．


　(1)已知双曲线的渐近线方程为2x± 3y＝0，且双曲线经过点P(，2)，则双曲线的方程为__________．
解：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P(，2)，所以－＝λ，λ＝－，故所求双曲线的方程为y2－x2＝1．故填y2－x2＝1．
(2)()已知双曲线－＝1(a＞0， b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为 (　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解：由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1．故选A．
(3)()已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为 (　　)
A．相交　　 B．相切　　
C．相离　　 D．以上情况都有可能
解：令双曲线的右焦点为F2，设以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的半径分别为r1，r2，两个圆的圆心分别为O1，O2．若P在双曲线左支上，则|O2O1|＝|PF2|＝(|PF1|＋2a)＝|PF1|＋a＝r1＋r2，即圆心距为半径之和，两圆外切．若P在双曲线右支上，同理求得|O2O1|＝r1－r2，故此时，两圆内切．综上，两圆相切．故选B．
类型二　双曲线的离心率
　(1)()已知双曲线C： －＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
解：双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝＝，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝，即＝，所以e＝＝．故填．
(2)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是
(　　)
A．(1，＋∞)　 B．(1，2)　
C．(2，1＋)　 D．(1，1＋)
解：若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF< 45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则