高考数学(理数)一轮复习学案12．3《直接证明与间接证明及数学归纳法》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案12．3《直接证明与间接证明及数学归纳法》(含详解)，共8页。

12．3　直接证明与间接证明及数学归纳法



1．直接证明
(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或__________法．
(2)分析法：一般地，从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的__________归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推证法或__________法．
(3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．
2．间接证明
反证法：一般地，假设原命题____________(即在原命题的条件下，结论____________)，经过______________，最后得出__________．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．因此说明假设________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．
3．数学归纳法的证题步骤
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．
(2)(归纳递推)假设____________(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当____________时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有__________都成立．
4．数学归纳法的适用范围
数学归纳法主要用于解决与________有关的数学命题，证明时，它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可．

自查自纠：
1．(1)推理论证　成立　由因导果　
(2)结论　充分条件　结论　执果索因
2．不成立　不成立　正确的推理　矛盾　错误
3．(2)n＝k　n＝k＋1　正整数n
4．正整数



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

要证明＋<2，以下方法中最合理的是 (　　)
A．分析法 B．综合法
C．反证法 D．数学归纳法
解：“执果索因”最佳，即分析法．故选A.
用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式 (　　)
A．1＋<2 B．1＋＋<2
C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
解：因为n∈N*，n>1，所以n取的第一个数为2，左端分母最大的项为＝，故选B.
设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.<1 解：ab<＝1<(a≠b)．故选B.
()用反证法证明“若x＋y≤0，则x≤0或y≤0”时，应假设____________．
解：用反证法证明“若x＋y≤0，则x≤0或y≤0”时，应假设结论反面成立，即x＞0且y＞0.故填x＞0且y＞0.
()用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k不等式成立，推证n＝k＋1时，不等式左边应增加的项数是____________．
解：不等式左边的特点：分母逐渐增加1，末项为.由n＝k，末项为，到n＝k＋1，末项为＝，所以不等式左边应增加的项数为2k.故填2k.


类型一　直接证明
　()证明下列不等式．
(1)设a＞0，b＞0，若a＋b－ab＝0，求证：a＋2b≥3＋2；
(2)当a＞1时，求证：2－－＞0.
证明：(1)因为a＋b－ab＝0，a＞0，b＞0，所以＋＝1，
所以a＋2b＝(a＋2b)(＋)＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，
所以a＋2b≥3＋2.
(2)要证2－－＞0，
只需证2＞＋，
只需证(2)2＞(＋)2，
只需证4a＞2a＋2，只需证a＞，
由于a＞1，只要证a2＞a2－1，即证0＞－1，这显然成立，
所以2－－＞0成立．

点　拨：
用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，即“由因导果”；逆向思维是用分析法证题的主要思想，即“执果索因”，要保证分析过程的每一步都是可逆的．证明较复杂的问题时，常用两头凑的方法，即用分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，再用综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．

　(1)已知：a>0，b>0，a＋b＝1.
求证：＋≤2.
证明：要证＋≤2，
只需证a＋＋b＋＋2≤4，
又a＋b＝1，故只需证≤1，
只需证＝ab＋(a＋b)＋≤1，
只需证ab≤.
因为a>0，b>0，1＝a＋b≥2，所以ab≤，
故原不等式成立(当且仅当a＝b＝时取等号)．
(2)已知a，b∈R，a＞b＞e(其中e是自然对数的底数)，求证：ba＞ab.
证明：因为a＞b＞e，所以ba＞0，ab＞0.所以要证ba＞ab，
只需证alnb＞blna，只需证＞.
令f(x)＝(x＞e)，则f′(x)＝，
当x＞e时，f′(x)＜0，函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减．
所以当a＞b＞e时，有f(b)＞f(a)，即＞.
故原不等式成立．
类型二　间接证明
　(1)设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数 (　　)
A．都大于2
B．都小于2
C．至少有一个大于2
D．至少有一个不小于2
解：假设a＋，b＋，c＋均小于2，则a＋＋b＋＋c＋＜6.因为a，b，c都是正数，则a＋＋b＋＋c＋＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥2＋2＋2＝6(当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立)，这与假设矛盾．故三个数至少有一个不小于2.故选D.
(2)()设函数f(x)＝|2x－a|，g(x)＝x＋2.
(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)＋f(－x)≤g(x)的解集；
(Ⅱ)求证：f()，f(－)，f()中至少有一个不小于.
解：(Ⅰ)当a＝1时，不等式即|2x－1|＋|2x＋1|≤x＋2，
则无解；
或解得0≤x＜；
或解得≤x≤.
综上，不等式的解集为.
(Ⅱ)证明：假设f()，f(－)，f()都小于，
则
由①＋②得，－＜a＜，与③＜a＜矛盾．
故f()，f(－)，f()中至少有一个不小于.

