2020-2021学年湖北省武汉市江岸区八年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市江岸区八年级（下）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年湖北省武汉市江岸区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共10小题）
1．（3分）的值为（　　）
A．25 B．±5 C．﹣5 D．5
2．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞4 B．x≥4 C．x≤4 D．x≠4
3．（3分）在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝12，b＝5，c＝13
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝7，b＝24，c＝25
4．（3分）下列说法错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
5．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）已知平行四边形ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
7．（3分）如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　）

A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．将矩形沿AC折叠，CD′与AB交于点F，则AF：BF的值为（　　）

A．2 B． C． D．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝7，AD＝5，E为对角线BD上的一动点，以E为直角顶点，AE为直角边做等腰Rt△AEF，（A，E，F按逆时针方向排列），当点E从点D运动到点B时，点F的运动路径长是（　　）

A．12 B．2 C．18 D．2
10．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中：①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEF．一定成立的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共6小题）
11．（3分）计算：（）（）＝　 　．
12．（3分）如图，Rt△DAB，∠DAB＝90°，∠D＝36°，O为DB中点，则∠BAO＝　 　．

13．（3分）等边三角形的边长是8，这个三角形的面积为　 　．
14．（3分）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长为　 　．

15．（3分）菱形ABCD的周长为24，∠ABC＝60°，以AB为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE，连接AC，CE，则△ACE的面积为　 　．
16．（3分）已知a，b均为正数，且a+b＝8，求的最小值 　 　．
三、解答题（共8小题）
17．（8分）+﹣．
18．（8分）先化简，再求值：，其中a＝+1．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

20．（8分）如图是边长为1的小正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、C均在格点上，且AC＝5，请选择适当的格点，只用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，并保留作图痕迹．
（1）过点A画线段AB，使AB＝AC（点B在格点上），并且AB在AC上方；
（2）在（1）的条件下，请画出∠BAC的角平分线；
（3）在（1）的条件下，请画出以AB为一边的矩形ABMN，满足S矩形ABMN＝2S△ABC．

21．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．
（1）求证：四边形ABGE是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，AD＝5，求CF的长．

22．（10分）如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD＝60°，连接CF．
（1）求证：DG＝CF；
（2）如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化，请说明理由．

23．（10分）对于任意正实数⩾0，∴a﹣2+b⩾0，∴a+b⩾2，只有a＝b时，等号成立．结论：在a+b⩾2均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b⩾2，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：
（1）初步探究：若n＞0，只有当n＝　 　时，n+有最小值　 　；
（2）深入思考：下面一组图是由4个全等的矩形围成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的长和宽分别为a，b，试利用大正方形与四个矩形的面积的大小关系，验证a+b≥2，并指出等号成立时的条件；

（3）拓展延伸：如图，已知A（﹣6，0），B（0，﹣8），点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形OCPD的面积始终为48，求四边形ABCD面积的最小值以及此时P点的坐标．

24．（12分）已知平行四边形OABC，如图1，A（a，b），其中a，b满足+b2﹣10b+25＝0，AB与y轴交于点D．
（1）直接写出A点坐标　 　；
（2）如图2，点Q，P分别为x轴，y轴上的点，将△POQ沿PQ折叠使O恰好落在BA边上的E点，过E作EF∥y轴交PQ于点T，交OC于点F．
①求证：TF＝PD；
②若设T（x，y），求x，y的关系式；
（3）如图3，等腰Rt△MND，∠DNM＝90°，连接MA，S为MA的中点，连接NS，MO，探究NS，MO的关系．


2020-2021学年湖北省武汉市江岸区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共10小题）
1．（3分）的值为（　　）
A．25 B．±5 C．﹣5 D．5
【解答】解：．
故选：D．
2．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞4 B．x≥4 C．x≤4 D．x≠4
【解答】解：由题意得，x﹣4≥0，
解得，x≥4，
故选：B．
3．（3分）在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝12，b＝5，c＝13
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝7，b＝24，c＝25
【解答】解：A、42+52≠62，故不是直角三角形；
B、52+122＝132，故是直角三角形；
C、62+82＝102，故是直角三角形；
D、72+242＝252，故是直角三角形．
故选：A．
4．（3分）下列说法错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线相等
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【解答】解：选项A，平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
选项B，矩形的对角线互相平分且相等，不符合题意；
选项C，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，不符合题意；
选项D，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合题意．
故选：D．
5．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、原式＝2，不符合题意；
B、原式＝3，不符合题意；
C、原式＝2，符合题意；
D、原式不能化简，不符合题意．
故选：C．
6．（3分）已知平行四边形ABCD中，∠B＝4∠A，则∠C＝（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A，BC∥AD，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝4∠A，
∴∠A＝36°，
∴∠C＝∠A＝36°，
故选：B．
7．（3分）如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　）

