高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用第2课时练习

第一章　1.4　1.4.2　第2课时

A级——基础过关练

1．平面α的一个法向量为n＝(1，－，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】y轴的一个方向向量为m＝(0，1，0)，cos〈m，n〉＝＝＝－．所以〈m，n〉＝，所以y轴与平面α所成角的大小为－＝．

2．(2021年太原检测)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则O(1，1，0)，E(0，2，1)，D1(0，0，2)，F(1，0，0)．所以＝(－1，1，1)，＝(－1，0，2)，所以cos〈，〉＝＝＝．所以异面直线OE与FD1所成的角的余弦值等于．

3．(2021年衢州检测)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．设AA1＝2AB＝2a，则B(a，0，0)，D(0，a，0)，C1(a，a，2a)，C(a，a，0)．所以＝(－a，0，0)，＝(－a，a，0)，＝(0，a，2a)，设平面BDC1的法向量n＝(x，y，z)，则即令y＝2，则x＝2，z＝－1．所以平面BDC1的一个法向量n＝(2，2，－1)．设CD与平面BDC1所成的角为α，则sinα＝|cos〈，n〉|＝＝＝．

4．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，

则A(1，0，0)，E，F，D1(0，0，1)．故＝(－1，0，1)，＝．设平面AEFD1的法向量n＝(x，y，z)，则即故x＝2y＝z，取y＝1，则n＝(2，1，2)．而平面ABCD的一个法向量u＝(0，0，1)，故cos〈n，u〉＝＝＝．设截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的大小为θ，则|cosθ|＝|cos〈n，u〉|，故sinθ＝＝＝．

5．在正四棱锥P－ABCD中，高为1，底面边长为2，E为BC的中点，则异面直线PE与DB所成的角为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】如图，建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，D(－1，－1，0)，E(0，1，0)，P(0，0，1)．故＝(2，2，0)，＝(0，1，－1)．从而|cos〈，〉|＝＝＝．于是PE与DB所成的角为．

6．如图，在圆锥PO中，已知PO＝，☉O的直径AB＝2，C是的中点，则二面角B－PA－C的余弦值为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，)．设n1＝(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，则由n1·＝0，n1·＝0，得所以x＝－z，y＝z．取z＝1，得n1＝(－，，1)．因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量n2＝(0，1，0)．设向量n1和n2的夹角为θ，则cosθ＝＝＝．由图可知二面角B－PA－C为锐角，所以二面角B－PA－C的余弦值为．

7．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若棱长为1，E，F分别为线段B1D1，BC1上的动点，则下列结论正确的是(　　)

A．DB1⊥平面ACD1

B．平面A1C1B∥平面ACD1

C．点F到平面ACD1的距离为定值

D．直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为定值

【答案】ABC

【解析】以A为坐标原点可建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，设E(x，y，1)，＝λ，即(x－1，y，0)＝(－λ，λ，0)，∴E(1－λ，λ，1)，设F(1，y′，z′)，＝μ，即(0，y′，z′)＝(0，μ，μ)，∴F(1，μ，μ)．对于A，∵＝(1，－1，1)，＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，∴∴DB1⊥AC，DB1⊥AD1，又∵AC，AD1⊂平面ACD1，AC∩AD1＝A，∴DB1⊥平面ACD1，故A正确；对于B，∵DB1⊥平面ACD1，∴＝(1，－1，1)为平面ACD1的一个法向量，∵＝(1，1，0)，＝(1，0，－1)，∴∴DB1⊥A1C1，DB1⊥A1B，又∵A1C1，A1B⊂平面A1C1B，A1C1∩A1B＝A1，∴DB1⊥平面A1C1B，∴平面A1C1B∥平面ACD1，故B正确；对于C，∵＝(1，μ，μ)，∴点F到平面ACD1的距离d＝＝＝，为定值，故C正确；对于D，∵几何体为正方体，∴AC⊥平面BB1D1D，∴＝(1，1，0)是平面BB1D1D的一个法向量，又∵＝(1－λ，λ，1)，设直线AE与平面BB1D1D所成角为θ，则sinθ＝＝，不是定值，故D错误．故选ABC．

8．如图，A1B1C1－ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则D1B与AF1夹角的余弦值是________．

【答案】

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设BC＝CA＝CC1＝2，所以A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B1(0，2，2)．因为D1，F1分别为A1B1，A1C1的中点，所以D1(1，1，2)，F1(1，0，2)，所以＝(－1，1，－2)，＝(－1，0，2)，所以·＝(－1，1，－2)·(－1，0，2)＝－3，||＝＝，||＝＝，所以cos〈，〉＝＝＝－．所以异面直线D1B与AF1的夹角的余弦值为．

