高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式巩固练习

第二章　2.3　2.3.3、4

A级——基础过关练

1．直线3x＋4y－2＝0和直线6x＋8y＋1＝0的距离是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A　

【解析】6x＋8y＋1＝0可化为3x＋4y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式，得＝．

2．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于(　　)

A． B．－

C．－ D．或－

【答案】D　

【解析】由＝1，解得m＝或－．

3．若直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为(　　)

A．3x－4y＋5＝0 B．4x－3y＋2＝0

C．2x－y＝0或x＋2y－5＝0 D．x＝1或3x－4y＋5＝0

【答案】D　

【解析】当直线l过点A(1,2)且斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，原点到直线l的距离为1，满足题意．当直线l过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0．因为原点到直线l的距离为1，所以＝1，解得k＝．所以所求直线l的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0．综上所述，所求直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0．

4．若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是(　　)

A．[－11，－1] B．[－11,0]

C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞)

【答案】C　

【解析】y＝－2x－k－2可化为2x＋y＋k＋2＝0，由题意，得＝≤，且k＋2≠－4，即k≠－6，得－5≤k＋6≤5，即－11≤k≤－1且k≠－6．

5．已知正方形的两边所在直线方程分别为x－y－1＝0，x－y＋1＝0，则正方形的面积为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B　

【解析】由条件知两直线平行，则正方形的边长为这两条平行直线间的距离，即边长d＝＝，所以正方形的面积为2．故选B．

6．直线l在x轴上的截距为1，且点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为(　　)

A．x＝1或x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0

C．x＋y－1＝0 D．x＝1或x－y－1＝0

【答案】D　

【解析】当l⊥x轴时，符合要求，此时l的方程为x＝1；当l不垂直于x轴时，设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0．因为点A，B到l的距离相等，所以＝，所以|1－3k|＝|3k－5|，解得k＝1．所以l的方程为x－y－1＝0．综上，l的方程为x＝1或x－y－1＝0．

7．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为(　　)

A．3 B．－17

C．－3 D．17

【答案】AB　

【解析】由题意得n≠0，－＝，所以n＝－4，所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0．由两条平行直线间的距离公式，得＝2，解得m＝7或m＝－13，所以m＋n＝3或m＋n＝－17．

8．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P的坐标是________．

【答案】或　

【解析】设P(－3y，y)，则＝，y＝±．当y＝时，x＝－，所以P；当y＝－时，x＝，所以P．

9．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：4x－2y－1＝0，若直线l1，l2的距离等于，且直线l1不经过第四象限，则a＝________．

【答案】3　

【解析】由直线l1，l2的方程可知，直线l1∥l2．在直线l1上选取一点P(0，a)，依题意得l1与l2的距离为＝，整理得＝，解得a＝3或a＝－4．因为直线l1不经过第四象限，所以a≥0，所以a＝3．

10．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程．

解：因为l1∥l2，所以＝≠，

得或

(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，

把l2的方程写成4x＋8y－2＝0．

所以＝，解得n＝－22或n＝18．

所以所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0．

(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0，

所以＝，解得n＝－18或n＝22．

所以所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0．

B级——能力提升练

11．点P(m－n，－m)到直线＋＝1的距离等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A　

【解析】＋＝1可化为nx＋my－mn＝0，点P(m－n，－m)到此直线的距离等于＝＝．

12．(多选)两条直线l1：3x＋4y＋1＝0和l2：5x＋12y－1＝0相交，则对顶角的角平分线所在直线的方程可能为(　　)

A．7x－4y＋9＝0 B．x－2y－1＝0

C．8x＋14y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0

【答案】AC　

【解析】设P(x，y)是所求直线上的任意一点，则点P到l1，l2的距离相等，即＝，整理得所求直线的方程为7x－4y＋9＝0或8x＋14y＋1＝0．故选AC．

13．在△ABC中，A(1,0)，B(0，－2)，点C在函数y＝x2的图象上，则△ABC面积的最小值为________．

【答案】　

【解析】|AB|＝＝，直线AB的方程为x＋＝1，即2x－y－2＝0．设C(a，a2)，则点C到直线AB的距离d＝，所以S△ABC＝|AB|·d＝|a2－2a＋2|＝[(a－1)2＋1]≥．所以当a＝1时，△ABC的面积最小，最小值为．

14．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：ax＋y＝1，且l1⊥l2，则l1的倾斜角为________，原点到l2的距离为________．

【答案】120°　　

【解析】因为l1：x＋y－1＝0，所以k1＝－．又因为倾斜角得范围是[0，π)，所以α＝120°．因为l1⊥l2，所以k2＝＝－a．所以l2：x－3y＋3＝0．所以原点到l2的距离为d＝＝．

15．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．

(1)求d的变化范围；

(2)当d取最大值时，求两条直线的方程．

解：(1)方法一，设两条直线方程分别为y＝kx＋b1和y＝kx＋b2，

则即

而d＝＝，

两边平方整理得(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0．

由于k∈R，所以Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0，

整理得4d2(d2－90)≤0，

所以0＜d≤3．

方法二，结合图形可知，当两条平行线均与线段AB垂直时，距离d＝|AB|＝3最大，当两条直线都过A，B点时距离d＝0最小，但平行线不能重合，

所以0＜d≤3．

(2)当d＝3时，因为kAB＝＝，kAB·k＝－1，所以k＝－3．

故两条直线方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．