(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习43《独立性检验》(含详解)

这是一份(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习43《独立性检验》(含详解)，共23页。试卷主要包含了独立性检验，独立性检验的一般步骤，给出如下列联表，已知下列命题等内容，欢迎下载使用。

考点43 独立性检验
统计案例
了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用，并能解决一些实际问题.

1．列联表
设X，Y为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下：



总计

a
b
a＋b

c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d

2．独立性检验
利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
3．独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据列出列联表；
(2)计算随机变量的观测值k，查下表确定临界值k0：






















(3)如果，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，就认为在犯错误的概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”．
【注意】(1)通常认为时，样本数据就没有充分的证据显示“X与Y有关系”．
(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
(3)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．

考向一 两类变量相关性的判断
已知分类变量的数据，判断两类变量的相关性．可依据数据及公式计算，然后作出判断．

典例1 为了判断高中生选修理科是否与性别有关.现随机抽取50名学生，得到如下列联表：

根据表中数据，得到的观测值，若已知，，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由观测值，对照临界值得4.844＞3.841，
由于P（X2≥3.841）≈0.05，
∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%．
故选B．
【名师点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，解题的关键是正确理解观测值对应的概率意义．根据条件中所给的观测值，与所给的临界值进行比较，即可得出正确的判断．

1．有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性.这是真的么？某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：

男
女
合计
无
40
35
75
有
15
10
25
合计
55
45
100
附：.

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
据此表，可得
A．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足
B．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过
C．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足
D．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过
考向二 独立性检验与概率统计的综合
独立性检验是一种统计案例，是高考命题的一个热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为中档题，高考中经常是将独立性检验与概率统计相综合进行命题，解题关键是根据独立性检验的一般步骤，作出判断，再根据概率统计的相关知识求解问题.

典例2 某中学对高三甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：

现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀.
（1）试分别估计两个班级的优秀率;
（2）由以上统计数据填写下面列联表，并问是否有的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助？

参考公式及数据：，其中.
















【答案】（1）甲、乙两班的优秀率分别为和；（2）列联表见解析，没有的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.
【解析】（1）由题意知，甲、乙两班均有学生50人，
甲班优秀人数为30人，优秀率为，
乙班优秀人数为25人，优秀率为，
所以甲、乙两班的优秀率分别为和.
（2）列联表如下：

因为，
所以由参考数据知，没有的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.

2．某医院治疗白血病有甲、乙两套方案，现就70名患者治疗后复发的情况进行了统计，得到其等高条形图如图所示（其中采用甲、乙两种治疗方案的患者人数之比为．

（1）补充完整列联表中的数据，并判断是否有的把握认为甲乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响；

复发
未复发
总计
甲方案



乙方案
2


总计


70
（2）为改进“甲方案”，在甲方案中按分层抽样组成了由5名患者构成的样本，求随机抽取2名患者恰好是复发患者和未复发患者各1名的概率．
附：，其中.

0.05
0.01
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828


1．某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的2500名男性市民中有1000名持支持态度，2500名女性市民中有2000人持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是否支持与性别有关系时，用什么方法最有说明力
A．平均数与方差 B．回归直线方程
C．独立性检验 D．概率
2．某城市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况.为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：

根据图中（岁以上含岁）的信息，下列结论中不一定正确的是
A．样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通
B．样本中多数女性是岁以上
C．岁以下的男性人数比岁以上的女性人数多
D．样本中岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高
3．在研究打酣与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论，并且有以上的把握认为这个结论是成立的.下列说法中正确的是
A．100个心脏病患者中至少有99人打酣
B．1个人患心脏病，那么这个人有99%的概率打酣
C．在100个心脏病患者中一定有打酣的人
D．在100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有
4．为研究某两个分类变量是否有关系，根据调查数据计算得到，因为，则断定这两个分类变量有关系，那么这种判断犯错误的概率不超过
A．0.1 B．0.001
C．0.01 D．0.05
5．某村庄对该村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：

每年体检
每年未体检
合计
老年人

7

年轻人
6


合计


50
已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是
A． B．
C． D．
6．给出如下列联表：

患心脏病
患其他病
合 计
高血压
20
10
30
无高血压
30
50
80
合 计
50
60
110
已知，，参照公式，得到的正确结论是
A．有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病无关”
B．有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病有关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病无关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病有关”
7．假设有两个分类变量和的列联表为：



总计








总计



对同一样本，以下数据能说明与有关系的可能性最大的一组为
A． B．
C． D．
参考公式：，其中.
8．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有
参考公式：，其中.

