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(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习08《对数与对数函数》(含详解)
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这是一份(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习08《对数与对数函数》(含详解),共36页。试卷主要包含了对数与对数运算,对数函数及其性质等内容,欢迎下载使用。
考点08 对数与对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.
(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.
(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.
(4)了解指数函数与对数函数互为反函数.
一、对数与对数运算
1.对数的概念
(1)对数:一般地,如果,那么数 x叫做以a为底 N的对数,记作,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)牢记两个重要对数:常用对数,以10为底的对数lgN;自然对数,以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.
(3)对数式与指数式的互化:.
2.对数的性质
根据对数的概念,知对数具有以下性质:
(1)负数和零没有对数,即;
(2)1的对数等于0,即;
(3)底数的对数等于1,即;
(4)对数恒等式.
3.对数的运算性质
如果,那么:
(1);
(2);
(3).
4.对数的换底公式
对数的换底公式:.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数,进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底,由已知条件来确定,一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.
换底公式的变形及推广:
(1);
(2);
(3)(其中a,b,c均大于0且不等于1,d>0).
二、对数函数及其性质
1.对数函数的概念
一般地,我们把函数叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是.
2.对数函数的图象和性质
一般地,对数函数的图象与性质如下表所示:
图象
定义域
值域
性质
过定点,即时,
在上是减函数
在上是增函数
当x>1时,y<0;
当0<x<1时,y>0
当x>1时,y>0;
当0<x<1时,y<0
在直线的右侧,当时,底数越大,图象越靠近x轴;当时,底数越小,图象越靠近x轴,即“底大图低”.
3.对数函数与指数函数的关系
指数函数且)与对数函数且)互为反函数,其图象关于直线对称.
考向一 对数式的化简与求值
对数运算的一般思路:
(1)对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题,一般可利用指数与对数的关系,将所给条件统一为对数式或指数式,再根据有关运算性质求解;
(2)在对数运算中,可先利用幂的运算性质把底数或真数变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质、换底公式,将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.
注意:
(1)在利用对数的运算性质与进行化简与求值时,要特别注意题目的前提条件,保证转化关系的等价性.
(2)注意利用等式.
典例1 化简:
();
().
【答案】(1)5;(2)3.
【解析】()
.
()
.
【名师点睛】本题主要考查了对数的运算,其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
典例2 已知函数,若,则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意有,解得.
故选D.
【名师点睛】该题考查的是已知函数值求自变量的问题,在求解的过程中,需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌.首先将自变量代入函数解析式,利用指对式的运算性质,得到关于参数的等量关系式,即可求得结果.
1.若点在函数的图象上,则的零点为
A.1 B.
C.2 D.
2.方程的解为_________.
考向二 对数函数的图象
1.对数函数的图象过定点(1,0),所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题,只需令真数为1,解出相应的,即可得到定点的坐标.
2.当底数时,对数函数是上的增函数,当时,底数的值越小,函数图象越“陡”,其函数值增长得越快;当底数时,对数函数是上的减函数,当时,底数的值越大,函数图象越“陡”,其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,依据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.
3.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.特别地,要注意底数和的两种不同情况.有些复杂的问题,借助于函数图象来解决,就变得简单了,这是数形结合思想的重要体现.
4.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
典例3 若函数的图象如图所示,则下列函数图象正确的是
【答案】B
【解析】由题图可知的图象过点(3,1),则,即.
A项,在上为减函数,错误;
B项,,符合;
C项,在上为减函数,错误;
D项,在(-∞,0)上为减函数,错误.
故选B.
典例4 已知函数,且函数有且只有一个零点,则实数a的取值范围是
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
【答案】B
【解析】如图所示,在同一平面直角坐标系中分别作出与的图象,其中a表示直线在y轴上的截距,
由图可知,当时,直线与只有一个交点.
故选B.
3.在同一平面直角坐标系中,函数,的图象可能是
A. B.
C. D.
考向三 对数函数性质的应用
对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式呈现,难度易、中、难都有,且主要有以下几种命题角度:
(1)比较对数式的大小:
①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论;
②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;
③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
(2)解对数不等式:
①形如的不等式,借助的单调性求解,如果a的取值不确定,需分与两种情况讨论;
②形如的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助的单调性求解.
典例5 已知,,,则,,的大小关系是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵,
,
,
又∵,
且对数函数在上单调递增,
.
故选B.
【名师点睛】本题考查对数的运算性质及对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
典例6 求不等式的解集.
【解析】∵,
∴原不等式等价于,
当>1时,,解得0<x<2.
当时,,解得2<x<4.
∴不等式的解集为.
4.已知,,,则的大小关系为
A. B.
C. D.
考向四 对数函数的复合函数问题
与对数函数相关的复合函数问题,即定义域、值域的求解,单调性的判断和应用,与二次函数的复合问题等,解题方法同指数函数类似.研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解,此外,需特别注意对数函数的定义域及底数的取值.
