高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算教案设计

【新教材】6.2.3 向量的数乘运算

教学设计（人教A版）

实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算，也叫向量的初等运算，是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量，要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的，定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别：向量的平行要与平面中直线的平行区别开。

课程目标

1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；

2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；

3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.

数学学科素养

1.数学抽象：向量数乘概念；

2.逻辑推理：向共线的充要条件及其应用；

3.数学运算：向量的线性运算；

4.数学建模：用已知量表示未知量中从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.

重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；

难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本13-16页，思考并完成以下问题

1、向量数乘的定义及其几何意义是什么？

2、向量数乘运算满足哪三条运算律？

3、向量共线定理是怎样表述的？

4、向量的线性运算是指的哪三种运算？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1、定义

　　实数与向量的积是一个向量，记作. 它的长度和方向规定如下：

　　（1）.

　　（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.

2、实数与向量的积的运算律

设、为任意向量，、为任意实数，则有：

（1）；　

（2）；　

（3）.

3、向量平行的充要条件：

向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.

四、典例分析、举一反三

题型一  向量的线性运算

例1 化简下列各式：

(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；

(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．

【答案】(1) 14a－9b.    (2)－2a＋4b.

【解析】(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b.

(2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)

＝(－12a＋24b)

＝－2a＋4b.

解题技巧（向量线性运算的方法）

(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．

(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．

跟踪训练一

1、设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．

2、已知a与b，且5x＋2y＝a,3x－y＝b，求x，y.

【答案】1、－i－5j.    2、．

【解析】1、原式＝a－b－a＋b＋2b－a

＝a＋b

＝－a＋b

＝－(3i＋2j)＋(2i－j)

＝－i－5j.

2、联立方程组解得

题型二  向量线性运算的应用

例2 如图所示，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，.

【答案】　　－a＋b＋c.  ＝a－b－c.

【解析】　＝＋＋＝－a＋b＋c.

∵＝＋＋，

又＝－，＝－，＝，

∴＝a－b－c.

解题技巧： (用已知向量表示未知向量)

用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用．

跟踪训练二

1、如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.

【答案】＝a.   ＝－a＋b.   ＝a－b.

【解析】由三角形中位线定理，知DE平行且等于BC，故＝，

即＝a.

＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.

＝＋＋＝＋＋

＝－a－b＋a＝a－b.

题型三  共线定理的应用

例3　已知非零向量e1，e2不共线．

(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；

(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．

【答案】（1）见解析，（2）k＝±1.

【解析】　(1)证明：∵＝e1＋e2，

＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.

∴，共线，且有公共点B．

∴A，B，D三点共线．

(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，

∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.

∵e1与e2不共线，∴解得k＝±1.

解题技巧（用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路）

(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；

(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量＝λ，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．

跟踪训练三

1、已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；

2、已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值．

【答案】1、见解析.2、x＋y＝1.

【解析】1、证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，

∴＝－＝e1－4e2.

又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，

∴＝2，∴∥.

∵AB与BD有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

2、解 由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使＝λ，

即－＝λ(－)，

所以＝(1－λ)＋λ，

故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本15、16页练习，22页习题6.2的8，9，12，13，14，15题.

向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线就可以用点A和某个向量表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.