高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程练习

第二章　2.2　2.2.1

A级——基础过关练

1．(2021年天津月考)直线x＝y－1的斜率为(　　)

A． B．

C．－ D．－

【答案】A　

【解析】将x＝y－1化为斜截式y＝x＋，即该直线的斜率为．

2．(2020年济南检测)在平面直角坐标系中，下列四个结论：

①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；

②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；

③方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)可表示同一条直线；

④直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0．

其中正确的个数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B　

【解析】对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故①错误；对于②，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故②正确；对于③，方程k＝表示直线y＋1＝k(x－2)去掉点(2，－1)，与方程y＋1＝k(x－2)不表示同一直线，故③错误；对于④，直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0，故④正确．所以正确的个数为2．

3．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝(　　)

A．4 B．3

C．1 D．5

【答案】A　

【解析】直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，所以2m－1＝7，得m＝4．

4．已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝(a2＋1)x＋3，若l1∥l2，则a＝(　　)

A．0 B．－1

C．1 D．±1

【答案】B　

【解析】因为l1∥l2，所以a2＋1＝2，a2＝1，所以a＝±1．又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a＝－1．

5．已知直线l的方程为y＋1＝2，若设l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为(　　)

A． B．2

C．log26 D．0

【答案】B　

【解析】直线l的方程为y＝2x＋4，故a＝2，b＝4，所以logab＝log24＝2．

6．直线y＝x＋1绕其与y轴交点旋转90°的直线方程是(　　)

A．y＝x＋1 B．y＝－x＋1

C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1

【答案】B　

【解析】当x＝0时，y＝1，旋转后斜率k＝－1，所以直线方程为y＝－x＋1．

7．(多选)(2021年广州月考)给出下列四个结论，正确的是(　　)

A．平面直角坐标系中，过点P(2，－1)的所有直线可以用方程y＋1＝k(x－2)表示

B．直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的斜率为－

C．直线x＋3y－1＝0的倾斜角为

D．直线y＝2x－1在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1

【答案】BC　

【解析】对于A，直线x＝2过点P(2，－1)，但不能用方程y＋1＝k(x－2)表示，故A错误；对于B，直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)可化为y＝－x－，则其斜率为－，故B正确；对于C，直线x＋3y－1＝0可化为y＝－x＋，其斜率为－，则倾斜角为，故C正确；对于D，令y＝0，得出x＝，令x＝0，得出y＝－1，则直线y＝2x－1在x轴上的截距为，在y轴上的截距为－1，故D错误．故选BC．

8．直线y＝2x－4绕着它与x轴的交点逆时针旋转90°后，所得的直线方程为____________．

【答案】y＝－(x－2)　

【解析】y＝2x－4与x轴的交点为(2,0)，所得的直线l2与直线l1：y＝2x－4垂直，所以k2·k1＝－1，即k2·2＝－1，故k2＝－．所以l2的方程为y－0＝－(x－2)，即y＝－(x－2)．

9．直线l经过点A(－2,2)且与直线y＝x＋6在y轴上有相同的截距，则直线l的斜截式方程为____________．

【答案】y＝2x＋6　

【解析】直线y＝x＋6在y轴上的截距为6，即所求直线过点(0,6)，直线l又经过点A(－2,2)，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2x＋6．

10．求下列直线的斜截式方程：

(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；

(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行；

(3)求倾斜角为150°，与y轴的交点到原点的距离为3的直线方程．

解：(1)直线的斜率为k＝－4，

在y轴上的截距b＝7，

所求直线方程为y＝－4x＋7．

(2)直线的斜率为k＝0，

在y轴上的截距为b＝2，

所求直线方程为y＝2．

(3)直线的倾斜角为150°，所以斜率为－．

因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，

所以在y轴上的截距b＝3或b＝－3．

故所求的直线方程为y＝－x＋3或y＝－x－3．

B级——能力提升练

11．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　)

A．(1,3) B．(－1，－3)

C．(3,1) D．(－3，－1)

【答案】C　

【解析】直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．

12．(多选)(2021年黑龙江月考)下列说法正确的有(　　)

A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限

B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)

C．过点(2，－1)斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)

D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3

【答案】ABC　

【解析】对于A，由直线y＝kx＋b过一、二、四象限，可知直线的斜率k＜0，截距b＞0，故点(k，b)在第二象限，所以A正确；对于B，由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a(x－3)＋(－y＋2)＝0，所以无论a取何值，点(3,2)都满足方程，所以B正确；对于C，由点斜式方程，可知过点(2，－1)斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)，所以C正确；对于D，由斜截式直线方程得到斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，所以D错误．故选ABC．

13．已知直线l：y＝－x＋与直线l′：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为(0,1)，则a＝________，b＝________．

【答案】－　2　

【解析】由题意可得解得

14．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是__________．

【答案】y＝x－6或y＝－x－6

【解析】因为所求直线与y轴相交成30°角，所以它的倾斜角为60°或120°，斜率为或－，其点斜式方程为y＝x－6或y＝－x－6．

15．已知直线l：y＝kx＋2k＋1．

(1)求证：直线l恒过一个定点；

(2)当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．

(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．

(2)解：设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，

若使－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，

需满足即

解得－≤k≤1．

所以实数k的取值范围是．