(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习26《基本不等式》(含详解)

考点26  基本不等式

基本不等式：

（1）了解基本不等式的证明过程.

（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.

一、基本不等式

1．基本不等式：

（1）基本不等式成立的条件：.

（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．

2．算术平均数与几何平均数

设，则a、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3．利用基本不等式求最值问题

（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)

（2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)

4．常用结论

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

二、基本不等式在实际中的应用

1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．

题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；

2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及

等．

解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．

考向一   利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值的常用技巧：

（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．

（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.

①拆——裂项拆项

对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．

②并——分组并项

目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．

③配——配式配系数

有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.

（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.

典例1  若正数a，b满足，则的最小值为

A．1    B．6

C．9    D．16

【答案】B

【解析】解法一：因为，所以a＋b=ab⇒(a−1)·(b−1)=1，

所以=2×3=6(当且仅当，b=4时取“=”).

故的最小值为6.

解法二：因为，所以a＋b=ab，

所以

(当且仅当，b=4时取“=”)．

故的最小值为6.

解法三：因为，所以，

所以(当且仅当b=4时取“=”)．

故的最小值为6.

【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

1．函数的最大值为______，此时的值为______.

考向二   基本不等式的实际应用

有关函数最值的实际问题的解题技巧：

（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．

（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．

（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.

典例2  年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数），用表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为，即 (设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数．

（1）求关于的函数关系式；

（2）当，时，求这种设备的最佳更新年限．

【解析】（1）由题意，设备维修和消耗费用构成以为首项，为公差的等差数列，

因此年平均维修和消耗费用为.

于是有

（2）由（1）可知，当，时，

，

当且仅当.

答：这种设备的最佳更新年限为15年．

【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型上靠拢.

2．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元/，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/.设矩形的长为.

（1）将总造价（元）表示为长度的函数；

（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.

考向三   基本不等式的综合应用

基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：

（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．

（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．

（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.

典例3  下列不等式一定成立的是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于A：(当时，)，A不正确；

对于B：，，B不正确；

对于C：，C正确；

对于D：，D不正确.

故选C.

【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.

3．设，，且恒成立，则的最大值是

A．  B．

C．  D．

典例4  设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为______．

【答案】

【解析】因为，所以

则即.

所以.

当且仅当时取等号.

故答案为：.

【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

4．已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为

A．  B．

C．  D．

1．已知，，，则的最大值为

A．1  B．

C．  D．

2．若直线过点，则的最小值等于

A．3  B．4

C．  D．

3．已知，则的最小值是

A．2  B．3

C．4  D．5

4．当时，不等式恒成立，则的取值范围是

A．  B．

C．  D．

5．已知正数满足，则

A．有最大值 B．有最小值

C．有最大值10 D．有最小值10

6．已知，则取到最小值时，

A． B．

C． D．

7．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，则最短的篱笆是

A．30 m  B．36 m

C．40 m  D．50 m

8．下列式子的最小值等于4的是

A． B．，

C．， D．

9．已知，，满足，则的最小值是

A．  B．

C．  D．

10．中，角的对应边分别为，若成等差数列，则角的取值范围是

A．  B．

C．  D．

11．已知，则的最小值为

A．  B．6

C．  D．

12．已知实数，是与的等比中项，则的最小值是______．

13．已知正数、满足，则的最大值为__________．

14．已知直线被圆截得的弦长为，则的最大值为________.

15．设实数满足条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为________.

16．已知函数.

（1）解关于的不等式；

（2）若，令，求函数的最小值.

17．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．

（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．

（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．

1．（2019年高考浙江卷）若，则“”是 “”的

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

2．（2019年高考天津卷文数）设，则的最小值为__________.

3．（年高考天津卷文数）（天津文科）已知，且，则的最小值为             .

4．（年高考江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为___________．

5．（年高考天津卷文数）若，，则的最小值为___________．

6．（年高考山东卷文数）若直线过点,则2a+b的最小值为___________．

7．（年高考江苏卷）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是___________．

1．【答案】−3    2

【解析】因为，

又，所以，当且仅当时取等号.

此时.

即的最大值为，此时.

【名师点睛】本题主要考查求函数的最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.求解时，先将原式化为，再由基本不等式，即可求出结果.

2．【答案】（1），；（2）当时，总造价最低为元.

【解析】（1）由矩形的长为m，得矩形的宽为m，

则中间区域的长为m，宽为m，

则，定义域为.

整理得，.

（2），

当且仅当，即时取等号.

所以当时，总造价最低为元.

【名师点睛】本题主要考查了函数的表示方法，以及基本不等式的应用.在利用基本不等式时保证“一正二定三相等”，属于中等题.

（1）根据题意得矩形的长为m，则矩形的宽为m，中间区域的长为m，宽为m，列出函数关系式即可.

（2）根据（1）的结果利用基本不等式求解即可.

3．【答案】B

【解析】等价于，

而

，

当且仅当，即时取等号，

故得到，则的最大值是3.

故答案为B.

【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

4．【答案】A

【解析】由题意得，因为，为正实数，则，

当且仅当，即时取等号.

所以选择A.

【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足“一正二定三相等”.属于中等题.

1．【答案】D

【解析】因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D.

【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键.求解时，直接使用基本不等式，可以求出的最大值.

2．【答案】C

【解析】将代入直线方程得到，

，

当时等号成立.