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．12人 B．18人
C．24人 D．30人
9．某校为了研究学生的性别与对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是：有______的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．
附：，其中.
















10．已知下列命题：
①在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；
②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；
③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位；
④对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说， 越小，“与有关系”的把握程度越大．
其中正确命题的序号是__________．
11．某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：

微信控
非微信控
合计
男性
26
24
50
女性
30
20
50
合计
56
44
100
（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？
（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；
（3）从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.
参考数据：

0.10
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考公式： ，其中.





12．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表:

喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
40


女生

30

合计



已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
（1）请将上述列联表补充完整，并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢游泳与性别有关.
（2）已知在被调查的学生中有6名来自高一(1)班，其中4名喜欢游泳，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰有1人喜欢游泳的概率.
附：

0.10
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828











13．某工厂每年定期对职工进行培训以提高工人的生产能力（生产能力是指一天加工的零件数）．现有、两类培训，为了比较哪类培训更有利于提高工人的生产能力，工厂决定从同一车间随机抽取100名工人平均分成两个小组分别参加这两类培训．培训后测试各组工人的生产能力得到如下频率分布直方图．

（1）记表示事件“参加类培训工人的生产能力不低于130件”，估计事件的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为工人的生产能力与培训类有关：

生产能力件
生产能力件
总计
类培训


50
类培训


50
总计


100
（3）根据频率分布直方图，判断哪类培训更有利于提高工人的生产能力，请说明理由．
参考数据：

0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
0.005

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
参考公式：，其中.




1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828














2．(2017年高考新课标Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）， 其频率分布直方图如下：

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法


新养殖法


（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附：
P（）
0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828
.









3．(2018年高考新课标Ⅲ卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：

超过
不超过
第一种生产方式


第二种生产方式


（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：，


















变式拓展

1．【答案】A
【解析】由表中数据，计算K20.3367＜0.455，
∴认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足.
故选A.
【名师点睛】本题考查独立性检验的应用，关键是理解独立性检验的思路．由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论.
2．【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）根据题意知，70名患者中采用甲种治疗方案的患者人数为50人，采用乙种治疗方案的患者人数为20人，
补充完整列联表中的数据，如下所示：

复发
未复发
总计
甲方案
20
30
50
乙方案
2
18
20
总计
22
48
70
计算得，，
所以没有的把握认为甲、乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响.
（2）在甲种治疗方案中按分层抽样抽取5名患者，复发的抽取2人，记为、；
未复发的抽取3人，记为、、，
从这5人中随机抽取2人，基本事件为：
、、、、、、、、、，共10种，
其中2人恰好是复发患者和未复发患者各1名的基本事件为：
、、、、、，共6种，
则所求的概率为．
【名师点睛】本题考查列联表、卡方计算、分层抽样以及古典概型的概率计算，考查基本分析求解能力，属中档题.求解时，（1）根据条件确定对应项数据，填入表格得列联表，根据卡方公式得值，对照参考数据确定把握率，（2）先根据分层抽样确定样本数，再根据枚举法确定样本总数以及所求事件包含的样本数，最后根据古典概型概率公式得结果.
考点冲关

1．【答案】C
【解析】独立性检验研究的是两个分类变量之间的相关关系，所以市民对在公共场合禁烟是否支持与性别有关系时，用独立性检验最有说明力.
【名师点睛】本题考查对独立性检验概念的理解，属于简单题.
2．【答案】C
【解析】由左图知，样本中的男性数量多于女性数量，A正确；
由右图知女性中岁以上的占多数，B正确；
由右图知，岁以下的男性人数比岁以上的女性人数少，C错误；
由右图知样本中岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高，D正确．
故选C．
【名师点睛】本题考查了等高条形图的应用问题，也考查了对图形的认识问题，是基础题．根据两幅图中的信息，对选项中的命题判断正误即可．
3．【答案】D
【解析】利用独立性检验的结论可得：若“打酣与患心脏病有关”的结论，并且有以上的把握认为这个结论是成立的，则在100个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有.
本题选择D选项.
【名师点睛】独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．
4．【答案】B
【解析】由题意，根据调查数据计算得到，
因为，
所以这种判断犯错误的概率不超过，故选B．
【名师点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，其中解答中熟记独立性检验的概念和含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】因为，
所以.
故选D.
【名师点睛】本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.先根据列联表列方程组，解得a,b,c,d,e,f再判断各选项.
6．【答案】B
【解析】由列联表中的数据可得，
，
有的把握认为高血压与患心脏病有关，即有的把握认为高血压与患心脏病有关，故选B.
【名师点睛】本题考查独立性检验的应用，属于基础题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；（3）查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.
7．【答案】D
【解析】将表格中的数据和选项中提供的数据代入公式：中并计算可得，选项A：，
选项B：，
选项C：，
选项D：，
所以，即由选项D中的数据得到的值最大，也就能说明与有关系的可能性最大，故选D.
8．【答案】B
【解析】设男生人数为，则女生人数为，