9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为________．

【答案】30°

【解析】如图，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，B(0，0，0)，由D为A1C1中点知D(1，1，2)，所以＝(－1，1，2)，＝(0，2，2)．所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线AD与BC1所成的角为30°．

10．如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

(1)求证：BD∥平面FGH；

(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE，∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小．

(1)证明：因为DEF－ABC是三棱台，且AB＝2DE，

所以BC＝2EF，AC＝2DF．

因为G，H分别是AC，BC的中点，

所以GH∥AB．

因为AB⊄平面FGH，GH⊂平面FGH，

所以AB∥平面FGH．

因为EF∥BH且EF＝BH，

所以四边形BHFE是平行四边形．

所以BE∥HF．

又因为BE⊄平面FGH，HF⊂平面FGH，

所以BE∥平面FGH．

又因为AB∩BE＝B，

所以平面ABE∥平面FGH．

因为BD⊂平面ABE，

所以BD∥平面FGH．

(2)解：因为CF⊥平面ABC，

所以CF⊥AB．

又因为BC⊥AB，BC∩CF＝C，

所以AB⊥平面BCFE．

以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立空间直角坐标系，如图．

因为∠BAC＝45°，所以BC＝AB，设DE＝1，

则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，2，0)，H(1，0，0)，G(1，1，0)，F(2，0，1)，所以＝(0，1，0)，＝(1，0，1)．

设平面FGH的一个法向量n＝(x，y，z)，则

令x＝1，则z＝－1，所以n＝(1，0，－1)．

连接BG，可得BG⊥AC，BG⊥CF，又因为AC∩CF＝C，

所以BG⊥平面ACFD．

所以＝(1，1，0)是平面ACFD的一个法向量，

所以cos〈n，〉＝＝．

所以平面FGH与平面ACFD所成的锐二面角的大小为60°．

B级——能力提升练

11．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设CB＝1，则A(2，0，0)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，B(0，0，1)，＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)，所以cos〈，〉＝＝＝．

12．(多选)(2022年龙岩期中)如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则(　　)

A．直线AD与直线BC所成角的大小为90°

B．直线AC与直线BD所成角的余弦值为

C．直线AD与平面BCD所成角的大小为45°

D．直线CD与平面ABC所成角的大小为60°

【答案】ABC

【解析】在CD，AC上分别作点E，F，使BE⊥BC，BF⊥BC，以B为坐标原点，BE，BC，BF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设AB＝BC＝BD＝2，则A(0，－1，)，B(0，0，0)，D(，－1，0)，C(0，2，0)．

对于A，＝(，0，－)，＝(0，2，0)，则·＝0，所以⊥，故直线AD与直线BC所成角的大小为90°，A对；对于B，＝(0，3，－)，＝(，－1，0)，cos〈，〉＝＝－＝－，所以，直线AC与直线BD所成角的余弦值为，B对；对于C，＝(，0，－)，平面BCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，cos〈，m〉＝＝－＝－，所以直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，C对；对于D，＝(，－3，0)，平面ABC的一个法向量为n＝(1，0，0)，cos〈，n〉＝＝＝，所以直线CD与平面ABC所成角的大小为30°，D错．故选ABC．

13．如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．

【答案】(1，1，1)

【解析】设PD＝a(a＞0)，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E，所以＝(0，0，a)，＝．因为cos〈，〉＝，所以＝a×，所以a＝2，所以点E的坐标为(1，1，1)．

14．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点，则异面直线A1E，CF所成角的大小为________；平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为________．

【答案】　

【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(2，0，1)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，F(0，1，1)，所以＝(－1，2，－1)，＝(0，－1，1)．设异面直线A1E，CF所成角的大小为θ，所以cosθ＝＝＝．因为θ∈，所以θ＝．又因为＝(－2，1，0)，设平面A1EF的一个法向量m＝(x，y，z)，则即令x＝1，则m＝(1，2，3)，平面A1B1C1D1一个法向量n＝(0，0，1)，设平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角为α，所以cosα＝＝＝．

15．(2021年山东模拟)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；

(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．

解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．

(2)作EM⊥AB，垂足为M，

则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8．

因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10．

于是MH＝＝6，所以AH＝10．

以D为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(10，0，0)，H(10，10，0)，E(10，4，8)，F(0，4，8)，＝(10，0，0)，＝(0，－6，8)．

设n＝(x，y，z)是平面EHGF的一个法向量，

则即

所以可取n＝(0，4，3)．又因为＝(－10，4，8)，

故|cos〈n，〉|＝＝．

所以AF与平面α所成角的正弦值为．