2020-2021学年3.2 双曲线练习

3.2.4　双曲线专项训练

一、单选题(共8小题)

1．已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是(　　)

A．椭圆 B．双曲线

C．双曲线的一支 D．圆

【答案】C

【解析】设炮弹爆炸点为点P，则|PA|－|PB|＝2×340＝680＜800，∴点P的轨迹是双曲线的一支．故选C．

2．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足条件|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　)

A．－＝1(x≤－4) B．－＝1(x≤－3)

C．－＝1(x≥4) D．－＝1(x≥3)

【答案】D

【解析】由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线右支，得c＝5,2a＝6，∴a＝3，∴b2＝16，故动点P的轨迹方程是－＝1(x≥3)．故选D．

3．“m＜2”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当＋＝1为双曲线时，(m＋1)(m－2)＜0，∴－1＜m＜2，由(－1,2)(－∞，2)，可知选B．

4．已知P是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)左支上的一点，C的左、右焦点分别为F1，F2，且|PF2|＝18，C的实轴长为12，则|PF1|＝(　　)

A．6 B．8

C．10 D．12

【答案】A

【解析】因为P在双曲线C：－＝1的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝2a＝12，又因为|PF2|＝18，所以|PF1|＝18－12＝6．故选A．

5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线y＝2x垂直，则双曲线C的离心率为(　　)

A． B．2

C． D．或

【答案】C

【解析】由双曲线的方程可得渐近线的方程为y＝±x，因为一条渐近线与直线y＝2x垂直，所以－＝－，可得＝，所以＝，解得e＝＝．故选C．

6．许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图象，上、下底面与地面平行．现测得下底直径AB＝20米，上底直径CD＝20米，AB与CD间的距离为80米，与上、下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为(　　)

A．10米 B．20米

C．10米 D．10米

【答案】B

【解析】建立如图的坐标系，由题意可知D(10，20)，B(10，－60)，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，∴解得a2＝100，b2＝400，|EF|＝2a＝20．故选B．

7．如果双曲线－＝1的离心率为，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为黄金双曲线．现有一黄金双曲线C：－＝1(b＞0)，则该黄金双曲线C的虚轴长为(　　)

A．2 B．4

C． D．2

【答案】D

【解析】由题意可得＝＝1＋＝2，解得b2＝2，即b＝，故黄金双曲线C的虚轴长为2b＝2．故选D．

8．已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a＞0)上一点P到左焦点F1的距离为6，点O为坐标原点，点M为PF1的中点，若|OM|＝5，则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±4x B．y＝±2x

C．y＝±x D．y＝±x

【答案】B

【解析】如图，若点P在双曲线左支上，∵点M为PF1的中点，∴OM是△F1F2P的中位线，则|PF2|＝2|OM|＝10，∵2a＝|PF2|－|PF1|＝10－6＝4，∴a＝2，则双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x；若点P在双曲线右支上，∵点M为PF1的中点，∴OM是△F1F2P的中位线，则|PF2|＝2|OM|＝10,2a＝|PF1|－|PF2|＝6－10＝－4不成立．故选B．

二、多选题(共2小题)

9．已知双曲线C：－＝1，则下列说法正确的是(　　)

A．渐近线方程为y＝±x B．焦点坐标为(±2，0)

C．顶点坐标为(±2，0) D．实轴长为2

【答案】BC

【解析】对于双曲线C：－＝1，可知a＝2，b＝2，所以c＝2，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，焦点坐标为(±2，0)，顶点坐标为(±2，0)，实轴长为4，因此A，D错误，B，C正确．故选BC．

10．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线左支上存在一点P，使PF＝8a·PF1成立，则此双曲线的离心率e的取值可能是(　　)

A． B．2

C． D．5

【答案】ABC

【解析】∵P为双曲线左支上一点，∴|PF1|－|PF2|＝－2a，∴|PF2|＝|PF1|＋2a①，又∵|PF|＝8a·|PF1|②，∴由①②可得|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即2a＋4a≥2c，∴e＝≤3③，又∵e＞1④，由③④可得1＜e≤3．故选ABC．

三、填空题(共4小题)

11．若焦点在x轴上的双曲线C：－＝1的焦距为4，则m的值为________．

【答案】12

【解析】由题意可得c2＝(2)2＝16＋m，∴m＝12．

12．双曲线x2－＝1(m＞0)的离心率为2，则m＝________．

【答案】3

【解析】双曲线x2－＝1(m＞0)的离心率为2，则a2＝1，b2＝m，所以可得c2＝a2＋b2＝1＋m，所以可得e＝＝＝2，解得m＝3．

13．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．

【答案】±1

【解析】不妨设点B在第一象限，则A1(－a,0)，B，A2(a,0)，C，所以＝，＝．因为A1B⊥A2C，所以·＝0，所以c2－a2－＝0，又因为c2＝a2＋b2，所以整理得＝1，所以该双曲线渐近线的斜率k＝±＝±1．

14．设直线y＝x与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若C的离心率为2，则k1·k2＝________．

【答案】3

【解析】∵C的离心率为2＝，且c2＝a2＋b2，∴c＝2a，b＝a，联立解得或不妨取A，B，

设P(m，n)，则－＝1，即3m2－n2＝3a2，

∴k1·k2＝·＝＝＝＝＝3．

四、解答题(共2小题)

15．已知点(3,1)在双曲线C：x2－y2＝a2(a＞0)上．

(1)求实数a的值；

(2)求双曲线C上的动点P到定点A(8,0)的距离的最小值．

解：(1)把点(3,1)代入双曲线C：x2－y2＝a2中，有9－1＝a2，解得a＝±2，

∵a＞0，∴a＝2．

(2)设点P的坐标为(m，n)，则m2－n2＝8，且m≤－2或m≥2，

|PA|2＝(m－8)2＋n2＝(m－8)2＋m2－8＝2m2－16m＋56＝2(m－4)2＋24，

当m＝4时，|PA|2取得最小值为24，

∴|PA|的最小值为2．

16．若直线l：y＝－过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．

(1)求双曲线的方程；

(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围．

解：(1)直线l：y＝－过x轴上一点(2,0)，

由题意可得c＝2，即a2＋b2＝4．

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

由两直线平行的条件可得＝，

解得a＝，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1．

(2)设直线y＝kx＋1(k≠0)，

代入－y2＝1可得(1－3k2)x2－6kx－6＝0．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

x1＋x2＝，x1x2＝，

MN中点为，

可得MN的垂直平分线方程为y－＝－．

令x＝0，可得y＝．

由Δ＝36k2＋24(1－3k2)＞0，得3k2＜2．

又因为＜0，得3k2＜1．综上可得0＜3k2＜1，

即有的范围是(4，＋∞)，

可得直线m与y轴上的截距的取值范围为(4，＋∞)．