2020-2021学年第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算达标测试

第一章　1.1　1.1.1

A级——基础过关练

1．如图，平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则下列等式成立的是(　　)

A．＋＝ B．＋＝

C．－＝ D．－＝

【答案】D

【解析】－＝＝．故选D．

2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有(　　)

①＋与＋是一对相反向量；

②－与－是一对相反向量；

③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；

④－与－是一对相反向量．

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．

3．已知不共线向量e1，e2，＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则一定共线的三个点是(　　)

A．A，B，D B．A，B，C

C．B，C，D D．A，C，D

【答案】A

【解析】因为＝＋＝(－5e1＋6e2)＋(7e1－2e2)＝2e1＋4e2＝2(e1＋2e2)＝2，又因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线．

4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(－)－；②(＋)－；③(＋)＋．其中能够化简为向量的共有(　　)

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

【答案】C

【解析】①(－)－＝－＝；②(＋)－＝＋＝；③(＋)＋＝＋＋＝≠．故选C．

5．以下命题：

①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．

其中正确命题的序号是(　　)

A．①③ B．②④

C．③④ D．②③

【答案】B

【解析】对于①由共线向量的定义知两个共线向量是指方向相同或相反的向量，不一定在同一直线上，故①错误；同理③错误；对于②④由共线向量、共面向量的定义易知正确．故选B．

6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列关于的表达式：

①＋＋；②＋＋；

③＋＋；④(＋)＋．

正确的个数是(　　)

A．1 B．3

C．2 D．4

【答案】C

【解析】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可知＝＋＋，又因为＝，故①正确；对于②，＋＋＝＋＋＝，故②错误；同理③错误；对于④，易得(＋)＋＝＋＝，故④正确，故共有2个正确．故选C．

7．(多选)在下列条件中，使点M与A，B，C不一定共面的是(　　)

A．＝3－2－ B．＋＋＋＝0

C．＋＋＝0 D．＝－＋

【答案】ABD

【解析】对于选项C，因为＋＋＝0，所以＝－－，所以点M与A，B，C必共面．其他选项均得不到点M与A，B，C一定共面．

8．如图，在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于________．

【答案】3

【解析】－＋＝－(－)＝－＝＋＝＋2＝3．

9．设M是△ABC的重心，记＝a，＝b，＝c，则＝________．

【答案】(c－b)

【解析】设D是BC边中点，因为M是△ABC的重心，所以＝．而＝(＋)＝(c－b)，所以＝(c－b)．

10．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1中点，化简下列各式：

(1)＋；

(2)＋＋；

(3)＋－．

解：(1)＋＝．

(2)＋＋＝＋＋＝．

(3)＋－＝＋＋＝＋＋＝0．

B级——能力提升练

11．已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外任一点O，若＋＝3－，则点P与A，B，M(　　)

A．共面 B．共线

C．不共面 D．不确定

【答案】A

【解析】原式变形为－＝(－)＋(－)，即＝－－．因为，不共线，所以，，共面，即点P与A，B，M共面．

12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x，y的值分别是(　　)

A．1， B．，1

C．2， D．，2

【答案】A

【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)，则x＝1，y＝．故选A．

13．给出命题：

①若a与b共线，则a与b所在的直线平行；

②若三个向量两两共面，则这三个向量共面；

③若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，＝＋＋，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC的内部．

其中为真命题的是________．

【答案】③

【解析】①中a与b所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②如三棱锥一个顶点上的三条棱看作三个向量，则它们不共面；③如图，A，B，C，M四点共面，因为＋＋＝，等式两边同时加上，则(＋)＋(＋)＋(＋)＝0，即＋＋＝0，＝－－＝－(＋)，设E为BC中点，则＝－2，即AM＝2ME，所以M是△ABC的重心，所以点M在平面ABC上，且在△ABC的内部，故③是真命题．

14．已知三棱锥O－ABC，D是BC中点，P是AD中点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________，x＝________．

【答案】1　

【解析】如图，＝(＋)＝＝＋＋＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝，所以x＋y＋z＝1，x＝．

15．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：

(1)＝＋x＋y；

(2)＝x＋y＋．

解：如图，(1)因为＝－＝－(＋)＝－－，所以x＝y＝－．

(2)因为＋＝2，

所以＝2－．

又因为＋＝2，

所以＝2－．

从而有＝2－(2－)＝2－2＋．

所以x＝2，y＝－2．