高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件教课内容ppt课件

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什么是充分条件和必要条件？如何判断？
思考下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则ac<0；（4）若A∪B是空集，则A与B均是空集.
逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题， “若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.
不难发现，上述命题中的命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题，命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题，命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题.
充要条件的概念：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. 显然如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.
概括地说，如果 ，那么p与q互为充要条件. 上述命题（1）（4）中的p与q互为充要条件
判断 要判断p是不是q充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.
例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p:xy>0，q:x>0，y>0；（4）p: 是一元二次方程 的一个根，q：
解：（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形（为什么），所以 ，所以p不是q的充要条件.
（2）因为“若p,则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即 ，所以p是q的充要条件.
（3）因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立（为什么），所以 , 所以p不是q的充要条件.
（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即 ，所以p是q的充要条件.
探究：通过上面的学习，你能给出四边形是平行四边形的充要条件吗？
另外，我们在看平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，
能，可以发现“四边形的两组对角分别相等”，“四边形的两组对边分别相等”，“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”，既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件.
它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件.
思考：可以给出平行四边形的其他定义形式吗？
上面这些充要条件从不同角度刻画了平行四边形这个概念，据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式，例如：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；对角线互相平分的四边形叫做平行四边形.
类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义形式，而且这些定义是相互等价的；同样，利用“两个三角形相似”的充要条件，可以给出“相似三角形”其他定义形式，这些定义也是相互等价的，等等.
例4 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.
分析 设p：d=r，q：直线l与⊙O相切. 要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（ ）和必要性（ ）即可.
证明：设p：d=r，q：直线l与⊙O相切.
（1）充分性（ ）：如图1.4-2，作OP⊥l于点P，则OP=d. 若d=r，则点p在⊙O上. 在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ. 在RtΔOPQ中，OQ>OP=r，所以，除点P外，直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O相切.
（2）必要性（ ）：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l. 因此d=OP=r.由1 2可得d=2是直线l与圆相切的充要条件
由（1）（2）可得d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.
拓展：充分条件与必要条件的几种判断方法
1、定义法：定义法是判断充要条件最根本，最适用的方法，步骤如下：
（1）分清条件与结论（p与q）；（2）找推式：即判断“若p，则q”及“若q，则p”的真假；（3）下结论：
2、集合法：若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则
3、特殊值法：对于选择题可以取一些特殊值或特殊情况来说明由条件（结论）不能推出结论（条件），但是这种方法不适用于证明题.
下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；（2）p： ⊙O内两条弦相等，q： ⊙O内两条弦所对的圆周角相等；（3）p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集.
分别写出两个三角形全等和两个三角相似的几个充要条件.
（1）p是q的充要条件
（2）p是q的充要条件
（3）p不是q的充要条件
两个三角形全等的充要条件:①两个三角形三边对应相等， ②两个三角形两边及其夹角对应相等， ③两个三角形两角与一边对应相等。
两个三角形相似的充要条件:①有两个三角形三角分别相等，②两个三角形三边对应成比例，③两个三角形两边对应成比例，且夹角相等。
3. 证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
证明：设p：AC=BD，q:梯形ABCD为等腰梯形.
（1）充分性（ ）: 过点D作DE//AC，与BC的延长线交于点E. 如图所示，已知AD//CE，∴四边形ACDE为平行四边形， ∴ AC=ED， 又AC=BD， ∴ BD=ED， ∴ ∠E= ∠ACB， ∴ ∠ACB= ∠DBC， 又AC=DB，BC=CB， ∴ ΔACB ≌ ΔDBC， ∴ AB=DC， ∴梯形ABCD为等腰梯形.
（2）必要性（ ）：在等腰梯形ABCD中，易知AB=DC， ∠ABC=∠DCB，又BC=CB， ∴ Δ ABC ≌ ΔDCB， ∴ AC=DB.
由（1）（2）可得梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.