点　拨：
一般地，对于结论含“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的数学问题，或直接从正面入手难以寻觅解题突破口的问题，宜考虑用反证法，这体现了“正难则反”的思想．用反证法解题时，推导出矛盾是关键一步，途径很多，可以与已知矛盾、与假设矛盾、与已知事实相违背等，但推导出的矛盾必须是明显的．

　(1)()用反证法证明命题：“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是 (　　)
A．三角形的内角至少有一个钝角
B．三角形的内角至少有两个钝角
C．三角形的内角没有一个钝角
D．三角形的内角没有一个钝角或至少有两个钝角
解：命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”．故选B.
(2)()若a，b，c，x，y，z均为实数，且x≥0，y≥0，z≥0，a＝x－2＋，b＝y－2＋，c＝z－2＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0.
证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
所以a＋b＋c≤0.
又a＋b＋c＝x－2＋＋y－2＋＋z－2＋＝()2－2＋1＋()2－2＋1＋()2－2＋1－3＋π＝(－1)2＋(－1)2＋(－1)2＋π－3，
因为(－1)2≥0，(－1)2≥0，(－1)2≥0，π－3＞0，
所以a＋b＋c＞0，与a＋b＋c≤0矛盾．所以假设错误，原命题正确，即a，b，c中至少有一个大于0.
类型三　数学归纳法
　(1)证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．
证明：①当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
那么，当n＝k＋1时，
1－＋－＋…＋－＋－
＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋＋.
根据①和②，可知等式对任何n∈N*都成立．

(2)用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式…>均成立．
证明：①当n＝2时，左边＝1＋＝；右边＝.
因为左边>右边，所以不等式成立．
②假设n＝k (k≥2，且k∈N*)时不等式成立，
即…>.
则当n＝k＋1时，
…
>·＝＝
>＝＝.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．

点　拨：
用数学归纳法证明与正整数n有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清从n＝k到n＝k＋1时等式两边的构成规律，然后正确写出归纳证明的步骤，即可证明待证等式．用数学归纳法证明不等式，同样要弄清增加的项，很多情况下，还要利用放缩法进行证明．
　　
　(1)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
证明：①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
(2)用数学归纳法证明：1＋＋＋＋…＋＜(n∈N*)．
证明：①当n＝1时，左边＝＝1，右边＝＝，左边＜右边，即不等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，
即1＋＋＋＋…＋＜，
则当n＝k＋1时，
1＋＋＋＋…＋＋＜＋，
问题可通过证明＋＜来实现．
要证＋＜＝，
只需证＜－，
只需证＜
只需证(2k＋1)(2k＋3)＜4(k＋1)2，
只需证4k2＋8k＋3＜4k2＋8k＋4，
只需证3＜4.而3＜4显然成立，
所以＋＜，
即当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②可得，对于一切的n∈N*，不等式都成立．