喜欢抖音
不喜欢抖音
总计
男生



女生



总计



所以，又男女人数为整数，故选B.
【名师点睛】本题考查了独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.
9．【答案】99
【解析】因为>6.635，，对照表格得到有99%的把握认为学生性别与是否支持该活动有关系．
故答案为99.
【名师点睛】本题考查独立性检验，解题时注意利用表格数据与观测值比较，这是一个基础题．
10．【答案】①②③
【解析】①相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好，是正确的；
②两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近于1，是正确的；
③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位是正确的，因为回归方程，并不是样本点都落在方程上，故只能是估计值，所以说是平均增长；
④对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越小，故原命题错误.
故答案为：①②③.
11．【答案】（1）没有的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）“微信控”有3人，“非微信控”有2人；（3）.
【解析】（1）由2×2列联表可得：
，
所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关.
（2）根据题意所抽取的5位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人.
（3）设事件“从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人，抽取3人中恰有2人是’微信控’”.
抽取的5位女性中，“微信控”的3人分别记为；“非微信控”的2人分别记为.
则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：，共有10种；
抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为：
，共有6种，
所以.
【名师点睛】本小题主要考查联表、独立性检验的知识，考查分层抽样，考查利用列举法求古典概型，属于中档题.求解时，（1）计算的值，对比题目所给参考数据可以判断出没有的把握认为“微信控”与“性别”有关.（2）女性用户中，微信控和非微信控的比例为，由此求得各抽取的人数.（3）利用列举法以及古典概型的概率计算公式，即可求得抽取人中恰有人是“微信控”的概率.
12．【答案】（1）列联表见解析，可以；（2）.
【解析】（1）根据条件可知喜欢游泳的人数为人.
完成列联表：

喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合计
60
40
100
根据表中数据，计算
所以可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢游泳与性别有关.
（2）设“恰有一人喜欢游泳”为事件A，设4名喜欢游泳的学生为，不喜欢游泳的学生为，基本事件总数有15种：
，
其中恰有一人喜欢游泳的基本事件有8种：
，
所以.
【名师点睛】本题考查了独立性检验与运算求解能力，同时考查通过列举法求概率的应用，属于中档题.
（1）根据题意计算喜欢游泳的学生人数，求出女生、男生多少人，完善列联表，再计算观测值，对照临界值表即可得出结论；
（2）设“恰有一人喜欢游泳”为事件A，设4名喜欢游泳的学生为，不喜欢游泳的学生为，通过列举法即可得到答案.
13．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】（1）由频率分布直方图，用频率估计概率得，所求的频率为，
估计事件的概率为.
（2）类培训生产能力件的人数为，
类培训生产能力件的人数为，
类培训生产能力件的人数为，
类培训生产能力件的人数为，
可得列联表如下：

生产能力件
生产能力件
总计
类培训
36
14
50
类培训
12
38
50
总计
48
52
100
由列联表计算，
所以有的把握认为工人的生产能力与培训类有关.
（3）根据频率分布直方图知，类生产能力在130以上的频率为0.28，
类培训生产能力在130以上的频率为0.76，
判断类培训更有利于提高工人的生产能力．
【名师点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．求解时，（1）由频率分布直方图用频率估计概率，求得对应的频率值，用频率估计概率即可；（2）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）根据频率分布直方图，判断、类生产能力在130以上的频率值，比较得出结论．
直通高考

1．【答案】（1）男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为，；（2）有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，
因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为．
女顾客中对该商场服务满意的比率为，
因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为．
（2）由题可得．
由于，
故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
2．【答案】（1）0.62；（2）列联表见解析，有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）新养殖法优于旧养殖法.
【解析】（1）旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62.
因此，事件A的概率估计值为0.62.
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量＜50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
K2=.
由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.
【名师点睛】（1）频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，所有小长方形面积之和为1.
（2）频率分布直方图中均值等于组中值与对应概率乘积的和.
（3）均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性.
3．【答案】（1）第二种生产方式的效率更高，理由见解析；（2）见解析；（3）能.
【解析】（1）第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
（2）由茎叶图知.
列联表如下：

超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
（3）由于，
所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.