高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课时训练

第三章　3.1　3.1.2

A级——基础过关练

1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)

A．7,2， B．14,4，

C．7,2， D．14,4，－

【答案】B

【解析】将椭圆方程化为标准形式为＋＝1，可知b＝2，a＝7，c＝3，则可得长轴长2a＝14，短轴长2b＝4，离心率e＝＝．

2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为a2＝2，b2＝m，e＝＝＝＝，所以m＝．

3．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为(　　)

A．3或25 B．或4

C．4或3 D．3或

【答案】D

【解析】当焦点在x轴上时，a2＝5，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝5－m．又因为e＝，所以＝2，解得m＝3．当焦点在y轴上时，a2＝m，b2＝5，所以c2＝a2－b2＝m－5．又因为e＝，所以＝2，解得m＝．故m＝3或m＝．

4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，所以|PF2|＝|F2F1|，即2＝2c，所以e＝＝．

5．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作长轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若tan∠PF2F1＝，则椭圆的离心率为(　　)

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】如图，把x＝－c代入＋＝1，可得y＝±，不妨取P，则|PF1|＝，而|F1F2|＝2c，所以tan∠PF2F1＝＝＝＝，则2c2＋3ac－2a2＝0，即2e2＋3e－2＝0，解得e＝－2(舍去)或e＝．

6．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0＜e≤，则长轴长的取值范围为(　　)

A．(1,2) B．(2,3]

C．(2,4] D．(3,4]

【答案】C

【解析】因为b＝1，所以c2＝a2－1．又因为＝＝1－≤，所以≥，所以a2≤4．又因为a2－1＞0，所以a2＞1，所以1＜a≤2，故长轴长的取值范围为2＜2a≤4．

7．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论不正确的是(　　)

A．长轴长为 B．焦距为

C．短轴长为 D．离心率为

【答案】ABC

【解析】椭圆C：16x2＋4y2＝1，化为标准形式＋＝1，可得a＝，b＝，则长轴长为2a＝1，短轴长为2b＝，c＝＝，焦距2c＝，可得离心率为e＝＝＝．

8．(2021年滨海期中)画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆＋＝1的蒙日圆为x2＋y2＝10，则该椭圆的离心率为__________．

【答案】

【解析】因为蒙日圆半径的平方等于椭圆的长半轴、短半轴的平方和，而＋＝1的蒙日圆为x2＋y2＝10，其半径的平方为10，故有6＋b2＝10，故b2＝4⇒c＝，则e＝＝．

9．与椭圆＋＝1有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为__________．

【答案】x2＋＝1

【解析】由椭圆＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝．又因为2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6．故所求椭圆的标准方程为x2＋＝1．

10．焦点在x轴上的椭圆的方程为＋＝1，点P(，1)在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率．

解：(1)由题意，点P(，1)在椭圆上，代入得＋＝1，解得m＝2．

所以椭圆的标准方程为＋＝1．

(2)由(1)知a＝2，b＝，所以c＝．

椭圆的长轴长为2a＝4，短轴长为2b＝2，焦距为2c＝2，离心率为e＝＝．

B级——能力提升练

11．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)

A．，1 B．，1,C．0， D．0，

【答案】B

【解析】因为F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，所以F1(－c,0)，F2(c,0)，c2＝a2－b2．设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得(x＋c，y)·(x－c，y)＝0，化简得x2＋y2＝c2．联立方程组整理得x2＝(2c2－a2)·≥0，解得e≥．又因为0＜e＜1，所以≤e＜1．

12．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．长轴长是10，离心率是的椭圆的标准方程为＋＝1

B．在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6的椭圆的标准方程为＋＝1

C．焦点在x轴上，长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)的椭圆的标准方程为＋y2＝1

D．焦点在y轴上，离心率为，焦距为12的椭圆的标准方程为＋＝1

【答案】BCD

【解析】对于A，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，由已知得2a＝10，a＝5，又因为e＝＝，所以c＝4，b2＝a2－c2＝25－16＝9，椭圆方程为＋＝1或＋＝1，A错误．对于B，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，如图，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为＋＝1，B正确．

对于C，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1，C正确．对于D，由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，则b2＝a2－c2＝64，所求椭圆的标准方程为＋＝1，D正确．故选BCD．

13．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为________．

【答案】2

【解析】设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则当三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S＝×2c×b＝bc＝1≤＝．所以a2≥2．所以a≥，所以长轴长的最小值为2．

14．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点为A，B，P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当－－4＋5取得最小值时，＝______；椭圆C的离心率为______．

【答案】2　

【解析】A(－a,0)，B(a,0)，设P(x0，y0)，则y＝，则m＝，n＝，所以mn＝＝－，则－－4＋5＝－4＋5，令＝t＞1时，则f(t)＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，当t＝2时，f(t)的最小值为f(2)，此时＝2，所以e＝．

15．已知F1，F2是椭圆的左、右两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°．

(1)求椭圆离心率的取值范围；

(2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．

(1)解：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，

|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a．

在△PF1F2中，由余弦定理可知

4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·2

＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．所以≥，即e≥．又因为0＜e＜1，所以e的取值范围是．

(2)证明：由(1)知mn＝b2，

所以S△PF1F2＝mnsin60°＝b2．

故△PF1F2的面积只与短轴长有关．