A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm
【解答】解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，
运用勾股定理得：
BC2＝（15﹣3）2+（20﹣4）2＝122+162＝400，
所以BC＝20．
则剪去的直角三角形的斜边长为20cm．
故选：D．

8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．将矩形沿AC折叠，CD′与AB交于点F，则AF：BF的值为（　　）

A．2 B． C． D．
【解答】解：设BF＝x，
∵将矩形沿AC折叠，
∴∠DCA＝∠ACF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，
∴FA＝FC＝8﹣x，
在Rt△BCF中，∵CF2＝BC2+BF2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴BF＝3，
∴AF＝5，
∴AF：BF的值为，
故选：B．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝7，AD＝5，E为对角线BD上的一动点，以E为直角顶点，AE为直角边做等腰Rt△AEF，（A，E，F按逆时针方向排列），当点E从点D运动到点B时，点F的运动路径长是（　　）

A．12 B．2 C．18 D．2
【解答】解：延长BC到G，使得CG＝2，
连接AG，
则△ABG是等腰直角三角形，
∴∠BAG＝45°，，
∵等腰Rt△AEF，
∴∠EAF＝45°，，
∴，∠BAE＝∠GAF，
∴△FAG∽△EAB，
∴∠FGA＝∠DBA，FG＝，
∴点F在线段上运动，
又∵当点E从点D运动到点B时，
∴点F的运动路径长为，
在Rt△ABD中，∵AD＝5，AB＝7，
∴，
∴，

故选：B．
10．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中：①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF；④∠DFE＝4∠AEF．一定成立的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴CF＝EF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，
故③正确；
④设∠FEC＝x，
∵CE⊥AB，AB∥CD，
∴∠ECD＝∠BEC＝90°，
∵F 是EG的中点，
∴FC＝FE，
∴∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④错误．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共6小题）
11．（3分）计算：（）（）＝　2　．
【解答】解：（）（）＝（）2﹣1＝3﹣1＝2．
12．（3分）如图，Rt△DAB，∠DAB＝90°，∠D＝36°，O为DB中点，则∠BAO＝　54°　．

【解答】解：∵∠DAB＝90°，O为DB中点，
∴AO＝DO，
∴∠DAO＝∠D，
又∵∠D＝36°，
∴∠DAO＝36°，
∴∠BAO＝∠BAD﹣∠DAO＝90°﹣36°＝54°，
故答案为：54°．
13．（3分）等边三角形的边长是8，这个三角形的面积为　16　．
【解答】解：如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，

∴AB＝CB＝8，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝4，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝4，
∴S△ABC＝BC•AD＝×8×4＝16．
故答案为：16．
14．（3分）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长为　18　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝10，
∵AO＝OC，
∴BO＝AC＝5，
∵AO＝OC，AM＝MD＝4，
∴OM＝CD＝3，
∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．
故答案为18．

15．（3分）菱形ABCD的周长为24，∠ABC＝60°，以AB为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE，连接AC，CE，则△ACE的面积为　9或9+9　．
【解答】解：①如图1，延长EA交DC于点F，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB＝BC＝6，
∵∠ABC＝60°，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
当EA⊥BA时，△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝AC＝6，∠EAC＝90°+60°＝150°，
∴∠FAC＝30°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠AFC＝90°，
∴CF＝AC＝3，
则△ACE的面积为：AE×CF＝6×3＝9；

②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，
由①可知：
∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝90°+60°＝150°，
∵AB＝BE＝BC＝6，
∴∠BEC＝∠BCE＝15°，
∴∠AEF＝45°﹣15°＝30°，∠ACE＝60°﹣15°＝45°，
∴AF＝AE，AF＝CF＝AC＝3，
∵AB＝BE＝6，
∴AE＝6，
∴EF＝＝3，
∴EC＝EF+FC＝3+3
则△ACE的面积为：EC×AF＝（3+3）×3＝9+9．
故答案为：9或9+9．
16．（3分）已知a，b均为正数，且a+b＝8，求的最小值 　10　．
【解答】解：将a+b＝8转化为a＝8﹣b，代入得，+，
可理解为点P（b，0）到A（8，3）与C（0，3）的距离．
如图：找到C关于x轴的对称点B（0，﹣3），
可见，AB的长即为求代数式的最小值．
∵AB＝＝10，
∴代数式的最小值为10．
故答案为：10．