1．综合法又叫顺推证法或由因导果法，它是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在寻求它的必要条件．综合法的解题步骤用符号表示是：P(已知)⇒Q1⇒Q2⇒Q3⇒ …⇒Qn⇒Q(结论)．
2．分析法又叫逆推证法或执果索因法，它是从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的实质是寻求使结论成立的充分条件．分析法的解题步骤用符号表示是：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知)．
3．分析法与综合法的综合应用
分析法和综合法是两种思路相反的推理证明方法，二者各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁，且表述易错；综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节．在证明数学问题的过程中分析法和综合法往往是相互结合的，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法表述．
4．用反证法证明命题的一般步骤
(1)分清命题的条件和结论．
(2)做出与命题结论相矛盾的假设．
(3)由假设出发，应用正确的推理方法，推出与已知条件，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾的结果．
(4)断定产生矛盾的原因是假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
5．可用反证法证明的数学命题类型
(1)结论是否定形式的命题．
(2)结论是以至多、至少、唯一等语句给出的命题．
(3)结论的反面是较明显或较易证明的命题．
(4)用直接法较难证明或需要分成多种情形进行分类讨论的命题．
6．常见的“结论词”与“反设词”
原结论词
反设词
原结论词
反设词
至少有一个
没有一个
∀x成立
∃x0不成立
至多有一个
至少有两个
∀x不成立
∃x0成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
綈p且綈q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
綈p或綈q
7.用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可．证第二步的关键是合理运用归纳假设，以“n＝k时命题成立”为条件，证明“当n＝k＋1时命题成立”．这里，易出现的错误是：不使用“n＝k时命题成立”这一条件，而直接将n＝k＋1代入命题，便断言此时命题成立．注意：没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法．在n＝k到n＝k＋1的证明过程中寻找由n＝k到n＝k＋1的变化规律是难点，突破的关键是分析清楚p(k)与p(k＋1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，从p(k＋1)中分离出p(k)．
8．证明不等式的方法多种多样，故在用数学归纳法证明不等式的过程中，比较法、放缩法、分析法等要灵活运用．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．()分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的 (　　)
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解：分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件．故选A.
2．()用反证法证明“∀x∈R，2x＞0”，应假设为 (　　)
A．∃x0∈R，2x0＞0 B．∃x0∈R，2x0＜0
C．∀x∈R，2x≤0 D．∃x0∈R，2x0≤0
解：“∀x∈R，2x＞0”的否定为“∃x0∈R，2x0≤0”．故选D.
3．()用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的假设为 (　　)
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
解：结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”．故选B.
4．()用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上 (　　)
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
解：当n＝k时，等式左端为1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左端为1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.故选D.
5．()若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是 (　　)
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．由a的取值确定
解：因为P＝＋，Q＝＋(a≥0)，所以P2＝2a＋5＋2，Q2＝2a＋5＋2，因为a2＋5a＜a2＋5a＋6，所以＜，所以P2＜Q2，所以P＜Q.故选C.
6．()分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证 A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解：0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.故选C.
7．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是__________．(填序号)
解：若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.故填③.
8．()若a＞b＞c，则使＋≥恒成立的最大的正整数k为__________．
解：因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，且a－c＝a－b＋b－c.＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当b－c＝a－b时等号成立．因为k≤＋恒成立，所以k的最大值为4.故填4.
9．()设非等腰△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，用分析法证明：＋＝.
证明：因为△ABC非等腰三角形，所以a－b≠0，c－b≠0.
要证＋＝，
只需证＝，
只需证(a＋c－2b)(a－b＋c)＝3(a－b)(c－b)，
只需证(a＋c－b)2－b(a＋c－b)＝3(ac＋b2－bc－ab)，
只需证b2＝a2＋c2－ac，
只需证cosB＝＝，
只需证B＝.
因为A，B，C成等差数列，所以B＝＝，所以B＝显然成立．故结论成立．
10．证明：1－(x＋3)n(n∈N*)能被x＋2整除．
证明：(1)当n＝1时，1－(x＋3)＝－(x＋2)，能被x＋2整除；
(2)假设n＝k(k∈N*)时命题成立，即1－(x＋3)k能被x＋2整除，则可设1－(x＋3)k＝(x＋2)f(x)(其中f(x)为k－1次多项式)．
当n＝k＋1时，1－(x＋3)k＋1＝1－(x＋3)(x＋3)k＝(x＋3)[1－(x＋3)k]－(x＋2)＝(x＋3)(x＋2)f(x)－(x＋2)＝(x＋2)[(x＋3)f(x)－1]能被x＋2整除，所以，当n＝k＋1时，命题仍然成立．
由(1)(2)可知，对于∀n∈N*命题成立．
11．已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)．
(1)求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明：f(x)＝0没有负根．
证明：(1)因为函数f(x)＝ax＋＝ax＋1－(a＞1)，函数y＝ax(a＞1)与函数y＝－在(－1，＋∞)上均为增函数，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)假设函数f(x)＝0有负根x0，即存在x0＜0且x0≠－1满足f(x0)＝0，则ax0＝.又0＜ax0＜1，所以0＜＜1，解得＜x0＜2，这与假设矛盾．故f(x)＝0没有负根．
()已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋1＜0(n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a－a(n≥1)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
解：(1)由题意可知，1－a＝(1－a)．
令cn＝1－a，则cn＋1＝cn，
又c1＝1－a＝，则数列{cn}是首项为，公比为的等比数列，所以cn＝·()n－1，即1－a＝·()n－1，a＝1－·()n－1，
又a1＝＞0，anan＋1＜0，
故an＝(－1)n－1·.
bn＝a－a
＝[1－·()n]－[1－·()n－1]
＝·()n－1.
(2)证明：假设数列{bn}存在三项br，bs，bt(r＜s＜t)按某种顺序成等差数列，
由(1)知，数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，
于是有br＞bs＞bt，则只有可能有2bs＝br＋bt成立．所以
2··()s－1＝·()r－1＋·()t－1，①
化简得3t－r＋2t－r＝2×2s－r3t－s，②
由于r＜s＜t，所以②式左边为奇数，右边为偶数，故②式不成立，即①式不成立，导致矛盾．
故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．