故选C.

【名师点睛】本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键.求解时，将代入直线方程得到，利用均值不等式得到的最小值.

3．【答案】D

【解析】由题意知，，

因为，所以，

则（当且仅当，即时取“=”），

故的最小值是5.

故答案为D.

【名师点睛】本题考查了基本不等式的运用，要注意“=”取得的条件，属于基础题.

4．【答案】A

【解析】∵，∴，

∴，

当且仅当，即时取等号，

∵当时，不等式恒成立，

∴只需．

故选A．

【名师点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出，属于一般题.

5．【答案】A

【解析】由不等式的性质有：（）2，

当且仅当时等号成立，即（）2≤50，

又m＞0，n＞0，

所以，即m，

故选A．

【名师点睛】本题考查了基本不等式及其应用，转化化归能力，注意等号成立的条件，属中档题.

6．【答案】D

【解析】由，可得，且.

所以，

当且时等号成立，解得.

所以取到最小值时.故选D.

【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足.

7．【答案】C

【解析】设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，根据基本不等式可知：（当且仅当，即时取等号），故本题选C.

【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用，由已知条件构造函数，利用基本不等式求出最小值是解题的关键.

8．【答案】C

【解析】选项A，设，当时，，当且仅当时，取等号；

当时，，当且仅当时，取等号，故函数没有最小值；

选项B，，令，，函数在时单调递减，故当时是单调递减函数，所以，没有最小值；

选项C，，当且仅当时取等号，故符合题意；

选项D，令，令，而函数在时是单调递增函数，故当时，函数也单调递增，所以，不符合题意，

所以本题选C.

【名师点睛】本题考查了基本不等式和函数的单调性，利用基本不等式时，一定要注意三点：其一，必须是正数；其二，要有定值；其三，要注意等号成立的条件，简单记为一正二定三相等.

9．【答案】D

【解析】正实数，满足，

，

，当且仅当时取等号，

的最小值为，

故选D.

【名师点睛】本题考查了基本不等式的应用问题，解题的关键是，使它能利用基本不等式，是基础题目．

10．【答案】C

【解析】由成等差数列，可得，即，

则（当且仅当时取等号）；

由于在三角形中，且在上为减函数，所以角的取值范围是：.

故选C.

【名师点睛】本题考查余弦定理，等差数列的性质，以及基本不等式的应用，求解时，由成等差数列，可得，然后利用余弦定理表示出，进行化简后，利用基本不等式即可求出的最小值，根据的范围以及余弦函数的单调性，即可求出角的取值范围.

11．【答案】B

【解析】∵，∴，

∵，，

∴，当且仅当，即时等号成立.

故选B.

【名师点睛】本题主要考查均值定理的应用，构造均值定理的结构，利用均值定理求解最小值.使用均值定理求解最值时，一要注意每一项必须为正实数，二是要凑出定值，三是要验证等号成立的条件，三者缺一不可，尤其是等号不要忘记验证.

12．【答案】

【解析】∵实数是与的等比中项，

，即．

则，当且仅当，即时取等号．

故答案为:．

【名师点睛】本题考查了等比中项，均值不等式，1的代换是解题的关键.求解时，通过是与的等比中项得到，利用均值不等式求得最小值.

13．【答案】

【解析】，，

当即时等号成立.

故答案为.

【名师点睛】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.

14．【答案】

【解析】圆可化为，

则圆心为，半径为，

又因为直线被圆截得的弦长为，

所以直线过圆心，即，化为，

，当且仅当，即时取等号，

的最大值为，故答案为.

【名师点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及基本不等式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将弦长问题转化为直线过圆心是解题的关键.

15．【答案】

【解析】由可行域可得，当，时，目标函数取得最大值，，即，.当且仅当，即时取等号，

故答案为.

【名师点睛】本题考查了通过目标函数的最大值，得到参数之间的等式，求不等式最小值问题，关键是正确得到参数之间的等式.

16．【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）①当时，不等式的解集为，

②当时，不等式的解集为，

③当时，不等式的解集为.

（2）当时，令（当且仅当，即时取等号）.

故函数的最小值为.

【名师点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，函数的最小值，意在考查学生的综合应用能力.

17．【答案】（1）4米时，28800元；（2）．

【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，

则，

．

当且仅当，即时等号成立．

即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元．

（2）由题意可得，对任意的恒成立．

即，从而恒成立，

令，则，

又在时为单调增函数，故．

所以．

【名师点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

（1）设甲工程队的总造价为元，先求出函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值得解；

（2）由题意可得，对任意的恒成立，从而恒成立，求出左边函数的最小值即得解.

1．【答案】A

【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；

当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

2．【答案】

【解析】.

因为，

所以，

即，当且仅当时取等号成立.

又因为

所以的最小值为.

【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.

3．【答案】

【解析】由可知，且，

因为对于任意x，恒成立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.

综上可得的最小值为.

【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：

①，当且仅当时取等号；

②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．

4．【答案】9

【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，

因此

当且仅当时取等号，则的最小值为.

【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.

5．【答案】

【解析】，（前一个等号成立的条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时成立，当且仅当时取等号）．

【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．

6．【答案】

【解析】由直线 过点可得,

所以.当且仅当，即时等号成立.

【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件．在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式．

7．【答案】30

【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．

【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．