三、解答题（共8小题）
17．（8分）+﹣．
【解答】解：原式＝2+4﹣
＝5．
18．（8分）先化简，再求值：，其中a＝+1．
【解答】解：原式＝3a﹣a2+a2﹣3＝3a﹣3，
当a＝+1时，原式＝3+3﹣3＝3．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

【解答】证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
又∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣CF，
即EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形．

20．（8分）如图是边长为1的小正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、C均在格点上，且AC＝5，请选择适当的格点，只用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，并保留作图痕迹．
（1）过点A画线段AB，使AB＝AC（点B在格点上），并且AB在AC上方；
（2）在（1）的条件下，请画出∠BAC的角平分线；
（3）在（1）的条件下，请画出以AB为一边的矩形ABMN，满足S矩形ABMN＝2S△ABC．

【解答】解：（1）如图1中，线段AB即为所求作．
（2）如图2中，射线AT即为所求作．


（3）如图3中，矩形ABMN即为所求作．

21．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．
（1）求证：四边形ABGE是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，AD＝5，求CF的长．

【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC且AD＝BC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠CBE，∴AB＝AE，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝∠GFB＝90°，
在△ABF和△GBF中，，
∴△ABF≌△GBF（ASA），
∴AB＝GB，
∴AE＝GB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABGE是平行四边形，
又∵AB＝GB，
∴四边形ABGE是菱形；

（2）解：过点F作FM⊥BC于点M，如图所示：
∵四边形ABGE是菱形，
∴∠GBE＝∠ABC＝30°，BG＝AB＝4，BC＝AD＝5，
在Rt△BFG中，BF＝cos∠GBF×BG＝cos30°×4＝×4＝2，
在Rt△BFM中，FM＝BF＝×2＝，
BM＝cos∠GBF×BF＝cos30°×BF＝×2＝3，
∴CM＝BC﹣BM＝5﹣3＝2，
∴Rt△FMC中，CF＝＝＝．

22．（10分）如图1，菱形AEFG的两边AE、AG分别在菱形ABCD的边AB和AD上，且∠BAD＝60°，连接CF．
（1）求证：DG＝CF；
（2）如图2，将菱形AEFG绕点A进行顺时针旋转，在旋转过程中（1）中的结论是否发生变化，请说明理由．

【解答】解：（1）延长EF交CD于H，过点H作HN⊥CF于N，

∵四边形ABCD和四边形AEFG是菱形，
∴AE＝AG＝GF，AD＝AB＝CD＝BC，AG∥EF，AE∥GF∥CD，∠BAD＝60°＝∠BCD，
∴四边形BEHC是平行四边形，四边形DHFG是平行四边形，∠DHE＝∠BCD＝60°，
∴DG＝FH，BC＝EH，CH＝FH，
∴AB﹣AE＝EH﹣EF，
∴BE＝FH＝CH，
∴∠HFC＝∠HCF＝30°，
又∵HN⊥CF，FH＝CH＝DG，
∴HF＝2HN＝DG，FN＝HN，FN＝NC＝CF，
∴DG＝CF；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图2，把△ADG绕着点D逆时针旋转120°得到△DCH，连接GH，作DN⊥AH于N，

∴AG＝CH，∠AGD＝∠CHD，
∵四边形AEFG是菱形，
∴AG＝FG，∠AGF＝120°，
∴CH＝GF，
∵∠GDH＝120°，DG＝DH，DN⊥HG，
∴∠DGH＝∠DHG＝30°，GN＝NH，
∴DG＝2DN，GN＝DN，GH＝2GN，
∴HG＝DG，
∴∠CHG＝∠CHD﹣∠DHG＝∠CHD﹣30°，∠HGF＝360°﹣∠AGF﹣∠AGD﹣∠DGH＝360°﹣120°﹣∠AGD﹣30°＝210°﹣∠AGD，
∴∠CHG+∠HGF＝180°，
∴CH∥FG，
∴四边形CHGF是平行四边形，
∴CF＝HG，CF∥HG，
∴CF＝DG．
23．（10分）对于任意正实数⩾0，∴a﹣2+b⩾0，∴a+b⩾2，只有a＝b时，等号成立．结论：在a+b⩾2均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b⩾2，只有当a＝b时，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：
（1）初步探究：若n＞0，只有当n＝　1　时，n+有最小值　2　；
（2）深入思考：下面一组图是由4个全等的矩形围成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的长和宽分别为a，b，试利用大正方形与四个矩形的面积的大小关系，验证a+b≥2，并指出等号成立时的条件；