求形如的复合函数的单调区间,其一般步骤为:
①求定义域,即满足的x的取值集合;
②将复合函数分解成基本初等函数及;
③分别确定这两个函数的单调区间;
④若这两个函数同增或同减,则为增函数,若一增一减,则为减函数,即“同增异减”.
典例7 已知,则是
A.偶函数,且在是增函数 B.奇函数,且在是增函数
C.偶函数,且在是减函数 D.奇函数,且在是减函数
【答案】C
【解析】由,得,
故函数的定义域为,关于原点对称,
又,故函数为偶函数,
而,
因为函数在上单调递减,在上单调递增,
故函数在上单调递减.
故选C.
典例8 已知函数.
(1)判断的奇偶性并加以证明;
(2)判断的单调性(不需要证明);
(3)解关于m的不等式.
【答案】(1)偶函数,证明见解析;(2)减函数;(3).
【解析】(1)由,得,
∴函数的定义域为.
∵函数的定义域关于原点对称,且,
∴函数为偶函数.
(2), 为增函数,在上是增函数,在上是减函数,
∴在上是增函数,在上是减函数.
(3)即,
则,得.
∴关于m的不等式的解集为.
5.若函数(,)在上是减函数,则的取值范围是
A. B.
C. D.
6.已知函数是对数函数.
(1)若函数,讨论的单调性;
(2)在(1)的条件下,若,不等式的解集非空,求实数的取值范围.
1.的值为
A. B.0
C.1 D.2
2.函数的定义域为
A.(-,2 ) B.
C. D.
3.设函数,则
A.9 B.11
C.13 D.15
4.已知正实数,,满足,则
A. B.
C. D.
5.已知“”,:“”,则是的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.函数的单调递减区间为
A. B.
C. D.
7.若函数在上的最大值和最小值之和为,则的值为
A. B.
C. D.3
8.若函数是幂函数,且其图象过点,则函数的单调增区间为
A. B.
C. D.
9.若函数的值域为,则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
10.已知函数,则使得f(2x)>f(x+3)成立的x的取值范围是
A. B.
C. D.
11.已知,,,则,,的大小关系是
A. B.
C. D.
12.奇函数满足,当时,,则
A.−2 B.
C. D.2
13.若函数在R上为减函数,则函数的图象可以是
A. B.
C. D.
14.已知定义在R上的函数在区间上单调递增,且的图象关于对称,若实数a满足,则a的取值范围是
A. B.
C. D.
15.已知函数,若且,则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
16.设函数满足,,且当时,,又函数,则函数零点的个数为
A. B.
C. D.
17.方程的解为________.
18.函数的值域为________.
19.已知二次函数的顶点为,则函数的单调递减区间为_______.
20.已知函数,设正实数满足,且,若在区间上的最大值为2,则=________.
21.已知函数.
(1)当时,求的值域和单调减区间;
(2)若存在单调递增区间,求的取值范围.
22.已知函数的图象过点.
(1)求的值并求函数的值域;
(2)若关于的方程有实根,求实数的取值范围.
23.设函数,且.
(1)求实数的值及函数的定义域;
(2)求函数在区间上的最小值.
24.已知函数的图象过点.
(1)求的值并求函数的值域;
(2)若关于的方程有实根,求实数的取值范围;
(3)若函数,则是否存在实数,使得函数的最大值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
1.(2019年高考全国Ⅰ卷文数)已知,则
A. B.
C. D.
2.(2019年高考天津文数)已知,则a,b,c的大小关系为
A. B.
C. D.
3.(2019年高考北京文数)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为
A.1010.1 B.10.1
C.lg10.1 D.10−10.1
4.(2019年高考浙江)在同一直角坐标系中,函数,(a>0,且a≠1)的图象可能是
5.(2019年高考全国Ⅲ卷文数)设是定义域为R的偶函数,且在单调递减,则
A.(log3)>()>()
B.(log3)>()>()
C.()>()>(log3)
D.()>()>(log3)
6.(年高考天津卷文科)已知,则的大小关系为
A. B.
C. D.
7.(年高考新课标Ⅲ卷文科)下列函数中,其图象与函数的图象关于直线对称的是
A. B.
C. D.
8.(年高考新课标全国Ⅱ卷文科)函数的单调递增区间是
A. B.
C. D.
9.(年高考新课标全国Ⅱ卷文科)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是
A.y=x B.y=lg x
C.y=2x D.
10.(年高考天津卷文科)已知奇函数在上是增函数.若,则错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。的大小关系为
A. B.
C. D.
11.(年高考北京卷文科)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
(参考数据:lg3≈0.48)
A.1033 B.1053
C.1073 D.1093
12.(年高考新课标全国Ⅰ卷文科)若,,则
A.logac
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