（3）拓展延伸：如图，已知A（﹣6，0），B（0，﹣8），点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形OCPD的面积始终为48，求四边形ABCD面积的最小值以及此时P点的坐标．

【解答】解：（1）∵n×＝1，
∴n+≥2•．
即n+≥2．
∵n＞0，
∴当n＝，即n＝1时，n+有最小值2．
故答案为：1，2．
（2）∵4个全等的矩形的长和宽分别为a，b，
∴4S矩形＝4ab．
∵4个全等的矩形围成的大正方形，
∴S正方形＝（a+b）2．
由拼图可以看出：S正方形≥4S矩形．
即（a+b）2≥4ab．
∴≥．
∴a+b≥2．
由拼图可以看出：当a＝b时，中间的小正方形的面积为0，
此时大正方形的面积等于四个全等矩形的面积．
∴等号成立的条件是：a＝b．
（3）设P（m，n），
由题意，m＞0，n＞0．
∴OC＝m，OD＝n．
∵矩形OCPD的面积始终为48，
∴mn＝48．
∴n＝．
∵A（﹣6，0），B（0，﹣8），
∴OA＝6，OB＝8．
∴S四边形ABCD＝S△OAD+S△OAB+S△OBC+S△OCD
＝×6×+×6×8+×8×m+×m×
＝+24+4m+24
＝+4m+48≥48+2•．
即当4m＝时，S四边形ABCD≥96．
∴当m＝6时，四边形ABCD的面积有最小值为96．
此时点P的坐标为（6，8）．
24．（12分）已知平行四边形OABC，如图1，A（a，b），其中a，b满足+b2﹣10b+25＝0，AB与y轴交于点D．
（1）直接写出A点坐标　（5，5）　；
（2）如图2，点Q，P分别为x轴，y轴上的点，将△POQ沿PQ折叠使O恰好落在BA边上的E点，过E作EF∥y轴交PQ于点T，交OC于点F．
①求证：TF＝PD；
②若设T（x，y），求x，y的关系式；
（3）如图3，等腰Rt△MND，∠DNM＝90°，连接MA，S为MA的中点，连接NS，MO，探究NS，MO的关系．

【解答】解：∵+b2﹣10b+25＝0，
∴+（b﹣5）2＝0，
∴a＝5，b＝5，
∴点A（5，5），
故答案为（5，5）；
（2）①∵将△POQ沿PQ折叠，
∴PE＝PO，QE＝QO，∠EPQ＝∠OPQ，
∴QP垂直平分EO，
∴ET＝TO，EP＝PO，
∵AB∥CD，EF∥DO，
∴四边形DEFO是平行四边形，
∴DE＝FO，EF＝DO，
∵EF∥DO，
∴∠ETP＝∠TPO＝∠TPE，
∴ET＝EP，
∴ET＝EP＝PO＝TO，
∴四边形EPOT是菱形，
∴ET＝PO，
∴TF＝DP；
②∵点A（5，5），AD∥x轴，
∴OD＝EF＝5，
∵∠DOF＝90°，EF∥DO，
∴∠EFO＝90°，
∴FO2+TF2＝TO2＝ET2，
∵T（x，y），
∴x2+y2＝（5﹣y）2，
∴y＝；
（3）NS＝MO，NS⊥MO，
理由如下：
如图3，延长MN至E，使NE＝MN，连接AE，DE，延长MO交AE于点H，

∵MN＝NE，点S是AM的中点，
∴NS＝AE，NS∥AE，
∵NM＝NE，∠MND＝90°，
∴MD＝ME，
∴∠DMN＝∠DEM＝45°，
∴∠MDE＝90°，
∵点A（5，5），
∴AD＝DH＝5，
∵∠MDE＝∠ADH＝90°，
∴∠MDO＝∠ADE，
又∵MD＝ME，DH＝DA，
∴△MDO≌△EDA（SAS），
∴MO＝AE，∠DMO＝∠DEA，
∴NS＝MO，
∵∠DMO+∠HME+∠DEM＝90°，
∴∠DEA+∠HME+∠DEM＝90°，
∴∠MHE＝90°，
∴MH⊥AE，
又∵NS∥AE，
∴NS⊥MO．
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